Hyeontae JoAjou University
Lecture · 7

7.3 삼각치환

Trigonometric Substitution

한눈에 보기

적분 안에 \sqrt{a^2 - x^2} 같은 제곱근이 들어 있으면 보통 손이 멈춰요. 이럴 때 x를 삼각함수로 바꿔치기하면 피타고라스 항등식이 루트를 깔끔하게 벗겨줘요. 이게 삼각치환(trigonometric substitution)이에요. 핵심은 루트의 모양을 보고 알맞은 치환을 고르는 거예요.

  • \sqrt{a^2 - x^2} → x = a\sin\theta
  • \sqrt{a^2 + x^2} → x = a\tan\theta
  • \sqrt{x^2 - a^2} → x = a\sec\theta

먼저 알아야 할 것

개념 설명

세 가지 치환 패턴

아이디어는 하나예요. 루트 안을 완전제곱으로 만들어서 제곱근을 없애는 거예요. 그런데 다항식만으로는 안 되니, 삼각함수의 항등식을 빌려요.

첫째, \sqrt{a^2 - x^2}이면 x = a\sin\theta로 놓아요. 그러면 루트 안이 a^2 - a^2\sin^2\theta = a^2(1 - \sin^2\theta) = a^2\cos^2\theta가 되어, 루트가 a\cos\theta로 벗겨져요.

둘째, \sqrt{a^2 + x^2}이면 x = a\tan\theta로 놓아요. a^2 + a^2\tan^2\theta = a^2(1 + \tan^2\theta) = a^2\sec^2\theta가 되어 루트가 a\sec\theta가 돼요.

셋째, \sqrt{x^2 - a^2}이면 x = a\sec\theta로 놓아요. a^2\sec^2\theta - a^2 = a^2(\sec^2\theta - 1) = a^2\tan^2\theta가 되어 루트가 a\tan\theta가 돼요.

어느 경우든 "루트 → 그냥 삼각함수"로 바뀌는 게 핵심이에요.

미분소 dx도 같이 바꾸기

x를 바꿨으니 dx도 바꿔야 해요. 예를 들어 x = a\sin\theta면 dx = a\cos\theta\, d\theta예요. 이걸 빼먹으면 적분이 완전히 틀려요. 치환은 항상 x와 dx를 한 세트로 바꾼다고 기억하세요.

원래 변수로 되돌리기

정적분이 아니라 부정적분이면, 답을 다시 x로 되돌려야 해요. 이때 직각삼각형을 그리는 게 편해요. 예컨대 x = a\sin\theta면 \sin\theta = \frac{x}{a}이니, 빗변 a·높이 x인 직각삼각형에서 밑변은 \sqrt{a^2 - x^2}이 돼요. 이 삼각형만 있으면 \cos\theta, \tan\theta 등을 모두 x로 읽어낼 수 있어요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

\int \dfrac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}을 구해 봅시다.

  1. 루트가 \sqrt{a^2 - x^2} 꼴이니 x = a\sin\theta로 놓아요. 그러면 dx = a\cos\theta\, d\theta예요.
  2. 루트를 벗겨요: \sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2\cos^2\theta} = a\cos\theta. (여기서 \theta를 -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}로 잡아 \cos\theta \ge 0이 되게 해요.)
  3. 대입하면 분자·분모가 약분돼요:
\int \frac{a\cos\theta\, d\theta}{a\cos\theta} = \int d\theta = \theta + C
  1. 원래 변수로 되돌려요. x = a\sin\theta에서 \sin\theta = \frac{x}{a}이니 \theta = \arcsin\frac{x}{a}예요. 따라서
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C

깔끔하죠. 참고로 이 결과를 정적분으로 이어 원 y = \sqrt{a^2 - x^2}의 넓이를 적분하면 반원 넓이 \frac{1}{2}\pi a^2이 나와요 — 원의 넓이 공식이 이렇게 증명돼요.

흔한 헷갈림

핵심 정리

  • 루트 \sqrt{a^2 - x^2}, \sqrt{a^2 + x^2}, \sqrt{x^2 - a^2}을 각각 x = a\sin\theta, a\tan\theta, a\sec\theta로 치환해요.
  • 피타고라스 항등식이 루트 안을 완전제곱으로 만들어, 제곱근이 삼각함수 하나로 벗겨져요.
  • x와 dx를 한 세트로 바꾸고, 끝나면 직각삼각형으로 원래 변수 x에 되돌려요.
  • 뒤에서 다시 만나는 곳: 7.5에서 "어떤 적분에 어떤 기술을 쓸지" 전략을 정리해요 — 삼각치환은 그 도구상자의 한 칸이에요.

