한눈에 보기
적분값은 알겠는데 역도함수를 도저히 못 구하는 함수가 세상엔 많아요. \int e^{-x^2}\,dx 같은 건 아무리 애써도 초등함수로 안 나와요. 그래도 정적분 값(넓이)은 필요하죠. 이럴 때 수치적으로 근사하는 게 근사적분(approximate integration)이에요. 구간을 잘게 나눠서 각 조각의 넓이를 간단한 도형으로 어림하고 다 더하는 방식이에요.
- 중점법(midpoint rule) — 각 조각을 직사각형으로
- 사다리꼴 법칙(Trapezoidal Rule) — 각 조각을 사다리꼴로
- 심프슨 법칙(Simpson's Rule) — 조각을 포물선으로, 보통 가장 정확
먼저 알아야 할 것
개념 설명
사다리꼴 법칙
구간 [a, b]를 n등분해서 나눈 점을 x_0, x_1, \dots, x_n이라 해요. 나눈 폭은 \Delta x = (b-a)/n이고요. 리만합은 각 조각을 직사각형으로 봤는데, 조각 위쪽을 평평하게 자르니 오차가 컸어요.
사다리꼴 법칙은 대신 조각을 사다리꼴로 봐요. 왼쪽 높이 f(x_{i-1}), 오른쪽 높이 f(x_i)를 직선으로 이으면 사다리꼴이 되죠. 사다리꼴 하나의 넓이는 "(윗변 + 아랫변) \times 높이 \div 2"니까 \frac{\Delta x}{2}\big(f(x_{i-1}) + f(x_i)\big)예요. 이걸 다 더하면, 안쪽 점들은 두 사다리꼴이 공유하니까 함수값이 두 번씩 세어져요. 그래서 양 끝은 한 번, 가운데는 두 번씩 더하는 꼴이 돼요.
중점법 — 직사각형을 잘 쓰는 법
직사각형을 아예 버려야 하는 건 아니에요. 중점법(midpoint rule)은 각 조각의 가운데 점 \bar{x}_i에서 잰 높이 f(\bar{x}_i)로 직사각형을 세워요. 끝점 대신 중점을 쓰면 직사각형이 곡선 위로 넘치는 부분과 아래로 모자라는 부분이 좌우에서 서로 상쇄돼요. 그 덕에 의외로 사다리꼴보다 보통 더 정확해요 — 오차 한계가 사다리꼴의 절반이에요.
심프슨 법칙
사다리꼴은 두 점을 직선으로 이었어요. 곡선을 직선으로 어림하니 여전히 오차가 남죠. 심프슨 법칙은 점 세 개를 지나는 포물선으로 이어요. 곡선을 곡선으로 어림하니 훨씬 정확해져요.
포물선 하나가 점 세 개를 덮으니, 구간을 짝수 개(n이 짝수)로 나눠야 해요. 계산하면 함수값 앞에 1, 4, 2, 4, 2, \dots, 4, 1이라는 독특한 계수가 붙어요. 양 끝은 1, 홀수 번째 점은 4, 짝수 번째 점은 2예요. 같은 n이라도 심프슨이 사다리꼴보다 보통 훨씬 정확해서, 실무 수치적분의 기본값처럼 쓰여요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
\displaystyle\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx를 사다리꼴 법칙 n = 4로 근사해 봅시다. (참값은 \ln 2 \approx 0.6931이에요.)
- 폭: \Delta x = (2-1)/4 = 0.25. 나눈 점은 x_0=1,\ x_1=1.25,\ x_2=1.5,\ x_3=1.75,\ x_4=2예요.
- 함수값 y_i = 1/x_i:
- y_0 = 1/1 = 1
- y_1 = 1/1.25 = 0.8
- y_2 = 1/1.5 \approx 0.6667
- y_3 = 1/1.75 \approx 0.5714
- y_4 = 1/2 = 0.5
- 공식에 대입: 가운데 셋에 2를 곱해요.
- 괄호 안 = 1 + 1.6 + 1.3333 + 1.1429 + 0.5 = 5.5762. 여기에 0.125를 곱하면 \approx 0.6970이에요.
- 참값 0.6931과 비교하면 오차는 약 0.004. 조각을 더 잘게(n을 키우면) 오차가 더 줄어요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 역도함수를 못 구할 때, 정적분을 수치적으로 근사해요.
- 사다리꼴 법칙: 조각을 사다리꼴로. 양 끝 1, 가운데 2의 계수에 \Delta x/2를 곱해요.
- 심프슨 법칙: 조각을 포물선으로, 계수 1,4,2,\dots,4,1. n은 짝수, 보통 가장 정확해요.
- 오차 한계 공식으로 필요한 n을 미리 정할 수 있어요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 이 아이디어를 체계적으로 파는 분야가 수치해석(numerical analysis)이에요. 데이터·시뮬레이션에서 컴퓨터가 적분을 계산하는 방식의 뿌리이고, 미분방정식을 컴퓨터로 푸는 것(수치적분)으로도 이어져요.