먼저 일반항을 찾아볼게요. 분자는 2, 4, 6, 8, 10, \dots 이니까 2n 이고, 분모는 5, 6, 7, 8, 9, \dots 이니까 n + 4 예요. 부호는 첫 항(n=1)이 음수이므로 (-1)^n 이에요. 따라서

핵심 — 교대급수 판정법을 쓰기 전에 항이 0 으로 가는지부터 봐요. 교대급수 판정법이 성립하려면 절댓값 부분 b_n = \dfrac{2n}{n+4} 이 0 으로 가야 해요. 그런데

이라 조건이 깨져요. b_n 이 2 로 가므로 a_n 은 대략 +2 와 -2 사이를 계속 왔다 갔다 해요. 즉 \lim_{n\to\infty} a_n 은 존재하지 않아요.

결론: 발산해요. (항이 0 으로 가지 않으므로 발산판정법(Test for Divergence)에 의해 발산.)

검산: a_{100} = (-1)^{100}\cdot\frac{200}{104} \approx +1.923, a_{101} \approx -1.925. 항이 사라지기는커녕 크기가 계속 2 근처에 머물러요. 이런 급수는 절대 수렴할 수 없어요.

일반항을 찾아볼게요. 분모의 \ln 안이 3, 4, 5, 6, 7, \dots 이니까 \ln(n+2) 예요. 부호는 첫 항(n=1)이 양수이므로 (-1)^{n-1} 이에요. 따라서

이건 부호가 규칙적으로 바뀌는 교대급수라서 교대급수 판정법의 두 조건을 확인하면 돼요.

조건 (i) — b_n 이 감소하는가? n 이 커지면 \ln(n+2) 도 커지고, 분모가 커지면 분수는 작아져요. 그래서 b_{n+1} < b_n 이 성립해요. 감소해요.

조건 (ii) — b_n \to 0 인가? n \to \infty 이면 \ln(n+2) \to \infty 이므로

두 조건 모두 만족하네요.

결론: 교대급수 판정법에 의해 수렴해요.

참고: 이 급수는 절대수렴은 아니에요. 절댓값을 씌운 \sum \frac{1}{\ln(n+2)} 은 \frac{1}{\ln(n+2)} > \frac{1}{n+2} (로그가 일차식보다 천천히 커지니까) 이고 \sum \frac{1}{n+2} 이 발산하므로 비교판정법으로 발산해요. 그러니 이 급수는 조건수렴이에요.

e^{-n} = \dfrac{1}{e^n} 이니까 이 급수는

교대급수 판정법으로 풀기.

조건 (i): e^n 은 n 이 커질수록 커지므로 b_n = 1/e^n 은 감소해요.

조건 (ii): \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{e^n} = 0 이에요.

두 조건 모두 만족하므로 수렴해요.

더 강하게 말할 수도 있어요. 이 급수는 사실 공비 r = -\dfrac{1}{e} 인 등비급수예요.

\left\vert -\dfrac{1}{e} \right\vert = \dfrac{1}{e} \approx 0.368 < 1 이므로 등비급수 판정으로도 수렴하고, 이건 절대수렴이에요. 합까지 구하면 첫 항 -1/e, 공비 -1/e 이라

b_n = \sin\dfrac{\pi}{n} 로 두면 교대급수 형태예요. n \ge 2 일 때 각도 \dfrac{\pi}{n} 은 \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right] 범위 안에 들어가서 \sin 값이 양수예요. (첫 항 n=1 은 \sin\pi = 0 이라 사실상 n=2 부터 봐도 돼요.)

조건 (i) — 감소하는가? n 이 커지면 각도 \dfrac{\pi}{n} 은 점점 작아져서 0 에 가까워져요. \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right] 구간에서 \sin 은 각도가 작아질수록 값도 작아지므로, b_n = \sin\dfrac{\pi}{n} 은 감소해요.

조건 (ii) — 0 으로 가는가? \dfrac{\pi}{n} \to 0 이므로

두 조건 모두 만족하므로 교대급수 판정법에 의해 수렴해요.

참고로 절대수렴은 아니에요. \dfrac{\pi}{n} 이 작을 때 \sin\dfrac{\pi}{n} \approx \dfrac{\pi}{n} 이라, \sum \sin\dfrac{\pi}{n} 은 \sum \dfrac{\pi}{n} 처럼 행동해서 발산해요(극한비교판정법). 그러니 조건수렴이에요.

