한눈에 보기
무한급수 \sum a_n이 수렴하는지 알고 싶은데, 부분합을 딱 떨어지게 못 구할 때가 많아요. 이럴 때 이미 답을 아는 급수와 크기를 견주는 게 비교판정법이에요. 아이디어는 아주 직관적이에요 — 나보다 큰 게 유한하면 나도 유한하고, 나보다 작은 게 무한대로 커지면 나도 커지죠.
- 직접 비교판정: 항끼리 부등호로 비교
- 극한 비교판정: 두 급수 항의 비율의 극한으로 비교
- 비교 상대는 대부분 p-급수나 기하급수(11.3)
먼저 알아야 할 것
개념 설명
직접 비교판정
항끼리 직접 부등호로 견주는 방법이에요. 모든 항이 양수이고, 어떤 지점부터 a_n \le b_n이라고 해봐요.
- 큰 게 수렴하면 작은 것도 수렴: \sum b_n이 수렴하면 \sum a_n도 수렴해요. (위에 유한한 천장이 있으니 눌려서 수렴)
- 작은 게 발산하면 큰 것도 발산: \sum a_n이 발산하면 \sum b_n도 발산해요. (밑에서 무한대로 밀어올리니까)
기억할 포인트는 방향이에요. 수렴은 위(큰 쪽)에서, 발산은 아래(작은 쪽)에서 옮겨와요. 예를 들어 \frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}인데 오른쪽이 수렴(p=2)하니, 왼쪽도 수렴해요.
극한 비교판정
직접 비교는 부등호가 딱 맞아떨어져야 해서 불편할 때가 있어요. 예를 들어 \frac{1}{n^2 - 1}(n = 1은 분모가 0이니 n \ge 2부터 더해요)은 \frac{1}{n^2}보다 크기 때문에, "수렴하는 것보다 크다"로는 아무 결론도 못 내요. 이럴 때 극한 비교가 편해요.
두 양항급수 \sum a_n, \sum b_n에서 비율의 극한을 봐요.
이 값 c가 유한한 양수(0 < c < \infty)면, 두 급수는 운명을 같이해요 — 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산해요. 비율이 어떤 양수로 안착한다는 건 n이 클 때 두 항이 사실상 상수배 관계라는 뜻이라, 거동이 같을 수밖에 없죠. 부등호를 억지로 맞출 필요 없이, 닮은 기준 급수만 잘 고르면 돼요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2 + 3n}{\sqrt{5 + n^5}}의 수렴/발산을 극한 비교로 판정해봐요.
-
지배하는 항 찾기: n이 아주 클 때 분자는 2n^2, 분모는 \sqrt{n^5} = n^{5/2}이 주도해요. 그러면 항은 대략 \frac{2n^2}{n^{5/2}} = \frac{2}{n^{1/2}}처럼 행동해요.
-
기준 급수 정하기: 상수배는 거동에 영향이 없으니 b_n = \frac{1}{n^{1/2}}로 잡아요. 이건 p = \frac{1}{2} \le 1인 p-급수라 발산해요.
-
비율의 극한 계산:
- 결론: 극한이 c = 2로 유한한 양수예요. 기준 \sum \frac{1}{n^{1/2}}이 발산하니, 원래 급수도 발산해요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 직접 비교: 항끼리 부등호로 비교 — 수렴은 큰 쪽에서, 발산은 작은 쪽에서 옮겨와요.
- 극한 비교: \lim \frac{a_n}{b_n} = c가 유한 양수면 두 급수는 함께 수렴/발산해요. 부등호 안 맞아도 돼서 실전에서 더 편해요.
- 기준은 대부분 p-급수·기하급수, 분수식은 지배하는 항만 남겨 골라요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 11.6의 비판정·근판정은 급수 자기 자신의 항 비율(\frac{a_{n+1}}{a_n})만으로 판정하는 방법이라, 비교 상대를 따로 찾을 필요가 없어요.
연습문제
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11.4 비교판정법 · 권장문제 풀이
해설 · 📄 교재 p.798
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문제 1. \sum a_n 과 \sum b_n 이 양의 항을 가진 급수이고, \sum b_n 은 수렴한다고 해요.
(a) 모든 n 에서 a_n > b_n 이면 \sum a_n 에 대해 무엇을 말할 수 있나요? 그 이유는요?