Exercises

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7.3 삼각치환 · 권장문제 풀이

해설 · 📄 교재 p.538

먼저 스스로 풀어본 뒤 "풀이 보기" 를 눌러 확인하세요.

문제 10. 다음 적분을 구하세요.

\int \frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}\, dx
풀이 보기

\sqrt{9-x^2} 처럼 \sqrt{a^2-x^2} 꼴이 보이면 x = a\sin\theta 로 치환해요. 여기서는 a=3 이므로 x = 3\sin\theta 로 놓아요.

그러면 dx = 3\cos\theta\, d\theta 이고, 근호 안은

9 - x^2 = 9 - 9\sin^2\theta = 9\cos^2\theta

이므로 \sqrt{9-x^2} = 3\cos\theta 가 돼요. 이제 대입하면

\int \frac{9\sin^2\theta}{3\cos\theta}\cdot 3\cos\theta\, d\theta = \int 9\sin^2\theta\, d\theta

\cos\theta 가 통째로 약분되는 게 삼각치환의 핵심이에요. 남은 것은 배각공식 \sin^2\theta = \dfrac{1-\cos 2\theta}{2} 로 처리해요.

9\int \frac{1-\cos 2\theta}{2}\, d\theta = \frac{9}{2}\theta - \frac{9}{4}\sin 2\theta + C

\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta 를 쓰면 \dfrac{9}{4}\sin 2\theta = \dfrac{9}{2}\sin\theta\cos\theta 이므로

\frac{9}{2}\theta - \frac{9}{2}\sin\theta\cos\theta + C

이제 \theta 로 돌아가요. \sin\theta = \dfrac{x}{3}, \cos\theta = \dfrac{\sqrt{9-x^2}}{3}, \theta = \sin^{-1}\dfrac{x}{3} 이므로

\frac{9}{2}\sin^{-1}\!\frac{x}{3} - \frac{9}{2}\cdot\frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9-x^2}}{3} + C = \frac{9}{2}\sin^{-1}\!\frac{x}{3} - \frac{x\sqrt{9-x^2}}{2} + C

검산. 미분해서 원래 피적분함수가 나오는지 확인해요. 첫 항은

\frac{d}{dx}\!\left[\frac{9}{2}\sin^{-1}\!\frac{x}{3}\right] = \frac{9}{2}\cdot\frac{1/3}{\sqrt{1-x^2/9}} = \frac{9}{2\sqrt{9-x^2}}

둘째 항은 곱의 미분으로

\frac{d}{dx}\!\left[-\frac{x\sqrt{9-x^2}}{2}\right] = -\frac{1}{2}\cdot\frac{9-2x^2}{\sqrt{9-x^2}}

둘을 더하면 \dfrac{9-(9-2x^2)}{2\sqrt{9-x^2}} = \dfrac{2x^2}{2\sqrt{9-x^2}} = \dfrac{x^2}{\sqrt{9-x^2}} 로 원래 함수와 일치해요.

최종 답

\int \frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}\, dx = \frac{9}{2}\sin^{-1}\!\frac{x}{3} - \frac{x\sqrt{9-x^2}}{2} + C

문제 11. 다음 적분을 구하세요.

\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}\, dx
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\sqrt{x^2-a^2} 꼴에는 x = a\sec\theta 를 써요. 여기서는 a=1 이므로 x = \sec\theta 로 놓아요.

그러면 dx = \sec\theta\tan\theta\, d\theta 이고

x^2 - 1 = \sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta

이므로 \sqrt{x^2-1} = \tan\theta 가 돼요. 대입하면

\int \frac{\tan\theta}{\sec^4\theta}\cdot \sec\theta\tan\theta\, d\theta = \int \frac{\tan^2\theta}{\sec^3\theta}\, d\theta

이제 전부 \sin\theta, \cos\theta 로 바꿔 정리하는 게 편해요. \tan^2\theta = \dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}, \sec^3\theta = \dfrac{1}{\cos^3\theta} 이므로

\int \frac{\sin^2\theta/\cos^2\theta}{1/\cos^3\theta}\, d\theta = \int \sin^2\theta\cos\theta\, d\theta

u = \sin\theta 로 놓으면 du = \cos\theta\, d\theta 이므로 곧바로

\int u^2\, du = \frac{\sin^3\theta}{3} + C

\theta 로 돌아가요. \sin\theta = \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x} 이므로

\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right)^{3} + C = \frac{(x^2-1)^{3/2}}{3x^3} + C

검산. f = \dfrac{1}{3}(x^2-1)^{3/2}x^{-3} 을 미분하면

f' = x^{-2}(x^2-1)^{1/2} - (x^2-1)^{3/2}x^{-4} = \frac{(x^2-1)^{1/2}}{x^4}\bigl[x^2 - (x^2-1)\bigr] = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}

원래 피적분함수와 같아요.

