한눈에 보기
평면 위에 닫힌 곡선 C가 있고, 그 안쪽 영역을 D라고 해요. 그린 정리(Green's Theorem)는 경계 C를 한 바퀴 도는 선적분과 내부 D 전체의 이중적분이 사실 같은 값이라고 말해줘요. 즉 테두리만 훑어도 안쪽 정보를 다 알 수 있다는 거죠.
- 평면 폐곡선 C(반시계, 영역 D의 경계)에서 성립하는 등식
- 1차원 경계 선적분 = 2차원 내부 이중적분을 잇는 다리
- 방향(반시계 = 양의 방향)이 핵심
- 넓이 계산에도 써먹을 수 있어요
먼저 알아야 할 것
개념 설명
경계와 내부를 잇기
벡터장 \mathbf{F} = (P, Q)가 평면에 깔려 있다고 해봐요. 여기서 P = P(x, y), Q = Q(x, y)는 각 점마다 정해진 두 함수예요. 이제 닫힌 곡선 C를 따라 한 바퀴 돌면서 \oint_C P\,dx + Q\,dy를 재요. 이 값은 "C를 도는 동안 장이 나를 얼마나 밀어줬나"를 합친 순환량(circulation)이에요.
그린 정리는 이 테두리 값이, 영역 D 안쪽 모든 점에서의 \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}를 전부 더한 것과 같다고 해요. 이 \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}는 그 점에서 장이 얼마나 반시계로 소용돌이치는지를 나타내는 양이에요(나중에 배울 회전, curl의 평면 성분이죠).
왜 이게 성립할까요? 직관은 이래요. 영역 D를 아주 작은 조각으로 잘게 나누면, 인접한 두 조각의 맞닿은 변에서는 선적분이 서로 반대 방향이라 상쇄돼요. 결국 안쪽 경계선은 전부 지워지고, 살아남는 건 가장 바깥 테두리 C뿐이에요. 그래서 "안쪽 조각들의 합 = 바깥 테두리 하나"라는 등식이 나오는 거예요.
수식 하나하나 뜯어보기
넓이에도 응용돼요. 만약 \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1이 되게 P, Q를 고르면, 우변은 그냥 \iint_D 1 \, dA = (D\text{의 넓이})가 돼요. 예를 들어 P = 0,\ Q = x로 잡으면 다음이 성립해요.
둘레만 따라 적분하면 넓이가 나오는 거죠 — 플라니미터의 비밀이에요.
손으로 따라가는 예제
P = -y,\ Q = x이고, C가 반지름 1인 원(반시계)일 때 양변을 각각 계산해서 정말 같은지 확인해 볼게요.
우변(이중적분) 먼저:
그래서 우변은 \iint_D 2 \, dA = 2 \times (\text{원의 넓이}) = 2 \times \pi (1)^2 = 2\pi 예요.
좌변(선적분): 원을 x = \cos t,\ y = \sin t (0 \le t \le 2\pi)로 매개변수화하면 dx = -\sin t\,dt, dy = \cos t\,dt 예요. 그러면
양변 모두 2\pi! 그린 정리가 정확히 맞아떨어져요. (참고로 이 P, Q는 \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2라, 넓이 공식 A = \frac{1}{2}\oint_C -y\,dx + x\,dy의 재료이기도 해요.)
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 그린 정리: \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA.
- 뜻: 경계 선적분(1D) = 내부 이중적분(2D). 테두리와 속을 잇는 다리예요.
- 방향은 반시계 = 양. 폐곡선일 때만 성립.
- 넓이 응용: A = \oint_C x\,dy = \frac{1}{2}\oint_C -y\,dx + x\,dy (둘레로 넓이 계산 = 플라니미터).
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 16.5에서 배울 회전(curl)의 평면 성분이 바로 \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}예요. 그리고 그린 정리는 16.8 스토크스 정리의 평면(2D) 특수 경우 — 곡면과 공간으로 일반화하면 그게 스토크스 정리예요.