한눈에 보기
세상의 많은 양은 동시에 변해요. 풍선에 바람을 넣으면 부피도 반지름도 함께 커지고, 사다리가 미끄러지면 벽에 닿은 높이와 바닥에서의 거리가 같이 변하죠. 이렇게 여러 양이 시간 t에 따라 함께 변할 때, 하나의 변화율을 알면 다른 변화율을 구하는 게 바로 관련 변화율(related rates)이에요.
- 여러 양을 잇는 관계식 세우기
- 양변을 시간 t로 미분하기(연쇄법칙이 핵심)
- 아는 값을 대입해 원하는 변화율 뽑아내기
먼저 알아야 할 것
개념 설명
관계식 → 시간 미분
핵심 아이디어는 두 단계예요. 먼저 변하는 양들 사이의 관계식을 찾아요. 예를 들어 공 모양 풍선이라면 부피와 반지름은 V = \frac{4}{3}\pi r^3으로 이어져 있죠. 이 식은 언제나 참이에요 — 시간이 흘러도 성립해요.
그다음 이 관계식의 양변을 시간 t로 미분해요. 여기서 V도 r도 시간에 따라 변하니까, r^3을 t로 미분할 때 연쇄법칙이 등장해요.
r^3을 t로 미분하면 3r^2이 아니라 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt}예요. r이 t의 함수라서 "속을 한 번 더 미분"하는 거죠. 이 \frac{dr}{dt}가 안 붙으면 틀린 답이 나와요.
이제 식 하나가 두 변화율 \frac{dV}{dt}와 \frac{dr}{dt}를 이어줘요. 한쪽을 알면 나머지를 풀 수 있죠. 마지막으로 그 순간의 구체적인 값(예: 지금 반지름, 지금 부피 증가율)을 대입해요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
사다리 미끄러짐 문제를 봅시다. 길이 5 m인 사다리가 벽에 기대어 있는데, 바닥 쪽 끝이 벽에서 1 m/s로 미끄러져 멀어져요. 바닥 끝이 벽에서 3 m 떨어진 순간, 벽에 닿은 위쪽 끝은 얼마나 빨리 내려올까요?
바닥에서의 거리를 x, 벽에 닿은 높이를 y라 하면 둘 다 시간의 함수예요.
- 관계식: 사다리·벽·바닥이 직각삼각형이니 피타고라스로
- 양변을 t로 미분: x, y 모두 t의 함수라 연쇄법칙을 써요.
- 지금 순간의 값 대입: x = 3이면 y = \sqrt{25 - 9} = 4이고, \frac{dx}{dt} = 1이에요.
\frac{dy}{dt}가 음수라는 건 높이 y가 줄어든다, 즉 위쪽 끝이 내려온다는 뜻이에요. 그 속도는 초속 \frac{3}{4} m, 즉 0.75 m/s예요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 여러 양이 함께 변할 때, 한 변화율로 다른 변화율을 구하는 게 관련 변화율이에요.
- 절차는 딱 셋: 관계식 세우기 → 양변을 t로 미분(연쇄법칙) → 아는 값 대입.
- 미분을 먼저, 대입은 나중에. 모든 변수는 t의 함수라 연쇄법칙으로 \frac{dx}{dt}가 따라붙어요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 3장의 미분 응용이 이어져요. 특히 최적화(최댓값·최솟값)와 변화율 분석은 같은 미분 언어로, 여기서 익힌 "연결된 변화를 추적하는" 사고가 그대로 쓰여요.