최종 답

\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}\, dx = \frac{(x^2-1)^{3/2}}{3x^3} + C

문제 13. 다음 정적분을 구하세요. 단 a>0 이에요.

\int_0^a \frac{dx}{(a^2+x^2)^{3/2}}
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a^2 + x^2 꼴에는 x = a\tan\theta 를 써요. 그러면 dx = a\sec^2\theta\, d\theta 이고

a^2 + x^2 = a^2 + a^2\tan^2\theta = a^2\sec^2\theta

이므로 (a^2+x^2)^{3/2} = a^3\sec^3\theta 가 돼요.

정적분이니 적분 구간도 \theta 로 바꿔요. x=0 이면 \tan\theta = 0 이라 \theta = 0, x=a 이면 \tan\theta = 1 이라 \theta = \dfrac{\pi}{4} 예요. 대입하면

\int_0^{\pi/4} \frac{a\sec^2\theta}{a^3\sec^3\theta}\, d\theta = \frac{1}{a^2}\int_0^{\pi/4} \frac{1}{\sec\theta}\, d\theta = \frac{1}{a^2}\int_0^{\pi/4} \cos\theta\, d\theta

이제 간단히 적분돼요.

\frac{1}{a^2}\Bigl[\sin\theta\Bigr]_0^{\pi/4} = \frac{1}{a^2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 0\right) = \frac{\sqrt{2}}{2a^2}

검산. 부정적분은 \sin\theta = \dfrac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} 이므로 \dfrac{x}{a^2\sqrt{a^2+x^2}} 예요. x=a 를 넣으면

\frac{a}{a^2\sqrt{2a^2}} = \frac{a}{a^2\cdot a\sqrt{2}} = \frac{1}{a^2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2a^2}

x=0 에서는 0 이므로 차가 \dfrac{\sqrt{2}}{2a^2} 로 위 결과와 같아요.

최종 답

\int_0^a \frac{dx}{(a^2+x^2)^{3/2}} = \frac{\sqrt{2}}{2a^2}

문제 19. 다음 적분을 구하세요.

\int \frac{\sqrt{x^2-9}}{x^3}\, dx
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\sqrt{x^2-a^2} 꼴이므로 a=3 으로 보고 x = 3\sec\theta 로 놓아요. 그러면 dx = 3\sec\theta\tan\theta\, d\theta 이고

x^2 - 9 = 9\sec^2\theta - 9 = 9\tan^2\theta

이므로 \sqrt{x^2-9} = 3\tan\theta, 그리고 x^3 = 27\sec^3\theta 예요. 대입하면

\int \frac{3\tan\theta}{27\sec^3\theta}\cdot 3\sec\theta\tan\theta\, d\theta = \frac{1}{3}\int \frac{\tan^2\theta}{\sec^2\theta}\, d\theta

\dfrac{\tan^2\theta}{\sec^2\theta} = \dfrac{\sin^2\theta/\cos^2\theta}{1/\cos^2\theta} = \sin^2\theta 이므로

\frac{1}{3}\int \sin^2\theta\, d\theta = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\bigl(\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) + C = \frac{1}{6}\bigl(\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) + C

여기서 \sin^2\theta 의 적분은 \dfrac{1}{2}(\theta - \sin\theta\cos\theta) 를 이용했어요. 이제 \theta 로 돌아가요. \sec\theta = \dfrac{x}{3} 이므로 \cos\theta = \dfrac{3}{x}, \sin\theta = \dfrac{\sqrt{x^2-9}}{x} 이고 \theta = \sec^{-1}\dfrac{x}{3} 예요.

\sin\theta\cos\theta = \frac{\sqrt{x^2-9}}{x}\cdot\frac{3}{x} = \frac{3\sqrt{x^2-9}}{x^2}

그래서

\frac{1}{6}\sec^{-1}\!\frac{x}{3} - \frac{1}{6}\cdot\frac{3\sqrt{x^2-9}}{x^2} + C = \frac{1}{6}\sec^{-1}\!\frac{x}{3} - \frac{\sqrt{x^2-9}}{2x^2} + C

검산. 각 항을 미분하면

\frac{d}{dx}\!\left[\frac{1}{6}\sec^{-1}\!\frac{x}{3}\right] = \frac{1}{2x\sqrt{x^2-9}}, \qquad \frac{d}{dx}\!\left[-\frac{\sqrt{x^2-9}}{2x^2}\right] = -\frac{1}{2x\sqrt{x^2-9}} + \frac{\sqrt{x^2-9}}{x^3}

둘을 더하면 앞의 두 항이 상쇄되어 \dfrac{\sqrt{x^2-9}}{x^3} 만 남아요. 원래 함수와 일치해요.

