각 몫의 분자·분모가 어떤 값으로 가는지를 보고 판정해요.

(a) \dfrac{f}{g} 는 \dfrac{0}{0} 꼴이에요. 분자와 분모가 서로 다투므로 부정형이에요.

(b) \dfrac{f}{p} 는 \dfrac{0}{\infty} 꼴이에요. 분자는 0으로, 분모는 무한대로 가니 몫은 더욱 작아져요. 부정형이 아니고 값은

(c) \dfrac{h}{p} 는 \dfrac{1}{\infty} 꼴이에요. 분자는 1, 분모는 무한대이므로 부정형이 아니고 값은

(d) \dfrac{p}{f} 는 \dfrac{\infty}{0} 꼴이에요. 분자는 무한대이고 분모는 0으로 가니 몫의 크기는 한없이 커져요. 부정형이 아니에요. 분모의 부호는 알 수 없으므로 값은 +\infty 또는 -\infty 로 발산해요(적어도 \left\vert\, p/f\,\right\vert\to\infty).

(e) \dfrac{p}{q} 는 \dfrac{\infty}{\infty} 꼴이에요. 두 무한대의 커지는 속도 다툼이므로 부정형이에요.

정리하면 부정형은 (a), (e) 이고, (b)·(c)는 0, (d)는 발산이에요.

거듭제곱 [\text{밑}]^{\text{지수}} 의 부정형은 0^0, \infty^0, 1^\infty 세 가지뿐이에요.

(a) [f]^{g} 는 0^0 꼴이므로 부정형이에요.

(b) [f]^{p} 는 0^{\infty} 꼴이에요. 0에 가까운 수를 계속 곱하면 0으로 가니 부정형이 아니고 값은

(c) [h]^{p} 는 1^{\infty} 꼴이므로 부정형이에요.

(d) [p]^{f} 는 \infty^{0} 꼴이므로 부정형이에요.

(e) [p]^{q} 는 \infty^{\infty} 꼴이에요. 큰 수를 큰 지수로 올리면 더 커지니 부정형이 아니고 값은

(f) \sqrt[q(x)]{p(x)}=[p(x)]^{1/q(x)} 이고, p\to\infty, \dfrac{1}{q}\to 0 이므로 \infty^{0} 꼴이에요. 따라서 부정형이에요.

정리하면 부정형은 (a), (c), (d), (f) 이고, (b)는 0, (e)는 \infty 예요.

두 그래프 모두 (2,0) 을 지나므로 f(2)=g(2)=0 이고, \lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)}{g(x)} 는 \dfrac{0}{0} 부정형이에요. 로피탈 법칙을 쓰면

접선의 기울기가 곧 그 점에서의 도함수 값이므로 f'(2)=1.8, g'(2)=\dfrac{4}{5}=0.8 이에요. 따라서

검산: 접선 근사 f(x)\approx 1.8(x-2), g(x)\approx 0.8(x-2) 를 직접 나누면 \dfrac{1.8(x-2)}{0.8(x-2)}=\dfrac{9}{4} 로 같은 값이 나와요.

x=\dfrac{\pi}{4} 에서 \sin\dfrac{\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4} 이므로 분자는 0, \tan\dfrac{\pi}{4}=1 이므로 분모도 0이에요. \dfrac{0}{0} 부정형이니 로피탈 법칙을 써요.

x=\dfrac{\pi}{4} 를 대입하면 분자는 \dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}=\sqrt2, 분모는 \sec^2\dfrac{\pi}{4}=(\sqrt2)^2=2 예요. 따라서

검산: 분모를 \tan x-1=\dfrac{\sin x-\cos x}{\cos x} 로 바꾸면 원식은 \dfrac{\sin x-\cos x}{(\sin x-\cos x)/\cos x}=\cos x 로 약분돼요. \cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2} 로 위 결과와 일치해요.

