한눈에 보기
직선의 길이는 자로 재면 되지만, 휘어진 곡선의 길이는 어떻게 잴까요? 곡선을 아주 잘게 쪼개면 각 조각은 거의 직선이에요. 그 짧은 직선 조각의 길이를 피타고라스로 구하고 전부 더하면(=적분하면) 전체 곡선의 길이가 나와요. 결론부터 말하면, 곡선 y = f(x)가 x = a부터 x = b까지일 때 길이는
예요. 도함수 f' 하나만 알면 곡선의 길이를 잴 수 있는 거죠.
- 곡선을 잘게 쪼개 피타고라스로 조각 길이 재기
- 호의 길이 공식 L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx 익히기
- 직선에 공식을 적용해 자로 잰 값과 같은지 검증하기
먼저 알아야 할 것
개념 설명
피타고라스로 조각 길이
곡선 y = f(x) 위에서 x가 아주 조금 dx만큼 움직이면, y는 그 기울기만큼, 즉 dy = f'(x)\,dx만큼 움직여요. 이 작은 이동은 가로 dx, 세로 dy인 아주 작은 직각삼각형의 빗변이에요.
빗변의 길이를 피타고라스 정리로 구하면
예요. 여기서 dy = f'(x)\,dx를 넣고 dx로 묶어내면
가 돼요. 이 ds가 곡선 한 조각의 길이예요. 곡선 전체는 이런 조각들이 x = a부터 x = b까지 죽 이어진 것이니, ds를 전부 더하면(=적분하면) 전체 길이 L이 나와요. 이게 맨 앞에서 본 공식이에요.
핵심은 "곡선을 무한히 잘게 쪼개면 각 조각은 직선"이라는 점이에요. 직선이면 피타고라스를 쓸 수 있고, 그 무한한 조각들을 더하는 도구가 바로 적분이고요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
직선 y = 2x가 x = 0부터 x = 3까지일 때 길이를 공식으로 구해 봅시다. (직선이라 자로 잰 답과 맞는지 확인할 수 있어요.)
- 기울기: f(x) = 2x이니 f'(x) = 2예요.
- 루트 안: 1 + [f'(x)]^2 = 1 + 2^2 = 5. 상수네요.
- 적분: L = \int_0^3 \sqrt{5}\, dx = \sqrt{5}\,(3 - 0) = 3\sqrt{5}.
검산해 볼까요? (0, 0)에서 (3, 6)까지의 직선 거리는 피타고라스로 \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}예요. 공식이 준 값과 정확히 같죠. 곡선이 아닌 직선에서도 공식이 자연스럽게 맞아떨어져요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 곡선을 잘게 쪼개면 각 조각은 직선 → 피타고라스로 조각 길이 ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx.
- 조각들을 a부터 b까지 더하면(=적분) 전체 길이 L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\, dx.
- 루트 안의 1은 가로 변화, [f'(x)]^2은 세로 변화에서 온 것 — 둘 다 있어야 맞아요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 이 조각내기 발상을 그대로 써서 8.2에서 회전곡면의 넓이를 구하고, 매개변수로 주어진 곡선의 길이는 13.3(곡률)에서 x, y를 각각 시간의 함수로 보고 다시 다뤄요.