최종 답

\int \frac{\sqrt{x^2-9}}{x^3}\, dx = \frac{1}{6}\sec^{-1}\!\frac{x}{3} - \frac{\sqrt{x^2-9}}{2x^2} + C

문제 28. 다음 정적분을 구하세요.

\int_0^1 \sqrt{x^2+1}\, dx
풀이 보기

\sqrt{x^2+1} 은 \sqrt{x^2+a^2} 꼴(a=1)이므로 x = \tan\theta 로 놓아요. 그러면 dx = \sec^2\theta\, d\theta 이고

x^2 + 1 = \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta

이므로 \sqrt{x^2+1} = \sec\theta 예요. 대입하면

\int \sec\theta\cdot\sec^2\theta\, d\theta = \int \sec^3\theta\, d\theta

\sec^3\theta 의 적분은 알려진 공식을 써요.

\int \sec^3\theta\, d\theta = \frac{1}{2}\Bigl(\sec\theta\tan\theta + \ln\vert \sec\theta + \tan\theta\vert\Bigr) + C

이제 부정적분을 x 로 되돌린 뒤 구간을 넣는 게 깔끔해요. \sec\theta = \sqrt{x^2+1}, \tan\theta = x 이므로

\int \sqrt{x^2+1}\, dx = \frac{1}{2}\Bigl(x\sqrt{x^2+1} + \ln\bigl\vert \sqrt{x^2+1} + x\bigr\vert\Bigr) + C

구간 0 에서 1 까지 대입해요. x=1 에서는

\frac{1}{2}\Bigl(\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2}+1)\Bigr)

x=0 에서는 \dfrac{1}{2}\bigl(0 + \ln 1\bigr) = 0 이에요. 따라서

\int_0^1 \sqrt{x^2+1}\, dx = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(\sqrt{2}+1)

검산. 수치로 확인하면 \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071, \dfrac{1}{2}\ln(\sqrt{2}+1) \approx 0.4407 이라 합은 약 1.148 이에요. 심프슨 근사(x=0,\ 0.5,\ 1 에서 1,\ 1.118,\ 1.414)로도 \dfrac{1}{6}(1 + 4\cdot 1.118 + 1.414) \approx 1.148 이라 일치해요.

최종 답

\int_0^1 \sqrt{x^2+1}\, dx = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(\sqrt{2}+1)

문제 29. 다음 적분을 구하세요.

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}
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근호 안이 바로 삼각치환 꼴이 아니므로 완전제곱부터 만들어요.

x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x+1)^2 + 4

u = x+1 로 놓으면 du = dx 이므로

\int \frac{du}{\sqrt{u^2+4}}

이제 \sqrt{u^2+2^2} 꼴이라 u = 2\tan\theta 로 놓아요. 그러면 du = 2\sec^2\theta\, d\theta 이고

u^2 + 4 = 4\tan^2\theta + 4 = 4\sec^2\theta

이므로 \sqrt{u^2+4} = 2\sec\theta 예요. 대입하면

\int \frac{2\sec^2\theta}{2\sec\theta}\, d\theta = \int \sec\theta\, d\theta = \ln\vert \sec\theta + \tan\theta\vert + C

\sec\theta = \dfrac{\sqrt{u^2+4}}{2}, \tan\theta = \dfrac{u}{2} 를 넣으면

\ln\left\vert \frac{\sqrt{u^2+4} + u}{2}\right\vert + C = \ln\bigl\vert \sqrt{u^2+4} + u\bigr\vert + C_1

\ln\dfrac{1}{2} 은 상수라 적분상수에 흡수돼요. 그리고 \sqrt{u^2+4} > \vert u \vert 라서 \sqrt{u^2+4} + u 는 항상 양수예요 — 그래서 절댓값 기호를 벗겨도 돼요. 마지막으로 u = x+1 을 되돌려요.

