16.5 회전과 발산

Curl and Divergence

한눈에 보기

벡터장(각 점에 화살표 하나를 붙인 것, 16.1)이 있을 때, 그 장이 "국소적으로 어떤 성질을 갖는지"를 숫자·화살표로 뽑아내는 두 연산이 있어요. 하나는 회전(curl), 하나는 발산(divergence)이에요.

회전 \nabla\times\mathbf{F} — 한 점에서 장이 얼마나 "소용돌이치는지"와 그 회전축을 나타내요. 결과는 벡터예요.
발산 \nabla\cdot\mathbf{F} — 한 점에서 장이 얼마나 "퍼져나가는지(샘) 또는 모여드는지(싱크)"를 나타내요. 결과는 스칼라(숫자)예요.
보존장 ⟺ curl = 0(정의역에 구멍이 없을 때), 비압축(부피 보존) 유체 ⟺ div = 0.

먼저 알아야 할 것

개념 설명

회전 curl

나블라(del) 연산자 \nabla = \left\langle \dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, \dfrac{\partial}{\partial z} \right\rangle를 하나의 "벡터처럼" 생각해 볼게요. 이 벡터를 장 \mathbf{F}와 외적하면 회전이 나와요. 결과가 벡터인 이유가 여기 있어요 — 외적은 벡터를 만드니까요.

회전 벡터의 방향은 소용돌이의 회전축(오른손 법칙)이고, 크기는 그 회전이 얼마나 센지예요. 물에 띄운 바람개비의 회전축이 회전 벡터의 방향, 도는 속도가 그 크기라고 보면 돼요. 만약 어떤 점에서 \nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}이면, 그 점 근처에서 장이 "돌지 않는다"는 뜻이에요. 이런 장을 비회전(irrotational)이라고 불러요.

발산 div

발산은 나블라를 장과 내적한 것이에요. 내적의 결과는 숫자니까, 발산은 스칼라예요. 한 점에서의 발산은 "그 점을 둘러싼 아주 작은 상자에서, 나가는 흐름이 들어오는 흐름보다 얼마나 많은가"를 재요.

\nabla\cdot\mathbf{F} > 0 이면 그 점은 샘(source) — 흐름이 솟아나와요.
\nabla\cdot\mathbf{F} < 0 이면 그 점은 싱크(sink) — 흐름이 빨려 들어가요.
\nabla\cdot\mathbf{F} = 0 이면 들어온 만큼 나가서, 순수하게 통과만 해요.

수식 하나하나 뜯어보기

수식 뜯어보기

회전과 발산

\nabla\times\mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle

\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}

기호	읽는 법	뜻
\nabla	"나블라" 또는 "델"	편미분을 성분으로 갖는 연산자
\nabla\times\mathbf{F}	"컬 에프"	회전 — 결과는 벡터
\nabla\cdot\mathbf{F}	"다이버전스 에프"	발산 — 결과는 스칼라
P, Q, R	"피, 큐, 알"	\mathbf{F}의 x, y, z 성분 함수

문장으로 읽으면: 회전은 "나블라와 \mathbf{F}를 외적해서 소용돌이 벡터를 얻는 것", 발산은 "나블라와 \mathbf{F}를 내적해서 세 편미분 \dfrac{\partial P}{\partial x}, \dfrac{\partial Q}{\partial y}, \dfrac{\partial R}{\partial z}을 더한 퍼짐 정도"예요.

손으로 따라가는 예제

\mathbf{F} = \langle -y,\ x,\ 0 \rangle로 회전과 발산을 계산해 볼게요. 이 장은 z축을 중심으로 빙글빙글 도는 흐름이에요(P = -y, Q = x, R = 0).

회전 각 성분을 공식대로 넣어요.

\nabla\times\mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial (0)}{\partial y} - \frac{\partial (x)}{\partial z},\ \frac{\partial (-y)}{\partial z} - \frac{\partial (0)}{\partial x},\ \frac{\partial (x)}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \right\rangle = \langle 0,\ 0,\ 2 \rangle

z성분이 2로 나왔어요 — 회전축이 z축 방향이고, 실제로 이 장이 z축 둘레로 돌고 있다는 걸 딱 맞게 잡아냈죠.

발산 을 계산하면

\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial (x)}{\partial y} + \frac{\partial (0)}{\partial z} = 0 + 0 + 0 = 0

발산이 0이에요. 회전만 하고 어디서도 솟거나 빨려들지 않는, 순수한 소용돌이라는 뜻이에요.

흔한 헷갈림

회전은 벡터, 발산은 스칼라예요. 외적(\times)의 결과는 벡터, 내적(\cdot)의 결과는 숫자라는 걸 떠올리면 헷갈리지 않아요.
\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}이고 정의역이 구멍 없이 이어진(단순연결) 영역이면 보존장이에요 — 예컨대 \mathbf{F}가 \mathbb{R}^3 전체에서 정의될 때요. 반대 방향, 즉 보존장이면 회전이 \mathbf{0}인 건 조건 없이 항상 참이에요. 그래서 회전 계산은 "이 장이 퍼텐셜 함수를 갖는가"를 판정하는 빠른 도구예요(16.3의 보존장 판정을 3차원으로 확장한 것).
발산 0과 회전 0은 별개예요. 위 예제처럼 발산은 0인데 회전은 0이 아닐 수 있어요. 하나가 0이라고 다른 하나도 0인 건 아니에요.

핵심 정리

회전 \nabla\times\mathbf{F}(나블라와 외적) = 소용돌이의 세기·축, 결과는 벡터.
발산 \nabla\cdot\mathbf{F} = \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} + \dfrac{\partial R}{\partial z}(나블라와 내적) = 샘·싱크 정도, 결과는 스칼라.
보존장 ⟺ 회전 = 0(정의역에 구멍이 없을 때 — 보존장 ⟹ 회전 0 방향은 항상 참), 비압축 유체 ⟺ 발산 = 0.
뒤에서 다시 만나는 곳: 회전은 16.8 스토크스 정리에서 곡면을 도는 순환량과 연결되고, 발산은 16.9 발산정리에서 닫힌 곡면을 빠져나가는 총 흐름과 연결돼요. 이 두 정리가 벡터 미적분의 최종 목적지예요.

진도는 이 브라우저에 저장됩니다.