한눈에 보기
지수함수 e^x과 e^{-x}을 절반씩 섞으면 새로운 함수 두 개가 나와요. 하나는 \sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}, 다른 하나는 \cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}예요. 이름과 기호가 삼각함수(sin, cos)와 쏙 빼닮았고, 성질도 놀랄 만큼 비슷해요. 그래서 쌍곡선함수(hyperbolic functions)라고 불러요.
- \sinh, \cosh, \tanh — 지수함수로 정의한 함수들
- 삼각함수를 빼닮은 항등식 \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1
- 미분이 서로 맞물리는 성질과 현수선(늘어진 케이블) 모양
먼저 알아야 할 것
개념 설명
지수로 정의
삼각함수는 원에서 나왔지만, 쌍곡선함수는 그냥 지수함수를 섞어서 만든 거예요. 정의는 이게 전부예요.
차이를 반으로 나누면 \sinh(하이퍼볼릭 사인), 합을 반으로 나누면 \cosh(하이퍼볼릭 코사인)이에요. 그리고 삼각함수에서 \tan = \sin / \cos였듯이, 나눠서 \tanh를 만들어요.
\cosh x는 항상 양수(합을 반으로 나눈 값)라 분모 걱정이 없어요. x가 커지면 e^{-x}이 0에 가까워지니 \tanh x는 1에 다가가고, x가 작아지면 -1에 다가가요. 그래서 \tanh는 -1과 1 사이를 오가는 S자 곡선이 돼요.
어떻게 생겼나
\cosh x는 x = 0에서 최솟값 1을 갖고 양옆으로 올라가는 U자 곡선이에요 — 늘어진 케이블 모양, 즉 현수선이죠. \sinh x는 원점을 지나며 계속 증가하는 곡선이고요. 둘 다 지수를 재료로 쓴 만큼 멀리 갈수록 가파르게 자라요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
기본 항등식 \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1을 정의만으로 확인해 볼게요.
- 각각 제곱해요. \cosh^2 x = \dfrac{(e^x + e^{-x})^2}{4} = \dfrac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4}이에요. 가운데 2는 e^x \cdot e^{-x} = 1이 두 번 나와서 생겨요.
- 같은 식으로 \sinh^2 x = \dfrac{(e^x - e^{-x})^2}{4} = \dfrac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}이에요. 이번엔 가운데가 -2죠.
- 빼요. \cosh^2 x - \sinh^2 x = \dfrac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{4} = \dfrac{4}{4} = 1이에요.
e^{2x}과 e^{-2x}은 서로 지워지고 2 - (-2) = 4만 남아요. 삼각함수의 \cos^2 + \sin^2 = 1과 나란히 두면 부호 하나만 다르다는 게 보여요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 쌍곡선함수는 지수함수의 조합이에요. \sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}, \cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}, \tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}.
- 기본 항등식은 \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 — 삼각함수와 부호가 하나 달라요.
- 미분이 서로 맞물려요. (\sinh x)' = \cosh x, (\cosh x)' = \sinh x.
- \cosh는 늘어진 케이블(현수선) 모양이에요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: \tanh x는 값을 -1 \sim 1로 눌러주는 S자라, 신경망에서 뉴런 출력을 다루는 활성화함수로 오래 쓰였어요. 지수 하나로 만든 곡선이 딥러닝 안으로 그대로 들어가는 셈이에요.