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}} = \ln\Bigl(\sqrt{x^2+2x+5} + x + 1\Bigr) + C

검산. w = \sqrt{x^2+2x+5} + x + 1 로 두면

w' = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+5}} + 1 = \frac{(x+1) + \sqrt{x^2+2x+5}}{\sqrt{x^2+2x+5}} = \frac{w}{\sqrt{x^2+2x+5}}

따라서 \dfrac{w'}{w} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}} 로 원래 피적분함수와 같아요.

최종 답

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}} = \ln\Bigl(\sqrt{x^2+2x+5} + x + 1\Bigr) + C

문제 43. 곡선 y = \dfrac{9}{x^2+9}, y=0, x=0, x=3 으로 둘러싸인 영역을 x 축을 중심으로 회전시켜 만든 입체의 부피를 구하세요.

풀이 보기

x 축 회전이고 아래가 y=0 이라 원판(disk) 방법을 써요. 각 단면은 반지름이 y 인 원판이므로

V = \pi\int_0^3 \left(\frac{9}{x^2+9}\right)^{2} dx = 81\pi\int_0^3 \frac{dx}{(x^2+9)^2}

핵심은 \displaystyle\int \frac{dx}{(x^2+9)^2} 예요. x = 3\tan\theta 로 놓으면 dx = 3\sec^2\theta\, d\theta 이고 x^2+9 = 9\sec^2\theta 이므로 (x^2+9)^2 = 81\sec^4\theta 가 돼요.

구간도 바꿔요. x=0 이면 \theta = 0, x=3 이면 \tan\theta = 1 이라 \theta = \dfrac{\pi}{4} 예요.

\int_0^{\pi/4} \frac{3\sec^2\theta}{81\sec^4\theta}\, d\theta = \frac{1}{27}\int_0^{\pi/4} \cos^2\theta\, d\theta

\cos^2\theta 의 적분은 \dfrac{1}{2}(\theta + \sin\theta\cos\theta) 이므로

\frac{1}{27}\cdot\frac{1}{2}\Bigl[\theta + \sin\theta\cos\theta\Bigr]_0^{\pi/4} = \frac{1}{54}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{54}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\right)

이제 앞의 81\pi 를 곱해요.

V = 81\pi\cdot\frac{1}{54}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\right) = \frac{3\pi}{2}\cdot\frac{\pi+2}{4} = \frac{3\pi(\pi+2)}{8}

검산. 수치로 \dfrac{3\pi(\pi+2)}{8} = \dfrac{3\cdot 3.1416\cdot 5.1416}{8} \approx 6.06 이에요. 위 중간식 81\pi\cdot\dfrac{1}{54}(0.785+0.5) \approx 6.06 과 같아요.

최종 답

V = \frac{3\pi(\pi+2)}{8} = \frac{3\pi^2}{8} + \frac{3\pi}{4}

문제 44. 곡선 y = x\sqrt{1-x^2}(0 \le x \le 1) 아래의 영역을 직선 y=1 을 중심으로 회전시켜 만든 입체의 부피를 구하세요.

풀이 보기

회전축이 y=1 이고 곡선의 최댓값은 x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} 에서 \dfrac{1}{2} 이라 곡선 전체가 y=1 아래에 있어요. 영역의 아래 경계는 y=0, 위 경계는 곡선이므로 와셔(washer) 방법을 써요.

축에서 가장 먼 경계(y=0)까지가 바깥 반지름, 가까운 경계(곡선)까지가 안쪽 반지름이에요.

R_{\text{바깥}} = 1 - 0 = 1, \qquad R_{\text{안}} = 1 - x\sqrt{1-x^2}

따라서

V = \pi\int_0^1 \Bigl[\,1^2 - \bigl(1 - x\sqrt{1-x^2}\,\bigr)^{2}\Bigr] dx

괄호 안을 전개해요.

1 - \Bigl(1 - 2x\sqrt{1-x^2} + x^2(1-x^2)\Bigr) = 2x\sqrt{1-x^2} - x^2 + x^4

세 항을 따로 적분해요. 첫 항은 w = 1-x^2 치환으로

\int_0^1 2x\sqrt{1-x^2}\, dx = \left[-\frac{2}{3}(1-x^2)^{3/2}\right]_0^1 = \frac{2}{3}

나머지는 다항식이라

\int_0^1 x^2\, dx = \frac{1}{3}, \qquad \int_0^1 x^4\, dx = \frac{1}{5}

모으면

V = \pi\left(\frac{2}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) = \pi\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) = \frac{8\pi}{15}

검산. 괄호 안 정적분은 0.667 - 0.333 + 0.2 = 0.533 = \dfrac{8}{15} 이고, \dfrac{8\pi}{15} \approx 1.68 이에요.

최종 답

V = \frac{8\pi}{15}
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