Hyeontae JoAjou University
Lecture · 7

7.4 부분분수를 이용한 유리함수 적분

Integration of Rational Functions by Partial Fractions

한눈에 보기

\frac{5x - 4}{x^2 - x - 2}처럼 다항식 나누기 다항식 꼴을 유리함수(rational function)라고 해요. 이런 걸 통째로 적분하려면 막막하지만, 사실 우리는 \frac{1}{x - a} 같은 간단한 분수는 이미 적분할 줄 알아요(로그가 되죠). 그래서 아이디어는 간단해요 — 복잡한 유리함수를 간단한 분수 여러 개의 합으로 쪼갠 뒤, 하나씩 적분하는 거예요. 이 쪼개기를 부분분수 분해(partial fractions)라고 해요.

  • 분모를 인수분해하고, 그에 맞춰 간단한 분수의 합으로 나눠 쓰기
  • 미정계수(모르는 상수)를 방정식으로 찾기
  • 각 조각은 로그·역탄젠트로 적분

먼저 알아야 할 것

개념 설명

부분분수 분해

핵심 발상은 통분의 역방향이에요. 우리가 중학교에서 \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}을 통분하면 \frac{2}{x^2 - 1}이 나오죠. 부분분수는 이걸 거꾸로, \frac{2}{x^2 - 1}을 보고 \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}로 되돌리는 거예요.

절차는 세 단계예요.

  1. 분모를 인수분해해요. x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)처럼요.
  2. 각 인수마다 분수 하나를 배정하고, 분자는 모르는 상수로 둬요. \frac{5x - 4}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}.
  3. 미정계수 A, B를 찾아요. 양변에 분모를 곱해 등식을 세우고, 적당한 x값을 넣거나 계수를 비교해서 풀어요.

이때 조건이 하나 있어요 — 분자의 차수가 분모보다 낮아야 해요(진분수, proper). 만약 분자 차수가 더 크거나 같으면(가분수, improper), 먼저 다항식 나눗셈으로 몫과 나머지로 나눈 뒤 나머지 부분만 부분분수로 처리해요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

★ \int \dfrac{1}{x^2 - 1} \, dx를 부분분수로 풀어봅시다.

1단계 — 분모 인수분해. x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)이에요.

2단계 — 조각 배정. 두 개의 일차인수니까 이렇게 둬요.

\frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}

3단계 — 미정계수 찾기. 양변에 (x - 1)(x + 1)을 곱하면:

1 = A(x + 1) + B(x - 1)

편한 x값을 대입해요. x = 1을 넣으면 1 = A(2)이라 A = \frac{1}{2}. x = -1을 넣으면 1 = B(-2)이라 B = -\frac{1}{2}이에요.

4단계 — 조각별 적분. 이제 아는 꼴이 됐어요.

\int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x - 1} \, dx - \frac{1}{2}\int \frac{1}{x + 1} \, dx

각각 로그로 적분되니:

= \frac{1}{2}\ln\vert x - 1 \vert - \frac{1}{2}\ln\vert x + 1 \vert + C = \frac{1}{2}\ln\left\vert \frac{x - 1}{x + 1} \right\vert + C

막막해 보이던 적분이, 쪼개고 나니 로그 두 개로 끝났죠.

흔한 헷갈림

핵심 정리

  • 유리함수 적분은 부분분수로 쪼갠 뒤 조각별로 적분하는 게 핵심이에요.
  • 절차: 분모 인수분해 → 인수마다 조각 배정 → 미정계수 찾기 → 로그·역탄젠트로 적분.
  • 분자 차수가 분모 이상이면(가분수) 먼저 다항식 나눗셈을 해요.
  • 조각 모양은 인수에 따라 달라져요: 일차식 → 상수 분자, 중근 → 제곱까지, 이차식 → Ax + B 분자.
  • 뒤에서 다시 만나는 곳: 7.5는 "이 적분에 어떤 기법을 쓸까"를 종합적으로 판단하는 적분 전략이에요. 부분분수도 그 도구상자 안의 강력한 한 칸이고, 유리함수를 만나면 가장 먼저 꺼내 드는 카드예요.