절대수렴 판정 → 교대급수 판정 순서로 확인하는 게 정석이에요.

1단계 — 절댓값 급수를 봐요.

이걸 조화급수 \sum \dfrac{1}{n} 과 극한비교해 볼게요.

극한이 \dfrac{1}{5} 로 유한하고 양수인데, 비교 대상 \sum \dfrac{1}{n} 이 발산하므로 \sum \dfrac{1}{5n+1} 도 발산해요. 즉 절대수렴은 아니에요.

2단계 — 원래 교대급수를 봐요. b_n = \dfrac{1}{5n+1} 은 분모가 커지므로 감소하고, \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{5n+1} = 0 이에요. 교대급수 판정법에 의해 수렴해요.

결론: 수렴하지만 절대수렴은 아니므로 조건수렴이에요.

이 급수는 부호가 규칙적으로 안 바뀌어요(\sin n 이 제멋대로 양수·음수를 오가요). 그래서 교대급수 판정법을 못 써요. 대신 절댓값 급수에 직접 비교판정법을 써요.

절댓값 급수:

\sin 값은 항상 \vert \sin n \vert \le 1 이므로

오른쪽 \sum \dfrac{1}{2^n} 은 공비 \dfrac{1}{2} 인 등비급수라 수렴해요. 더 작은 급수는 당연히 수렴하므로(직접비교판정법), \sum \dfrac{\vert \sin n \vert}{2^n} 이 수렴해요.

결론: 절댓값 급수가 수렴하므로 원래 급수는 절대수렴이에요. (절대수렴이면 원래 급수도 수렴한다는 정리에 의해 물론 수렴도 해요.)

핵심 관찰 — \cos n\pi 를 정리해요. \cos n\pi 는 n 이 정수일 때 +1, -1, +1, -1, \dots 을 반복해요. 즉

그래서 이 급수는 사실 교대급수였어요.

1단계 — 절댓값 급수. \sum \dfrac{1}{3n+2} 을 조화급수와 극한비교해요.

\sum \dfrac{1}{n} 이 발산하므로 \sum \dfrac{1}{3n+2} 도 발산해요. 절대수렴은 아니에요.

2단계 — 교대급수 판정. b_n = \dfrac{1}{3n+2} 은 감소하고 \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{3n+2} = 0 이므로 수렴해요.

결론: 조건수렴이에요.

수렴 확인. b_n = \dfrac{1}{n^6} 은 감소하고 \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n^6} = 0 이므로 교대급수 판정법에 의해 수렴해요. (사실 p=6 인 p-급수라서 절대수렴이기도 해요.)

몇 개의 항이 필요한가. 교대급수 추정 정리에 따르면, n 개 항까지 더한 부분합 s_n 의 오차는 버린 첫 항의 크기로 막을 수 있어요.

오차를 0.00005 보다 작게 하려면

이제 (n+1)^6 > 20000 을 만족하는 가장 작은 n 을 손으로 찾아요.

그러니까 n+1 = 6, 즉 n = 5 부터 조건이 통해요.

검산:

• b_5 = \dfrac{1}{5^6} = \dfrac{1}{15625} \approx 0.000064 → 0.00005 보다 큼(부족)
• b_6 = \dfrac{1}{6^6} = \dfrac{1}{46656} \approx 0.0000214 → 0.00005 보다 작음(충분)

버린 첫 항이 b_6 이 되려면 s_5 까지 더해야 해요.

결론: 항 5개를 더하면 돼요.

수렴 확인. b_n = \dfrac{1}{n^2 2^n} 은 분모 n^2 2^n 이 계속 커지므로 감소하고, \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n^2 2^n} = 0 이므로 교대급수 판정법에 의해 수렴해요.

몇 개의 항이 필요한가. 오차 한계는 버린 첫 항의 크기예요.

b_{n+1} 을 하나씩 계산해서 언제 \dfrac{1}{2000} 보다 작아지는지 봐요.