(b) 모든 n 에서 a_n < b_n 이면 \sum a_n 에 대해 무엇을 말할 수 있나요? 그 이유는요?
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직접비교판정법의 "방향"을 이해하는 문제예요. 이 판정법은 작은 급수가 큰 급수에 눌린다는 원리로 작동해요.
(a) a_n > b_n 인 경우 — 아무 결론도 못 내려요.
수렴하는 급수 \sum b_n 보다 항이 더 큰 급수라는 정보만으로는 판정이 안 돼요. 예를 들어 b_n = \frac{1}{n^2} (수렴)보다 큰 급수 중에는 수렴하는 것(a_n = \frac{2}{n^2})도 있고, 발산하는 것(a_n = \frac{1}{n})도 있어요. 위쪽을 눌러 주는 벽이 없으니 결론이 갈려요.
(b) a_n < b_n 인 경우 — \sum a_n 은 수렴해요.
수렴하는 급수 \sum b_n 이 위에서 항을 눌러 주고, 항이 모두 양수라 부분합이 위로 유계이면서 증가하니, 직접비교판정법에 의해 \sum a_n 이 수렴해요.
문제 3.
(a) 직접비교판정법으로 첫 급수 \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{n}{n^3+5} 가 둘째 급수 \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} 와의 비교로 수렴함을 보이세요.
(b) 극한비교판정법으로 첫 급수 \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{n}{n^3-5} 가 둘째 급수 \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} 와의 비교로 수렴함을 보이세요.
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비교 대상 \sum \frac{1}{n^2} 은 p=2 > 1 인 p-급수라 수렴해요. 이걸 기준으로 삼아요.
(a) 직접비교판정법
\frac{n}{n^3+5} \le \frac{1}{n^2} 인지 확인해요. 양변에 양수 n^2(n^3+5) 를 곱하면
항상 참이에요. 따라서 모든 n \ge 2 에서
가 성립하고, 오른쪽 급수가 수렴하니 직접비교판정법으로 \sum \frac{n}{n^3+5} 도 수렴해요.
(b) 극한비교판정법
분모가 n^3-5 라 위와 달리 딱 눌러 주는 부등식을 세우기가 번거로워요(n^3-5 < n^3 이라 분수는 오히려 커져요). 이럴 때 극한비교가 편해요. a_n = \frac{n}{n^3-5}, b_n = \frac{1}{n^2} 로 두면
극한이 0 도 \infty 도 아닌 유한한 양수 1 이에요. \sum b_n = \sum \frac{1}{n^2} 이 수렴하니, 극한비교판정법으로 \sum \frac{n}{n^3-5} 도 수렴해요.
(검산: n=2 에서 분모 n^3-5 = 8-5 = 3 > 0 이라 항이 양수예요. 문제의 시작이 n=2 인 이유가 여기 있어요.)
문제 5. 다음 부등식 중 \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{n^3+1} 이 수렴함을 보이는 데 쓸 수 있는 것은 어느 것인가요?
(a) \dfrac{n}{n^3+1} \ge \dfrac{1}{n^3+1}
(b) \dfrac{n}{n^3+1} \le \dfrac{1}{n}
(c) \dfrac{n}{n^3+1} \le \dfrac{1}{n^2}
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직접비교판정법으로 수렴을 보이려면 "수렴하는 급수보다 항이 작다"를 보여야 해요. 즉 위쪽을 눌러 주는(≤) 부등식이면서, 오른쪽이 수렴하는 급수여야 해요.
(a) 방향이 \ge 라 위를 눌러 주지 못하고, 게다가 오른쪽 \sum \frac{1}{n^3+1} 보다 크다는 정보만으로는 수렴을 못 보여요. → 쓸모없어요.
(b) 부등식 자체는 참이에요(n^2 \le n^3+1). 하지만 오른쪽 \sum \frac{1}{n} 은 조화급수라 발산해요. 발산하는 급수보다 작다는 건 아무 정보도 안 줘요. → 쓸모없어요.
(c) \frac{n}{n^3+1} < \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2} 이라 부등식이 참이고, 오른쪽 \sum \frac{1}{n^2} 이 수렴해요. → 이게 정답이에요.
따라서 답은 (c) 예요.
문제 10. \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n-1}{n^3+1} 이 수렴하는지 발산하는지 판정하세요.
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n 이 클 때 항은 대략 \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2} 처럼 행동해요. 최고차만 남긴 감각으로 \frac{1}{n^2} 과 비교해요.
