한눈에 보기
숫자 몇 개의 평균은 다 더해서 개수로 나누면 돼요. 그런데 연속으로 변하는 값의 평균은 어떻게 낼까요? 하루 동안 1초마다 바뀌는 기온의 평균처럼요. 값이 무한히 많으니 "더해서 나누기"가 안 되죠. 이때 등장하는 게 정적분이에요. 함수 f를 구간 [a, b]에서 적분한 다음 구간 길이 b - a로 나누면, 그게 바로 함수의 평균값이에요.
- 함수의 평균값 f_{avg} = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx
- 적분에 대한 평균값 정리 — 평균값을 실제로 갖는 점 c가 존재
- 이산(숫자 몇 개) 평균의 연속판
먼저 알아야 할 것
개념 설명
연속으로 변하는 값의 평균
숫자 n개의 평균은 \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}이죠. 이 아이디어를 함수에 옮겨봐요. 구간 [a, b]를 n조각으로 잘라 각 조각에서 함숫값 f(x_i)를 뽑고 평균을 내면
이에요. 조각 폭이 \Delta x = \dfrac{b-a}{n}이니 n = \dfrac{b-a}{\Delta x}이고, 이걸 넣어 정리하면 분자가 \sum f(x_i)\,\Delta x 꼴이 돼요. 조각을 무한히 잘게 쪼개면(n \to \infty) 이 합은 정적분으로 바뀌고, 결과가
가 돼요. 즉 적분해서 구간 길이로 나눈 것이 함수의 평균값이에요.
넓이로 보는 직관
f_{avg}에 양변을 b - a로 곱하면 f_{avg}\cdot(b-a) = \int_a^b f(x)\,dx예요. 왼쪽은 높이 f_{avg}, 밑변 b-a인 직사각형의 넓이죠. 오른쪽은 곡선 아래 넓이고요. 그러니까 평균값이란 "곡선 아래 넓이와 똑같은 넓이를 만드는 직사각형의 높이"예요. 울퉁불퉁한 곡선을, 넓이가 같은 평평한 막대로 바꿨을 때의 그 높이라고 보면 돼요.
평균값을 실제로 갖는 점 — 적분에 대한 평균값 정리
f가 [a, b]에서 연속이면, 구간 안 어딘가에 f(c) = f_{avg}인 점 c가 반드시 있어요. 즉 함수가 자기 평균값과 정확히 같아지는 순간이 실제로 존재한다는 뜻이에요. 하루 기온이 오르내려도, 그 하루 평균 기온과 딱 같은 온도였던 순간이 적어도 한 번은 있었다는 이야기죠. 넓이로 보면, 곡선 아래 넓이와 같은 직사각형을 만드는 높이 f(c)를 함수가 어디선가 실제로 지난다는 뜻이에요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
f(x) = x^2의 [0, 3]에서의 평균값을 구해봐요.
- 적분: \displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} = 9.
- 구간 길이로 나누기: f_{avg} = \dfrac{1}{3-0}\times 9 = 3.
- 확인: 평균값이 3이니, x^2 = 3인 점 c = \sqrt{3} \approx 1.73이 [0, 3] 안에 있어요. 함수가 자기 평균값과 같아지는 그 점이 실제로 존재하죠(평균값 정리).
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 함수의 평균값 = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx — 적분해서 구간 길이로 나눠요.
- 넓이로 보면 "곡선 아래 넓이와 같은 직사각형의 높이"예요.
- 적분에 대한 평균값 정리: 연속이면 f(c) = f_{avg}인 점 c가 존재해요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 이 "적분해서 대표값 뽑기"가 확률의 기댓값으로 이어지고, 다변수로 넘어가면 영역 위 평균으로 확장돼요 — 15.4 이중적분의 응용에서 밀도로 가중한 평균(질량중심)으로 다시 만나요.