한눈에 보기
9.1에서 미분방정식은 "y'이 얼마인지 알려주는 규칙"이라고 했어요. 그런데 규칙만 알고 해 공식은 못 구하는 경우가 훨씬 많아요. 이럴 때 두 가지 도구가 있어요. 하나는 방향장(direction field) — 각 점에서 접선이 어느 쪽을 향하는지 짧은 선분으로 그려 해 곡선의 모양을 눈으로 짐작하는 방법이에요. 다른 하나는 오일러 방법(Euler's method) — 그 접선 방향으로 조금씩 걸어가며 해를 숫자로 근사하는 방법이고요.
- 방향장: 점마다 y'이 정하는 기울기를 그려 해의 흐름을 본다
- 오일러 방법: y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n, y_n)로 한 걸음씩 나아간다
- 해석해(공식)가 없어도 수치해(숫자)는 구할 수 있다
먼저 알아야 할 것
개념 설명
방향장
y' = f(x, y)는 평면의 점 (x, y)마다 기울기 하나를 정해줘요. 그럼 그 점에 그 기울기를 가진 짧은 선분을 그릴 수 있죠. 이걸 격자 위 여러 점에 촘촘히 그린 그림이 방향장이에요.
예를 들어 y' = x + y라면, 점 (1, 0)에서는 기울기가 1 + 0 = 1이라 45도 선분을, 점 (0, -1)에서는 기울기가 0 + (-1) = -1이라 아래로 기운 선분을 그려요. 이렇게 온 평면을 선분으로 채우면, 마치 강물의 흐름처럼 해 곡선이 어느 쪽으로 흘러가는지 눈에 보여요. 시작점 하나를 정하고 그 흐름을 따라 선분에 접하게 곡선을 이으면, 그게 그 초기조건에 대한 해예요. 공식을 몰라도 모양은 알 수 있는 거죠.
오일러 스텝
방향장이 "눈으로 보는" 방법이라면, 오일러 방법은 그걸 "숫자로 계산하는" 방법이에요. 아이디어는 단순해요. 지금 점 (x_n, y_n)에 서 있으면 기울기 f(x_n, y_n)을 알 수 있어요. 그 방향(접선)으로 가로로 h만큼 걸어가면, 세로로는 기울기 \times h만큼 올라가죠. 그렇게 도착한 새 점에서 다시 기울기를 재고, 또 한 걸음 걸어요.
곡선을 직접 따라가는 게 아니라, 매 걸음 접선(직선)으로 근사해 조금씩 나아가는 거예요. 걸음 폭 h를 스텝 크기(step size)라고 불러요. 이 과정을 컴퓨터가 수만 번 반복하면 해 곡선의 촘촘한 근사가 나와요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
y' = x + y, 초기조건 y(0) = 1을 스텝 크기 h = 0.1로 두 걸음 따라가 볼게요. 시작은 x_0 = 0, y_0 = 1이에요.
- 1걸음: 지금 점 (0, 1)에서 기울기는 f(0, 1) = 0 + 1 = 1. 그럼 y_1 = y_0 + h\,f(x_0, y_0) = 1 + 0.1 \times 1 = 1.1 새 위치는 x_1 = 0.1, y_1 = 1.1이에요.
- 2걸음: 이제 점 (0.1, 1.1)에서 기울기는 f(0.1, 1.1) = 0.1 + 1.1 = 1.2. 그럼 y_2 = y_1 + h\,f(x_1, y_1) = 1.1 + 0.1 \times 1.2 = 1.22 새 위치는 x_2 = 0.2, y_2 = 1.22예요.
이렇게 (0,1) \to (0.1, 1.1) \to (0.2, 1.22) \to \cdots 점을 이으면 해 곡선의 근사가 돼요. 계산은 덧셈·곱셈뿐이라 컴퓨터가 순식간에 수천 걸음을 밟아요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 방향장: 점마다 y' = f(x, y)가 정하는 기울기를 선분으로 그려 해 곡선의 흐름을 눈으로 짐작해요.
- 오일러 방법: y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n, y_n)로 접선을 따라 한 걸음씩 나아가 해를 숫자로 근사해요.
- 걸음 h가 작을수록 정확하지만 누적오차는 피할 수 없어요 — 그래서 개량법이 존재해요.
- 뒤에서: 9.3에서는 이렇게 근사 말고 공식으로 정확히 푸는(변수분리) 미분방정식을 배워요. 수치해와 해석해, 두 길을 다 갖추게 되는 거예요.