분자를 n-1 < n 으로, 분모를 n^3+1 > n^3 으로 바꾸면 분수는 커지므로
가 모든 n \ge 1 에서 성립해요. 오른쪽 \sum \frac{1}{n^2} 이 수렴하니, 직접비교판정법으로 \sum \frac{n-1}{n^3+1} 도 수렴해요.
(검산: n=1 항은 \frac{0}{2} = 0 이라 문제없고, 이후 항도 모두 양수예요.)
문제 11. \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{9^n}{3+10^n} 이 수렴하는지 발산하는지 판정하세요.
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지수함수는 밑이 큰 쪽이 지배해요. 분모의 10^n 이 상수 3 을 압도하니, 항은 대략 \frac{9^n}{10^n} = \left(\frac{9}{10}\right)^n 처럼 행동해요.
분모를 3+10^n > 10^n 으로 바꾸면 분수는 작아지므로
이 성립해요. 오른쪽은 공비 r = \frac{9}{10} < 1 인 수렴하는 등비급수예요. 따라서 직접비교판정법으로 \sum \frac{9^n}{3+10^n} 도 수렴해요.
문제 14. \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k \sin^2 k}{1+k^3} 이 수렴하는지 발산하는지 판정하세요.
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\sin^2 k 처럼 출렁이는 인자는 값을 정확히 알 수 없지만, 범위는 확실해요. 항상 0 \le \sin^2 k \le 1 이에요. 이 상한 1 로 눌러 주면
가 성립해요. (분모를 1+k^3 > k^3 으로 바꿔 분수를 키웠어요.) 오른쪽 \sum \frac{1}{k^2} 이 수렴하니, 직접비교판정법으로 \sum \frac{k \sin^2 k}{1+k^3} 도 수렴해요.
문제 21. \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}} 이 수렴하는지 발산하는지 판정하세요.
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n 이 클 때 \sqrt{n^2+1} \approx \sqrt{n^2} = n 이라, 항은 대략 \frac{1}{n} 처럼 행동해요. 발산하는 조화급수 \sum \frac{1}{n} 이 의심되니 극한비교로 확인해요. a_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}, b_n = \frac{1}{n} 로 두면
극한이 유한한 양수 1 이에요. \sum b_n = \sum \frac{1}{n} 이 발산하니, 극한비교판정법으로 \sum \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} 도 발산해요.
(검산: 직접비교로도 확인돼요. \sqrt{n^2+1} \le \sqrt{2n^2} = n\sqrt{2} 이므로 \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{n}. 발산하는 급수에 상수배로 눌려 있으니 발산이에요.)
문제 37. \sum_{n=1}^{\infty} \sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right) 이 수렴하는지 발산하는지 판정하세요.
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n \ge 1 이면 0 < \frac{1}{n} \le 1 < \pi 라 \sin\!\left(\frac{1}{n}\right) > 0 이에요. 양의 항이니 비교판정법을 쓸 수 있어요.
x 가 작을 때 \sin x \approx x 라는 사실에서, 항이 \frac{1}{n} 처럼 행동한다고 짐작할 수 있어요. 발산하는 조화급수 \sum \frac{1}{n} 과 극한비교해요. x = \frac{1}{n} 으로 두면 n \to \infty 일 때 x \to 0 이고
이 유명한 극한값 1 이 나와요. 유한한 양수이고 \sum \frac{1}{n} 이 발산하니, 극한비교판정법으로 \sum \sin\!\left(\frac{1}{n}\right) 도 발산해요.
문제 38. \sum_{n=1}^{\infty} \sin^2\!\left(\dfrac{1}{n}\right) 이 수렴하는지 발산하는지 판정하세요.
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제곱이 붙으면서 37 번과 운명이 갈려요. 모든 x 에서 \vert \sin x \vert \le \vert x \vert 라는 부등식을 쓰면, x = \frac{1}{n} 일 때
가 성립해요. 오른쪽 \sum \frac{1}{n^2} 이 수렴하니, 직접비교판정법으로 \sum \sin^2\!\left(\frac{1}{n}\right) 도 수렴해요.
(검산: 극한비교로도 확인돼요. \frac{\sin^2(1/n)}{1/n^2} = \left(\frac{\sin(1/n)}{1/n}\right)^2 \to 1^2 = 1 이라 유한 양수. \sum \frac{1}{n^2} 수렴 → 수렴.)