Exercises

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7.4 부분분수를 이용한 유리함수 적분 · 권장문제 풀이

해설 · 📄 교재 p.545

먼저 스스로 풀어본 뒤 "풀이 보기" 를 눌러 확인하세요.

문제 1. 다음 유리함수의 부분분수 분해 형태를 쓰세요(계수의 실제 값은 구하지 않아도 돼요).

(a) \dfrac{1}{(x-3)(x+5)}    (b) \dfrac{2x+5}{(x-2)^2(x^2+2)}

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분모를 이미 인수분해된 상태로 보고, 각 인수마다 정해진 규칙으로 항을 만들어요.

(a) 분모가 서로 다른 일차식 두 개의 곱이에요. 일차식 하나당 상수 분자를 하나씩 배정해요.

\frac{1}{(x-3)(x+5)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+5}

(b) 분모에 반복인수 (x-2)^2 와 인수분해되지 않는 이차식 x^2+2 가 있어요. 반복인수는 1제곱부터 2제곱까지 각각 항을 만들고, 기약 이차식은 분자를 일차식 Cx+D 로 둬요.

\frac{2x+5}{(x-2)^2(x^2+2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+2}

문제 3. 다음 유리함수의 부분분수 분해 형태를 쓰세요(계수의 실제 값은 구하지 않아도 돼요).

(a) \dfrac{x^2+4}{x^3-3x^2+2x}    (b) \dfrac{x^3+x}{x(2x-1)^2(x^2+3)^2}

풀이 보기

분모를 먼저 완전히 인수분해한 다음 규칙을 적용해요.

(a) 분모를 인수분해하면 x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2) 예요. 서로 다른 일차식 세 개이므로

\frac{x^2+4}{x(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-2}

(b) 분모에 일차식 x, 반복 일차식 (2x-1)^2, 반복 기약 이차식 (x^2+3)^2 이 섞여 있어요. 반복인수는 거듭제곱마다 항을 만들고, 기약 이차식은 분자를 일차식으로 둬요.

\frac{x^3+x}{x(2x-1)^2(x^2+3)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{(2x-1)^2}+\frac{Dx+E}{x^2+3}+\frac{Fx+G}{(x^2+3)^2}

문제 11. 다음 적분을 구하세요.

\int_0^1 \frac{2}{2x^2+3x+1}\,dx
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먼저 분모를 인수분해하면 2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1) 이에요. 부분분수로 나눠요.

\frac{2}{(2x+1)(x+1)}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x+1}

양변에 분모를 곱하면 2=A(x+1)+B(2x+1) 이에요. x=-1 을 넣으면 2=-B 이므로 B=-2, x=-\tfrac12 을 넣으면 2=\tfrac12 A 이므로 A=4 예요. 따라서

\frac{2}{2x^2+3x+1}=\frac{4}{2x+1}-\frac{2}{x+1}

각 항을 적분하면 \displaystyle\int \frac{4}{2x+1}\,dx=2\ln\vert 2x+1\vert, \displaystyle\int \frac{2}{x+1}\,dx=2\ln\vert x+1\vert 이므로

\int_0^1 \frac{2}{2x^2+3x+1}\,dx=\Big[\,2\ln\vert 2x+1\vert-2\ln\vert x+1\vert\,\Big]_0^1=\left[\,2\ln\frac{2x+1}{x+1}\,\right]_0^1

x=1 에서 2\ln\dfrac{3}{2}, x=0 에서 2\ln 1=0 이므로 값은

2\ln\frac{3}{2}

검산: \dfrac{4}{2x+1}-\dfrac{2}{x+1} 에 x=0 을 넣으면 4-2=2 이고, 원래 피적분함수도 \dfrac{2}{1\cdot1}=2 라서 일치해요. 수치로는 2\ln 1.5\approx 0.811 이에요.

문제 12. 다음 적분을 구하세요.

\int_0^1 \frac{x-4}{x^2-5x+6}\,dx
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분모를 인수분해하면 x^2-5x+6=(x-2)(x-3) 이에요(근 2,3 은 적분구간 [0,1] 밖이라 특이점이 없어요). 부분분수로 나눠요.

