16.6 매개곡면과 그 넓이

Parametric Surfaces and Their Areas

한눈에 보기

곡선을 하나의 매개변수 t로 그렸던 걸 기억하나요(\mathbf{r}(t), 13.1)? 곡선은 1차원이라 다이얼 하나로 충분했어요. 그런데 곡면은 2차원이라 다이얼이 두 개 필요해요. 그래서 매개변수 u, v 두 개로 곡면을 그리는 게 매개곡면(parametric surface)이에요.

매개곡면 \mathbf{r}(u, v) = \langle x(u,v),\, y(u,v),\, z(u,v)\rangle — 매개변수 2개로 공간의 곡면
접벡터 \mathbf{r}_u,\ \mathbf{r}_v와 그 외적으로 만드는 법선벡터 \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v
곡면 넓이 A = \iint_D |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\, dA

먼저 알아야 할 것

개념 설명

매개곡면

\mathbf{r}(u, v) = \langle x(u,v),\, y(u,v),\, z(u,v)\rangle는 매개변수 짝 (u, v) 하나마다 공간의 점 하나를 정해줘요. (u, v)가 평면 위의 영역 D 안을 돌아다니면, 대응하는 점들이 모여 곡면을 이루죠.

핵심 감각은 이거예요. v를 상수로 고정하고 u만 움직이면 곡면 위에 곡선 하나(격자선)가 그려져요. 반대로 u를 고정하고 v만 움직이면 또 다른 방향의 곡선이 그려지고요. 이 두 방향의 격자선이 곡면을 그물처럼 덮어요 — 지구본의 경선과 위선처럼요.

예를 들어 반지름 a인 구는 북극(z축 양의 방향)에서부터 잰 각 \phi(0 \le \phi \le \pi)와 경도 각 \theta(0 \le \theta \le 2\pi) 두 개로 그려요. 지리의 위도와 달리 \phi는 극에서부터 재는 각이라, \phi = 0이 북극이고 \phi = \pi/2가 적도예요.

\mathbf{r}(\phi, \theta) = \langle a\sin\phi\cos\theta,\ a\sin\phi\sin\theta,\ a\cos\phi \rangle

여기서 \phi를 고정하면 위선(가로 원), \theta를 고정하면 경선(세로 반원)이 나와요.

법선과 넓이

곡면 위 한 점에서 두 방향의 격자선을 각각 미분하면 그 방향의 접벡터를 얻어요.

\mathbf{r}_u = \left\langle \frac{\partial x}{\partial u},\ \frac{\partial y}{\partial u},\ \frac{\partial z}{\partial u} \right\rangle, \qquad \mathbf{r}_v = \left\langle \frac{\partial x}{\partial v},\ \frac{\partial y}{\partial v},\ \frac{\partial z}{\partial v} \right\rangle

이 두 접벡터는 그 점에서의 접평면을 펼쳐요. 그리고 둘의 외적 \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v는 접평면에 수직인 벡터, 즉 법선벡터(normal vector)예요.

넓이는 여기서 자연스럽게 나와요. u를 \Delta u만큼, v를 \Delta v만큼 아주 조금 움직이면 곡면 위에 거의 평행사변형인 작은 조각이 생겨요. 그 두 변이 \mathbf{r}_u\,\Delta u와 \mathbf{r}_v\,\Delta v죠. 외적의 크기가 평행사변형 넓이라는 12.4 성질에 따라, 이 조각의 넓이는 |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,\Delta u\,\Delta v예요. 조각들을 전부 더하면(적분하면) 곡면 전체 넓이가 돼요.

수식 하나하나 뜯어보기

수식 뜯어보기

매개곡면의 넓이

A = \iint_D |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\, dA

기호	읽는 법	뜻
\mathbf{r}_u	"알 유"	u 방향 접벡터(\mathbf{r}을 u로 편미분)
\mathbf{r}_v	"알 브이"	v 방향 접벡터(\mathbf{r}을 v로 편미분)
\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v	"알 유 크로스 알 브이"	두 접벡터의 외적 = 법선벡터
\vert \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \vert	"크기"	작은 조각의 넓이 배율(넓이요소)
D	"디"	매개변수 (u, v)가 사는 평면 영역

문장으로 읽으면: "매개변수 영역 D의 작은 조각마다 넓이 배율 |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|을 곱해서 전부 더하면, 곡면의 실제 넓이가 나와요."

손으로 따라가는 예제

반지름 a, 높이 h인 원기둥 옆면의 넓이를 매개화로 구해 봅시다. 답이 2\pi a h가 나오는지 확인하는 거예요.

각도 \theta와 높이 z 두 매개변수로 옆면을 그려요.

\mathbf{r}(\theta, z) = \langle a\cos\theta,\ a\sin\theta,\ z \rangle, \qquad 0 \le \theta \le 2\pi,\ \ 0 \le z \le h

접벡터 두 개를 구해요.

\mathbf{r}_\theta = \langle -a\sin\theta,\ a\cos\theta,\ 0 \rangle, \qquad \mathbf{r}_z = \langle 0,\ 0,\ 1 \rangle

외적을 계산해요.

\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_z = \langle a\cos\theta,\ a\sin\theta,\ 0 \rangle

크기를 재요. \sqrt{(a\cos\theta)^2 + (a\sin\theta)^2} = \sqrt{a^2} = a. 즉 넓이요소가 상수 a예요.
적분해요.

A = \int_0^h \int_0^{2\pi} a\, d\theta\, dz = a \cdot 2\pi \cdot h = 2\pi a h

익히 아는 "밑둘레 \times 높이"와 정확히 맞아요. 매개화·외적·적분이 실제 넓이를 되돌려준다는 걸 확인한 거예요.

흔한 헷갈림

핵심 정리

매개곡면 \mathbf{r}(u, v) = \langle x, y, z \rangle — 매개변수 두 개로 곡면을 그려요. z = f(x, y)로 못 그리는 구·원기둥도 자유롭게 표현해요.
두 방향 접벡터 \mathbf{r}_u,\ \mathbf{r}_v의 외적 \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v가 법선벡터이고, 그 크기가 작은 조각의 넓이요소예요.
곡면 넓이 A = \iint_D |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\, dA — 넓이요소를 매개변수 영역 위에서 적분해요.
뒤에서 다시 만나는 곳: 16.7 면적분이 바로 이 매개화 위에서 곡면을 흐르는 양(유량)을 재요. 이때 법선 \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v의 방향이 유량의 부호를 정하죠.

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