한눈에 보기
도함수는 "순간 변화율"이에요. 그런데 이 한 가지 아이디어가 분야마다 다른 이름과 옷을 입고 나타나요. 물리에서는 속도·가속도·전류가 되고, 화학에서는 반응 속도, 생물에서는 개체군 증가율, 경제에서는 한계비용이 되죠. 이름은 달라도 정체는 전부 같아요 — 무언가가 다른 것에 대해 얼마나 빨리 변하는가를 재는 도함수예요.
- 도함수 = 순간 변화율, 이라는 하나의 아이디어
- 물리·화학·생물·경제 각 분야에서의 해석
- "변화율"이라는 뼈대는 그대로, 단위와 이름만 바뀜
먼저 알아야 할 것
개념 설명
하나의 아이디어, 여러 이름
함수 y = f(x)에서 도함수 \frac{dy}{dx}는 "x가 조금 늘 때 y가 얼마나 변하나"예요. 여기서 x와 y에 무엇을 넣느냐에 따라 이름이 바뀌어요. 아래 표가 이 절 전체를 요약해요.
| 분야 | 입력 → 출력 | 도함수의 이름 |
|---|---|---|
| 물리 | 시간 → 위치 | 속도 |
| 물리 | 시간 → 속도 | 가속도 |
| 물리 | 시간 → 전하 | 전류 |
| 화학 | 시간 → 농도 | 반응 속도 |
| 생물 | 시간 → 개체 수 | 개체군 증가율 |
| 경제 | 생산량 → 총비용 | 한계비용 |
물리 — 위치, 속도, 가속도
물체의 위치가 시간의 함수 s = f(t)일 때, 속도는 위치의 도함수 v(t) = s'(t)예요. 그리고 가속도는 속도의 도함수 a(t) = v'(t) = s''(t)죠. 위치를 한 번 미분하면 속도, 또 미분하면 가속도 — 이렇게 도함수를 겹쳐 쓰면 운동의 전체 그림이 나와요. 전류도 같은 틀이에요. 전하 Q(t)가 시간에 따라 흐를 때 전류 I = \frac{dQ}{dt}, 즉 "전하가 얼마나 빨리 지나가나"예요.
화학·생물 — 농도와 개체 수의 변화
화학 반응에서 반응물의 농도 C(t)가 줄어드는 속도가 반응 속도예요. 감소하니까 보통 -\frac{dC}{dt}로 부호를 붙여 양수로 만들죠. 생물에서는 개체 수 n = f(t)의 도함수 \frac{dn}{dt}가 개체군 증가율이에요. 실제로 개체 수는 정수로 뛰지만, 수가 크면 매끄러운 함수로 근사해서 미분해요.
경제 — 한계비용
총비용 C(x)가 상품 x개를 만드는 데 드는 비용일 때, 한계비용(marginal cost)은 C'(x)예요. "한 개 더 만들 때 늘어나는 비용"을 뜻하죠. 경제학의 "한계(marginal)"라는 말은 사실상 "도함수"의 다른 이름이에요. 한계수입 R'(x)도 마찬가지예요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
위치에서 속도·가속도 뽑기. 물체의 위치가 s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t (미터, t는 초)라고 해요.
- 속도는 위치의 도함수예요.
- t = 2초일 때 속도를 넣어봐요.
값이 음수라 물체가 뒤로(음의 방향으로) 초당 3\ \text{m} 움직이고 있어요.
- 가속도는 속도를 한 번 더 미분해요.
t = 2에서 가속도가 0이니, 그 순간 속도가 늘지도 줄지도 않는 전환점이에요. 위치 한 줄에서 미분만으로 운동 상태가 다 읽히죠.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 도함수는 단 하나의 아이디어예요 — 순간 변화율. 분야마다 옷만 갈아입어요.
- 물리(속도·가속도·전류), 화학(반응 속도), 생물(개체군 증가율), 경제(한계비용)가 전부 \frac{d(\text{출력})}{d(\text{입력})}이에요.
- 새 문제를 만나면 "입력이 뭐고 출력이 뭐지, 그럼 도함수는 무엇의 변화율이지"로 번역하는 습관을 들이세요. 단위와 부호까지 챙기면 완성이에요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 2.8 관련변화율에서는 여러 변화율이 사슬처럼 엮여요 — 한 양의 변화율로 다른 양의 변화율을 구하죠. 이 절의 "도함수 = 변화율" 감각이 그 출발점이에요.