\frac{x-4}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}

x-4=A(x-3)+B(x-2) 에서 x=2 를 넣으면 -2=-A 이므로 A=2, x=3 을 넣으면 -1=B 이므로 B=-1 이에요. 따라서

\frac{x-4}{x^2-5x+6}=\frac{2}{x-2}-\frac{1}{x-3}

적분하면 2\ln\vert x-2\vert-\ln\vert x-3\vert 이에요. 구간 끝값을 대입하면

\Big[\,2\ln\vert x-2\vert-\ln\vert x-3\vert\,\Big]_0^1=\big(2\ln 1-\ln 2\big)-\big(2\ln 2-\ln 3\big)=-3\ln 2+\ln 3

정리하면 값은

\ln\frac{3}{8}

검산: \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{1}{x-3} 에 x=0 을 넣으면 -1+\tfrac13=-\tfrac23 이고, 원래 함수도 \dfrac{-4}{6}=-\tfrac23 라서 일치해요. 수치로는 \ln 0.375\approx -0.981 이에요.

문제 23. 다음 적분을 구하세요.

\int \frac{10}{(x-1)(x^2+9)}\,dx
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분모에 일차식 x-1 과 기약 이차식 x^2+9 가 있으므로 형태를 이렇게 잡아요.

\frac{10}{(x-1)(x^2+9)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+9}

양변에 분모를 곱하면 10=A(x^2+9)+(Bx+C)(x-1) 이에요. x=1 을 넣으면 10=10A 이므로 A=1 이에요. 우변을 전개해 계수를 비교하면 x^2 항에서 A+B=0 이라 B=-1, 상수항에서 9A-C=10 이라 C=-1 이에요(x 항 -B+C=0 도 성립해요). 따라서

\frac{10}{(x-1)(x^2+9)}=\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+9}

이제 이차식 항을 \dfrac{x}{x^2+9} 와 \dfrac{1}{x^2+9} 로 쪼개 적분해요. 앞부분은 로그, 뒷부분은 아크탄젠트가 돼요.

\int \frac{10}{(x-1)(x^2+9)}\,dx=\ln\vert x-1\vert-\frac{1}{2}\ln(x^2+9)-\frac{1}{3}\tan^{-1}\!\frac{x}{3}+C

검산: 위 식을 미분하면 \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x}{x^2+9}-\dfrac{1}{x^2+9}=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x+1}{x^2+9} 로 다시 피적분함수의 분해 형태가 나와요.

문제 24. 다음 적분을 구하세요.

\int \frac{3x^2-x+8}{x^3+4x}\,dx
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분모를 인수분해하면 x^3+4x=x(x^2+4) 이고, x^2+4 는 더 쪼갤 수 없는 이차식이에요. 형태를 이렇게 잡아요.

\frac{3x^2-x+8}{x(x^2+4)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}

양변에 분모를 곱하면 3x^2-x+8=A(x^2+4)+(Bx+C)x=(A+B)x^2+Cx+4A 예요. 계수를 비교하면 상수항 4A=8 이라 A=2, x 항 C=-1, x^2 항 A+B=3 이라 B=1 이에요. 따라서

\frac{3x^2-x+8}{x^3+4x}=\frac{2}{x}+\frac{x-1}{x^2+4}

이차식 항을 \dfrac{x}{x^2+4} 와 \dfrac{1}{x^2+4} 로 나눠 적분하면

\int \frac{3x^2-x+8}{x^3+4x}\,dx=2\ln\vert x\vert+\frac{1}{2}\ln(x^2+4)-\frac{1}{2}\tan^{-1}\!\frac{x}{2}+C

검산: 미분하면 \dfrac{2}{x}+\dfrac{x}{x^2+4}-\dfrac{1}{x^2+4}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{x-1}{x^2+4} 로 분해 형태와 같아요.

문제 35. 다음 적분을 구하세요.