문제 48.
(a) \sum a_n 과 \sum b_n 이 양의 항을 가진 급수이고 \sum b_n 이 수렴한다고 해요. 만약
이면 \sum a_n 도 수렴함을 증명하세요.
(b) (a)를 이용해 다음 급수가 수렴함을 보이세요. (i) \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\ln n}{n^3} (ii) \sum_{n=1}^{\infty} \left(1 - \cos\dfrac{1}{n^2}\right)
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(a) 증명
\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = 0 이라는 건, \varepsilon = 1 에 대해 어떤 N 이 있어서 n > N 이면 \frac{a_n}{b_n} < 1 이라는 뜻이에요(항이 양수라 절댓값을 떼도 돼요). 즉
가 성립해요. \sum b_n 이 수렴하니 그 꼬리 \sum_{n>N} b_n 도 수렴하고, 위 부등식과 직접비교판정법에 의해 \sum_{n>N} a_n 이 수렴해요. 앞의 유한개 항은 수렴/발산에 영향을 주지 않으니 \sum a_n 도 수렴해요. \blacksquare
(b)(i) a_n = \frac{\ln n}{n^3}, b_n = \frac{1}{n^2} (수렴하는 p-급수)로 두면
이에요. \ln n 은 n 보다 훨씬 느리게 자라므로(\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0, 로피탈) 이 극한은 0 이에요. (a)에 의해 \sum \frac{\ln n}{n^3} 이 수렴해요.
(b)(ii) a_n = 1 - \cos\frac{1}{n^2}, b_n = \frac{1}{n^2} 로 두면
이에요. x = \frac{1}{n^2} 으로 치환하면 n^2 = \frac{1}{x} 이고 n\to\infty 일 때 x\to 0^+ 이라
이에요. (1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2} 이라 \frac{1-\cos x}{x} \approx \frac{x}{2} \to 0.) (a)에 의해 \sum \left(1 - \cos\frac{1}{n^2}\right) 이 수렴해요.
문제 49.
(a) \sum a_n 과 \sum b_n 이 양의 항을 가진 급수이고 \sum b_n 이 발산한다고 해요. 만약
이면 \sum a_n 도 발산함을 증명하세요.
(b) (a)를 이용해 다음 급수가 발산함을 보이세요. (i) \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{\ln n} (ii) \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\ln n}{n}
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(a) 증명
\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \infty 라는 건, 아무 큰 수 M 을 잡아도 어떤 N 부터는 \frac{a_n}{b_n} > M 이 된다는 뜻이에요. M = 1 로 잡으면 어떤 N 이 있어서 n > N 이면 \frac{a_n}{b_n} > 1, 즉
가 성립해요. \sum b_n 이 발산하고 항이 양수라 그 꼬리도 발산하는데, 위 부등식으로 a_n 이 b_n 을 아래에서 떠받치고 있어요. 직접비교판정법에 의해 \sum a_n 도 발산해요. \blacksquare
(b)(i) a_n = \frac{1}{\ln n}, b_n = \frac{1}{n} (발산하는 조화급수)로 두면
이에요(n 이 \ln n 보다 훨씬 빨리 커요). (a)에 의해 \sum \frac{1}{\ln n} 이 발산해요.
(b)(ii) a_n = \frac{\ln n}{n}, b_n = \frac{1}{n} 로 두면
이에요. (a)에 의해 \sum \frac{\ln n}{n} 이 발산해요.
문제 54. a_n \ge 0 이고 \sum a_n 이 수렴하면 \sum a_n^2 도 수렴함을 증명하세요.
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\sum a_n 이 수렴하면 급수가 수렴하기 위한 필요조건에 의해 \lim_{n\to\infty} a_n = 0 이에요. 따라서 어떤 N 이 있어서 n > N 이면 0 \le a_n < 1 이 돼요.
0 \le a_n < 1 인 수는 제곱하면 더 작아지므로, n > N 에서
이 성립해요. 오른쪽 \sum a_n 이 수렴하니, 직접비교판정법에 의해 꼬리 \sum_{n>N} a_n^2 이 수렴하고, 앞의 유한개 항을 더해도 결론은 그대로라 \sum a_n^2 도 수렴해요. \blacksquare
(핵심은 "a_n \to 0 이라 결국 항이 1 보다 작아진다"는 점이에요. 이게 있어야 a_n^2 \le a_n 을 쓸 수 있어요.)