• b_2 = \dfrac{1}{2^2 \cdot 2^2} = \dfrac{1}{16} = 0.0625
• b_3 = \dfrac{1}{3^2 \cdot 2^3} = \dfrac{1}{72} \approx 0.01389
• b_4 = \dfrac{1}{4^2 \cdot 2^4} = \dfrac{1}{256} \approx 0.003906
• b_5 = \dfrac{1}{5^2 \cdot 2^5} = \dfrac{1}{800} = 0.00125 → 아직 큼
• b_6 = \dfrac{1}{6^2 \cdot 2^6} = \dfrac{1}{2304} \approx 0.000434 → 0.0005 보다 작음(충분)

버린 첫 항이 b_6 이 되려면 s_5 까지, 즉 항 5 개를 더해야 해요.

결론: 항 5개를 더하면 돼요.

전략. 소수점 넷째 자리까지 정확하려면 오차가 0.00005 보다 작아야 해요. 교대급수라서 오차는 버린 첫 항의 크기 b_{n+1} = \dfrac{1}{(2n+2)!} 로 막아요. 그러니 먼저 항들을 계산해서 어디서 0.00005 밑으로 떨어지는지 봐요. (b_n = \dfrac{1}{(2n)!})

• b_1 = \dfrac{1}{2!} = \dfrac{1}{2} = 0.5
• b_2 = \dfrac{1}{4!} = \dfrac{1}{24} \approx 0.0416667
• b_3 = \dfrac{1}{6!} = \dfrac{1}{720} \approx 0.0013889
• b_4 = \dfrac{1}{8!} = \dfrac{1}{40320} \approx 0.0000248 → 0.00005 보다 작음

버린 첫 항이 b_4 \approx 0.0000248 < 0.00005 가 되도록, s_3 (항 3개)까지만 더하면 충분해요. 부호는 (-1)^n 이라 n=1 이 음수, n=2 가 양수, n=3 이 음수예요.

한 번에 계산하면

오차가 b_4 \approx 0.0000248 이하이므로 참값은 [-0.4597222,\ -0.4596974] 안에 있어요. 어느 쪽으로 반올림해도 넷째 자리는 -0.4597 이에요.

결론: 합 \approx -0.4597

검산: 이 급수는 사실 \cos 1 의 테일러 급수에서 첫 항(n=0 의 1)을 뺀 것이라 정확한 값이 \cos 1 - 1 이에요. \cos 1 = 0.5403023 이므로 \cos 1 - 1 = -0.4596977. 우리 근사 -0.4597 과 딱 맞아요.

이 급수는 교대조화급수로, 합이 s = \ln 2 \approx 0.6931 이에요. 부호는 (-1)^{n-1} 이라 n=1 항이 양수예요.

핵심 — 짝수 번째 부분합과 홀수 번째 부분합의 위치. 교대급수에서 참값 s 는 항상 연속하는 두 부분합 s_n 과 s_{n+1} 사이에 있어요. s_{50} 다음에 더하는 항은

으로 양수예요. 그러니까

이고, 참값 s 는 이 둘 사이에 있으니

즉 s_{50} < s 예요.

결론: s_{50} 은 전체 합보다 작으므로 과소평가(underestimate)예요.

직관: 짝수 번째 부분합(s_2, s_4, \dots, s_{50})은 아래에서 위로 올라가며 s 에 다가가고, 홀수 번째 부분합은 위에서 내려오며 다가가요. s_{50} 은 짝수 번째라 항상 s 아래에 있어요.

p 를 세 경우로 나눠서 봐요. b_n = \dfrac{1}{n^p} = n^{-p} 예요.

경우 1 — p > 0. 이때 b_n = \dfrac{1}{n^p} 은 분모 n^p 이 커지므로 감소하고

교대급수 판정법의 두 조건을 모두 만족하므로 수렴해요.

경우 2 — p = 0. 이때 항은 \dfrac{(-1)^{n-1}}{n^0} = (-1)^{n-1} 이라 +1, -1, +1, \dots 을 반복해요. \lim_{n\to\infty} a_n 이 존재하지 않으므로(=0 이 아니므로) 발산판정법에 의해 발산해요.

경우 3 — p < 0. -p > 0 이라 b_n = n^{-p} = n^{\vert p \vert} \to \infty 예요. 항의 크기가 커지므로 \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, 역시 발산판정법에 의해 발산해요.

결론: p > 0 일 때만 수렴해요.

참고: 절대수렴은 \sum \dfrac{1}{n^p} 이 수렴하는 p > 1 에서만 일어나고, 0 < p \le 1 에서는 조건수렴이에요. 다만 이 문제는 "수렴"만 물었으니 답은 p > 0 이에요.