\int_0^1 \frac{x^3+2x}{x^4+4x^2+3}\,dx
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분모가 x^2 에 대한 식이고 분자에 x 가 홀수 차수로 들어 있어 치환이 편해요. u=x^2 로 두면 du=2x\,dx 예요. 분자를 x^3+2x=(x^2+2)\,x 로 묶으면

(x^3+2x)\,dx=(x^2+2)\,x\,dx=(u+2)\cdot\frac{du}{2}

분모는 x^4+4x^2+3=u^2+4u+3=(u+1)(u+3) 이 돼요. 따라서 적분은

\int \frac{x^3+2x}{x^4+4x^2+3}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{u+2}{(u+1)(u+3)}\,du

부분분수로 \dfrac{u+2}{(u+1)(u+3)}=\dfrac{A}{u+1}+\dfrac{B}{u+3} 라 두면 u=-1 에서 A=\tfrac12, u=-3 에서 B=\tfrac12 예요. 그러면

\frac{1}{2}\int \frac{u+2}{(u+1)(u+3)}\,du=\frac{1}{4}\big[\ln(u+1)+\ln(u+3)\big]=\frac{1}{4}\ln\big[(x^2+1)(x^2+3)\big]

구간 0 부터 1 까지 대입하면 x=1 에서 \tfrac14\ln(2\cdot4)=\tfrac14\ln 8, x=0 에서 \tfrac14\ln(1\cdot3)=\tfrac14\ln 3 이므로 값은

\frac{1}{4}\ln\frac{8}{3}

검산: x 가 작을 때 피적분함수는 \dfrac{2x}{3} 에 가깝고 적분값이 작은 양수여야 하는데, \tfrac14\ln\tfrac83\approx 0.245 로 양수라 앞뒤가 맞아요.

문제 51. 다음 적분을 구하세요.

\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}+3e^x+2}\,dx
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지수를 하나의 변수로 바꾸면 유리함수가 돼요. u=e^x 로 두면 du=e^x\,dx, 즉 dx=\dfrac{du}{u} 이고 e^{2x}=u^2 이에요. 대입하면

\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}+3e^x+2}\,dx=\int \frac{u^2}{u^2+3u+2}\cdot\frac{du}{u}=\int \frac{u}{(u+1)(u+2)}\,du

여기서 분모는 u^2+3u+2=(u+1)(u+2) 로 인수분해했어요. 부분분수로 \dfrac{u}{(u+1)(u+2)}=\dfrac{A}{u+1}+\dfrac{B}{u+2} 라 두면 u=-1 에서 A=-1, u=-2 에서 B=2 예요. 그러면

\int \frac{u}{(u+1)(u+2)}\,du=-\ln\vert u+1\vert+2\ln\vert u+2\vert

u=e^x 를 되돌리면(e^x+1>0, e^x+2>0 이라 절댓값은 벗겨져요) 값은

2\ln(e^x+2)-\ln(e^x+1)+C

검산: -\dfrac{1}{u+1}+\dfrac{2}{u+2} 를 통분하면 \dfrac{-(u+2)+2(u+1)}{(u+1)(u+2)}=\dfrac{u}{(u+1)(u+2)} 로 원래 피적분함수와 같아요.

문제 58. 다음 적분을 구하세요.

\int x\tan^{-1}x\,dx
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부분적분과 부분분수를 함께 써요. u=\tan^{-1}x, dv=x\,dx 로 두면 du=\dfrac{1}{1+x^2}\,dx, v=\dfrac{x^2}{2} 예요. 부분적분 공식에 넣으면

\int x\tan^{-1}x\,dx=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx

남은 적분은 분자의 차수가 분모와 같으니 나눗셈으로 정리해요. \dfrac{x^2}{1+x^2}=1-\dfrac{1}{1+x^2} 이므로

\int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int\!\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx=x-\tan^{-1}x

이를 대입하면

\int x\tan^{-1}x\,dx=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\frac{1}{2}\big(x-\tan^{-1}x\big)+C=\frac{x^2+1}{2}\tan^{-1}x-\frac{x}{2}+C

검산: 결과를 미분하면 x\tan^{-1}x+\dfrac{x^2+1}{2}\cdot\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac12=x\tan^{-1}x+\dfrac12-\dfrac12=x\tan^{-1}x 로 피적분함수가 그대로 나와요.

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