\ln\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\ln x 이므로 x\to\infty 일 때 분자·분모 모두 무한대로 가는 \dfrac{\infty}{\infty} 부정형이에요. 로피탈 법칙을 쓰면

검산: 로그는 어떤 양의 거듭제곱보다도 느리게 커지므로 \dfrac{\ln x}{x^2}\to 0 이 자연스러워요. 값은 0 이에요.

x\to\infty 일 때 e^{-x}\to 0 이고 \tan^{-1}x\to\dfrac{\pi}{2} 이므로 분모 \dfrac{\pi}{2}-\tan^{-1}x\to 0 이에요. \dfrac{0}{0} 부정형이니 로피탈 법칙을 써요.

분자의 도함수는 -e^{-x}, 분모의 도함수는 -\dfrac{1}{1+x^2} 예요. 따라서

이제 \dfrac{1+x^2}{e^{x}} 는 \dfrac{\infty}{\infty} 꼴이고 지수함수가 다항식보다 빠르게 커지므로

따라서 값은 0 이에요.

검산: 로피탈을 두 번 더 적용해도 분모의 e^x 는 그대로 남고 분자만 상수로 줄어드니 극한은 0 으로 확정돼요.

x=0 에서 분자는 \cos 0-1+0=0, 분모도 0이에요. \dfrac{0}{0} 부정형이니 로피탈 법칙을 반복해서 써요.

여전히 \dfrac{0}{0} 이므로 한 번 더

따라서 값은 \dfrac{1}{24} 예요.

검산: \cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}-\cdots 이므로 \cos x-1+\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{x^4}{24}-\cdots 예요. 이를 x^4 으로 나누면 \dfrac{1}{24} 로 같은 값이 나와요.

x\to-\infty 일 때 x\to-\infty 이고 \ln\!\left(1-\dfrac1x\right)\to\ln 1=0 이므로 \infty\cdot 0 꼴의 부정형이에요. 몫으로 바꾸어요. t=\dfrac1x 로 두면 x\to-\infty 일 때 t\to 0 이고 x=\dfrac1t 이므로

이는 \dfrac{0}{0} 부정형이니 t 에 대해 로피탈 법칙을 써요.

따라서 값은 -1 이에요.

검산: \ln(1-t)\approx -t-\dfrac{t^2}{2}-\cdots 이므로 \dfrac{\ln(1-t)}{t}\approx -1-\dfrac{t}{2}\to -1 로 일치해요.

x\to\infty 일 때 x^3\to\infty, e^{-x^2}\to 0 이므로 \infty\cdot 0 꼴이에요. 몫으로 바꾸면

\dfrac{\infty}{\infty} 부정형이니 로피탈 법칙을 써요.

따라서 값은 0 이에요.

검산: e^{x^2} 은 어떤 거듭제곱 x^3 보다도 훨씬 빠르게 커지므로 분모가 압도해 극한은 0 으로 확정돼요.

x\to 1 일 때 \dfrac{x}{x-1}\to\infty, \dfrac{1}{\ln x}\to\infty 이므로 \infty-\infty 꼴이에요. 통분해서 하나의 몫으로 만들어요.

x=1 에서 분자 x\ln x-x+1=0, 분모 (x-1)\ln x=0 이므로 \dfrac{0}{0} 부정형이에요. 로피탈 법칙을 써요.

분자의 도함수는 \ln x+1-1=\ln x, 분모의 도함수는 \ln x+\dfrac{x-1}{x}=\ln x+1-\dfrac1x 예요. 따라서

x=1 에서 분자·분모 모두 0이니 한 번 더 로피탈 법칙을 써요.

따라서 값은 \dfrac{1}{2} 예요.

검산: x=1+h 로 두고 \ln(1+h)\approx h-\dfrac{h^2}{2} 를 쓰면 분자 \approx \dfrac{h^2}{2}, 분모 \approx h^2 이 되어 몫이 \dfrac12 로 일치해요.

x\to 0^{+} 일 때 \tan 2x\to 0, 지수 x\to 0 이므로 0^{0} 꼴이에요. y=(\tan 2x)^{x} 로 두고 로그를 취해요.

x\to 0^{+} 에서 분자 \to-\infty, 분모 \to+\infty 인 \dfrac{-\infty}{\infty} 부정형이니 로피탈 법칙을 써요.

x\to 0^{+} 에서 \sec^2 2x\to 1, \tan 2x\approx 2x 이므로

따라서 \ln y\to 0 이고

검산: 밑이 0으로 가더라도 지수 x 가 함께 0으로 가면 \ln 값이 0에 수렴하므로 극한은 1 이에요.

x\to 0 일 때 밑 1-2x\to 1, 지수 \dfrac1x\to\pm\infty 이므로 1^{\infty} 꼴이에요. y=(1-2x)^{1/x} 로 두고 로그를 취해요.

