Hyeontae JoAjou University
Lecture · 8

8.2 회전곡면의 넓이

Area of a Surface of Revolution

한눈에 보기

곡선을 축 둘레로 한 바퀴 빙 돌리면 곡면이 생겨요. 병 표면, 렌즈 겉면, 나팔 모양처럼요. 이 곡면의 넓이를 구하는 게 이번 절이에요. 아이디어는 간단해요 — 곡선을 아주 짧은 조각으로 잘라 돌리면 얇은 띠(원뿔 옆면 조각)가 되고, 그 띠 넓이를 다 더하면(적분하면) 전체 곡면 넓이가 나와요.

  • 회전곡면의 넓이 공식 S = \int 2\pi y\, ds
  • 반지름 y × 둘레 2\pi × 호길이요소 ds
  • x축 회전과 y축 회전에서 반지름이 달라져요

먼저 알아야 할 것

개념 설명

띠 하나의 넓이

곡선 y = f(x)를 x축 둘레로 돌린다고 해봐요. 곡선을 아주 짧은 조각 하나로 자르면, 그 조각을 돌렸을 때 생기는 건 원뿔대(잘린 원뿔)의 옆면 같은 얇은 띠예요.

이 띠를 펼치면, 넓이는 대략 "둘레 × 폭"이에요. 둘레는 반지름이 y인 원이니 2\pi y이고, 폭은 곡선 조각의 길이, 즉 호길이요소 ds예요. 그래서 띠 하나의 넓이는

dS = 2\pi y\, ds

가 돼요. 반지름은 회전축에서 곡선까지의 거리라는 점이 핵심이에요 — x축으로 돌리면 그 거리가 바로 y죠.

다 더하면 곡면 넓이

띠들을 곡선 전체에 걸쳐 더하면(적분하면) 전체 회전곡면의 넓이가 나와요.

S = \int 2\pi y\, ds

여기서 ds를 8.1에서 배운 대로 풀어 쓰면 실제로 계산할 수 있는 적분이 돼요. y = f(x)이고 x가 a에서 b까지면

S = \int_a^b 2\pi f(x)\, \sqrt{1 + (f'(x))^2}\; dx

가 되죠.

축이 바뀌면 반지름이 바뀐다

y축으로 돌리면 회전축에서 곡선까지의 거리는 x예요. 그래서 반지름이 x로 바뀌어요.

S = \int 2\pi x\, ds

즉 공식의 뼈대 \int 2\pi (\text{반지름})\, ds는 그대로고, 어느 축으로 도느냐에 따라 반지름 자리에 y를 넣을지 x를 넣을지만 정하면 돼요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

반지름 r인 구의 겉넓이를 유도해봐요. 반원 y = \sqrt{r^2 - x^2}(-r \le x \le r)을 x축으로 돌리면 구가 되니까요.

  1. 도함수: y' = \dfrac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}.

  2. 호길이요소 안쪽을 정리해요.

1 + (y')^2 = 1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2} = \frac{r^2}{r^2 - x^2}

그래서 ds = \sqrt{1 + (y')^2}\; dx = \dfrac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\, dx예요.

  1. 공식에 넣어요. 반지름 y = \sqrt{r^2 - x^2}과 ds를 곱하면 루트가 딱 약분돼요.
2\pi y\, ds = 2\pi \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\, dx = 2\pi r\, dx
  1. 적분해요.
S = \int_{-r}^{r} 2\pi r\, dx = 2\pi r \cdot (2r) = 4\pi r^2

익히 아는 구의 겉넓이 4\pi r^2이 정확히 나왔어요. 공식이 제대로 작동한다는 좋은 확인이죠.

흔한 헷갈림

핵심 정리

  • 곡선을 축으로 돌린 회전곡면의 넓이는 S = \int 2\pi y\, ds예요.
  • 얇은 띠 하나 = 둘레(2\pi \times \text{반지름}) × 곡선 조각 길이(ds), 이걸 다 더한 거예요.
  • 반지름은 회전축까지의 거리: x축 회전이면 y, y축 회전이면 x.
  • 뒤에서 다시 만나는 곳: 16.6에서 평면 곡선이 아니라 진짜 곡면 z = f(x, y)의 넓이를 이중적분으로 구해요. 이번의 "조각내서 더한다"는 발상이 그대로 확장돼요.
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