한눈에 보기
미분방정식은 "미지의 함수"를 찾는 방정식이에요(9.1). 그런데 아무 방정식이나 손으로 풀리진 않아요. 그중 가장 쉽고 가장 자주 쓰이는 꼴이 바로 변수분리형이에요. \frac{dy}{dx}가 "x만의 식 \times y만의 식"으로 깔끔하게 갈라지면, x는 x끼리 y는 y끼리 양변에 모아 각자 적분하면 끝나요.
- \frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) 꼴을 \frac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx로 분리
- 양변을 각자 적분해서 해를 구하고, 상수 C는 초기조건으로 결정
- 지수성장·뉴턴 냉각 같은 익숙한 모델이 이 방법의 특수 사례
먼저 알아야 할 것
개념 설명
변수 분리 후 적분
핵심 아이디어는 단순해요. 도함수 \frac{dy}{dx}가 이렇게 갈라지는 경우만 다뤄요.
오른쪽이 "x만의 함수 g(x)"와 "y만의 함수 h(y)"의 곱이죠. 이럴 때 h(y)를 왼쪽으로, dx를 오른쪽으로 넘겨서 x와 y를 양쪽으로 완전히 분리해요.
이제 왼쪽은 y만, 오른쪽은 x만 있으니 각자 적분할 수 있어요.
적분을 끝내면 y와 x의 관계식이 나와요. 여기서 \frac{dy}{dx}를 진짜 분수처럼 다뤄도 되는 건, 사실 치환적분을 압축해서 쓴 편법이에요 — 결과는 정확히 맞아요. 적분한 뒤에 가능하면 y = \dots 꼴로 정리하면 좋아요(이걸 양함수 해라고 해요). 안 풀리면 관계식 그대로 둬도 (음함수) 해가 돼요.
수식 하나하나 뜯어보기
여기서 h(y)가 분모로 가니까 h(y) \ne 0이어야 해요. 이 조건은 뒤 "흔한 헷갈림"에서 다시 볼게요.
손으로 따라가는 예제
가장 중요한 예제, \frac{dy}{dx} = ky(k는 상수)를 변수분리로 풀어 y = Ce^{kx}를 직접 유도해 볼게요. 여기서 g(x) = k, h(y) = y인 셈이에요.
- 분리: y를 왼쪽, dx를 오른쪽으로.
- 양변 적분: 왼쪽은 \ln\lvert y\rvert, 오른쪽은 kx. 상수 C_1은 한쪽에만.
- y로 정리: 양변을 지수로 올려요. \lvert y\rvert = e^{kx + C_1} = e^{C_1} e^{kx}.
마지막에 \pm e^{C_1}을 새 상수 C로 묶었어요(C는 0이 아닌 아무 값). 이렇게 "변화율이 자기 자신에 비례"하면 언제나 지수함수가 나와요.
초기조건으로 상수 결정: 만약 x = 0일 때 y = y_0이라고 주어지면, y_0 = C e^{0} = C이므로 C = y_0. 결국 y = y_0 e^{kx}로 딱 하나의 해가 정해져요. 뉴턴의 냉각법칙 \frac{dT}{dt} = k(T - T_s)도 T - T_s를 하나의 덩어리로 보면 똑같은 방식으로 풀려요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 변수분리형 = \frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y)처럼 x부분과 y부분이 곱으로 갈라지는 미방.
- \frac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx로 분리 → 양변 적분 → y로 정리, 상수 C는 초기조건으로 결정.
- 대표 사례 \frac{dy}{dx} = ky는 지수함수 y = Ce^{kx} — 지수성장·붕괴·냉각이 모두 이 틀이에요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 9.4 로지스틱 방정식도 변수분리로 풀고(부분분수를 써요), 9.5 선형 미분방정식은 분리가 안 될 때 쓰는 다음 도구예요.