\dfrac{0}{0} 부정형이니 로피탈 법칙을 써요.

따라서 \ln y\to-2 이고

검산: \ln(1-2x)\approx -2x 이므로 \dfrac{\ln(1-2x)}{x}\approx -2 로 일치해요. 값은 e^{-2} 예요.

x\to 0 일 때 밑 1+\sin 3x\to 1, 지수 \dfrac1x\to\pm\infty 이므로 1^{\infty} 꼴이에요. y=(1+\sin 3x)^{1/x} 로 두고 로그를 취해요.

\dfrac{0}{0} 부정형이니 로피탈 법칙을 써요.

따라서 \ln y\to 3 이고

검산: \sin 3x\approx 3x 이므로 \ln(1+\sin 3x)\approx 3x 이고 \dfrac{3x}{x}=3 으로 일치해요. 값은 e^{3} 이에요.

x\to\infty 일 때 \dfrac{e^x}{x^n} 은 \dfrac{\infty}{\infty} 부정형이므로 로피탈 법칙을 적용할 수 있어요. 한 번 미분할 때마다 분자는 그대로 e^x 이고 분모의 차수는 1씩 내려가요.

n 번 적용하면 분모가 상수 n! 이 되어요.

분모 n! 은 고정된 상수이고 분자 e^x 는 무한대로 발산하므로 극한은 \infty 예요. 따라서 임의의 양의 정수 n 에 대해 \lim_{x\to\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{n}}=\infty 가 성립해요.

검산: 각 단계에서 분자·분모가 계속 \dfrac{\infty}{\infty} 부정형을 유지하다가 n 번째에서 분모가 상수가 되어 부정형이 풀리므로 로피탈 적용이 정당해요.

F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{2t}{\sqrt{t^3+1}}\,dt 로 두면 구하는 극한은 \lim_{x\to 0}\dfrac{F(x)}{x^2} 이에요. x\to 0 일 때 F(0)=0, x^2\to 0 이므로 \dfrac{0}{0} 부정형이에요.

미적분학의 기본정리에 의해 F'(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{x^3+1}} 이고, 분모의 도함수는 2x 예요. 로피탈 법칙을 쓰면

따라서 값은 1 이에요.

검산: x 가 작을 때 피적분함수 \dfrac{2t}{\sqrt{t^3+1}}\approx 2t 이므로 F(x)\approx\int_0^x 2t\,dt=x^2 이고, \dfrac{F(x)}{x^2}\approx 1 로 일치해요.

세 항을 하나의 몫으로 합치면

극한이 유한한 값 0이 되려면 분자가 x\to 0 에서 0으로 가야 하고, \dfrac{0}{0} 부정형에 로피탈 법칙을 써서 유한값이 나오도록 계수를 정해요.

분자 N(x)=\sin 2x+ax^3+bx 에서 N(0)=0 이에요. 로피탈 법칙을 적용하면

분모가 0으로 가므로 극한이 유한하려면 분자도 0이어야 해요. x=0 을 넣으면 2\cos 0+b=2+b=0 이어야 하므로

이제 b=-2 를 넣고 다시 로피탈 법칙을 써요.

x=0 을 넣으면 \dfrac{-8+6a}{6} 이고, 이 값이 0이어야 하므로

따라서 a=\dfrac{4}{3}, b=-2 예요.

검산: \sin 2x=2x-\dfrac{(2x)^3}{6}+\cdots=2x-\dfrac{4}{3}x^3+\cdots 이므로

여기에 b=-2 를 더하면 \dfrac{b}{x^2}=-\dfrac{2}{x^2} 가 \dfrac{2}{x^2} 를 상쇄하고, 남는 상수 -\dfrac43 에 a=\dfrac43 을 더하면 0이 되어 극한이 0으로 확정돼요.