한눈에 보기
물리에서 일(work)은 "힘 × 거리"예요. 상자를 10N의 힘으로 3m 밀면 일은 30J이죠. 그런데 힘이 거리에 따라 변하면 곱셈 하나로는 안 돼요 — 용수철은 늘어날수록 세게 당기고, 물탱크는 퍼낼수록 남은 물의 위치가 달라져요. 이렇게 힘이 위치마다 다를 때는 잘게 쪼개서 곱하고 다 더하는 적분이 필요해요. 그래서 일은 W = \int_a^b f(x)\,dx, 즉 힘을 거리로 적분한 값이에요.
- 변하는 힘 f(x)가 한 일 = \int_a^b f(x)\,dx
- 용수철(훅의 법칙 F = kx)과 물 퍼올리기 — 변하는 건 힘일 수도, 거리일 수도
- "힘 × 거리"를 적분으로 일반화
먼저 알아야 할 것
개념 설명
힘을 거리로 적분
물체가 x = a에서 x = b까지 움직이고, 위치 x에서 받는 힘이 f(x)라고 해요. 힘이 상수라면 W = Fd로 끝이지만, f(x)가 변하면 이 곱셈을 쓸 수 없어요.
그래서 이동 구간을 아주 잘게 쪼개요. 폭이 \Delta x로 아주 좁은 한 조각에서는 힘이 거의 일정하다고 봐도 돼요. 그 조각에서 한 일은 대략 f(x_i)\,\Delta x(힘 × 짧은 거리)죠. 이걸 전 구간에 대해 다 더하면 총 일의 근삿값이 나와요.
조각을 무한히 잘게 쪼개면(n \to \infty) 이 합은 정적분이 돼요. 이게 바로 일의 정의예요.
핵심 감각은 이거예요 — "힘 × 거리"를 그대로 쓰되, 힘이 변하니까 곱셈 대신 적분을 쓴다. 적분은 "변하는 것을 잘게 쪼개 곱하고 다 더하는" 도구니까요.
훅의 법칙 — 용수철
용수철을 자연 길이에서 x만큼 늘린 상태로 붙잡아 두는 데 필요한 힘은 늘어난 양에 비례해요. 이게 훅의 법칙(Hooke's Law)이에요. (용수철이 원래대로 되돌아가려는 복원력은 이 힘과 크기가 같고 방향이 반대예요.)
여기서 k는 용수철마다 정해진 용수철 상수(stiffness)예요. x가 커질수록 힘도 선형으로 커지니, 이 변하는 힘이 한 일은 곱셈이 아니라 적분으로 구해요.
물 퍼올리기 — 이번엔 거리가 변해요
용수철은 힘이 위치마다 변했지만, 물 퍼올리기는 반대예요 — 얇은 물 층 하나의 무게(힘)는 거의 일정한데, 들어 올릴 거리가 층마다 달라요. 깊이 x에 있는 얇은 층을 탱크 꼭대기까지 올리려면 x만큼 이동해야 하니, 층 하나의 일은 (\text{층의 무게}) \times x예요. 이걸 깊이에 대해 적분하면 총 일이 나와요. 쪼개는 대상이 이동 구간이 아니라 물 자체(깊이별 층)라는 점만 다를 뿐, "잘게 쪼개 곱하고 더한다"는 뼈대는 용수철과 똑같아요.
수식 하나하나 뜯어보기
단위도 챙겨요. 힘이 뉴턴(N), 거리가 미터(m)면 일은 줄(J)이에요(1\ \text{J} = 1\ \text{N}\cdot\text{m}).
손으로 따라가는 예제
용수철을 자연 길이에서 0.1m 늘리는 데 40N이 필요해요. 이 용수철을 자연 길이에서 0.3m까지 늘리는 데 드는 일은?
- 먼저 용수철 상수 k를 구해요. 훅의 법칙 f(x) = kx에 "x = 0.1일 때 힘 40"을 넣으면 40 = k \times 0.1, 그래서 k = 400\ \text{N/m}이에요. 그러니 f(x) = 400x죠.
- 이제 일은 힘을 거리로 적분해요. 자연 길이(x = 0)에서 x = 0.3까지니까
- 계산하면
- 따라서 한 일은 18\ \text{J}이에요. 만약 힘을 상수 40N으로 착각해 40 \times 0.3 = 12처럼 곱하면 12\ \text{J}이 나와서 정답과 어긋나요 — 힘은 x에 따라 변하니 반드시 적분해야 해요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 일 = \int_a^b f(x)\,dx — "힘 × 거리"를 힘이 변하는 경우로 일반화한 게 핵심이에요.
- 잘게 쪼갠 조각의 일 f(x_i)\,\Delta x를 다 더한 극한이 적분이에요.
- 용수철은 훅의 법칙 f(x) = kx, 그래서 W = \frac{k}{2}(b^2 - a^2)로 계산해요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 8.3에서 압력·힘 같은 물리 응용으로 이 "잘게 쪼개 적분" 사고를 이어가요.