사인의 홀수 거듭제곱이라, 사인을 하나 떼어내고 나머지는 코사인으로 바꾸는 전략을 써요.

여기서 u = \cos x 로 치환하면 du = -\sin x \, dx 이므로 \sin x \, dx = -du 예요.

이제 0 부터 \pi/4 까지 대입해요. x = \pi/4 에서 \cos x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} 이므로 \cos^2 x = \dfrac{1}{2}, \cos^3 x = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}, \cos^5 x = \dfrac{1}{4\sqrt{2}} 예요.

x = 0 에서는 \cos x = 1 이므로

따라서 정적분 값은 위끝에서 아래끝을 빼서

검산: 수치적으로 확인하면 \dfrac{8}{15} \approx 0.5333, \dfrac{43\sqrt{2}}{120} \approx 0.5068 이라 차이가 약 0.0266 이에요. 구간이 좁고 \sin^5 x 가 작은 값이라 작은 양수가 나오는 게 자연스러워요.

코사인의 짝수 거듭제곱이라 반각 공식을 써요.

그러면

\theta = \pi/2 에서 \sin 2\theta = \sin \pi = 0, \theta = 0 에서도 \sin 0 = 0 이므로

답: \dfrac{\pi}{4}.

검산: \cos^2\theta 와 \sin^2\theta 는 [0, \pi/2] 에서 대칭이라 두 적분값이 같고, 합이 \int_0^{\pi/2} 1 \, d\theta = \dfrac{\pi}{2} 이므로 각각 \dfrac{\pi}{4} 가 맞아요.

사인과 코사인 둘 다 짝수 거듭제곱이라, 먼저 배각 공식 \sin x \cos x = \dfrac{1}{2}\sin 2x 로 묶는 게 편해요.

다시 반각 공식 \sin^2 2x = \dfrac{1}{2}\left( 1 - \cos 4x \right) 를 쓰면

따라서

x = \pi/2 에서 \sin 4x = \sin 2\pi = 0 이고 x = 0 에서도 0 이므로

답: \dfrac{\pi}{16}.

검산: 피적분함수가 [0, \pi/2] 에서 최대 \dfrac{1}{4} 를 넘지 않고 대부분 그보다 작아요. \dfrac{\pi}{16} \approx 0.196 은 구간 길이 \dfrac{\pi}{2} \approx 1.57 에 평균 약 0.125 를 곱한 값이라 합리적이에요.

\sec x = \dfrac{1}{\cos x} 이므로 피적분함수를 코사인으로 다시 써요.

u = \cos x 로 치환하면 du = -\sin x \, dx 이므로

u = \cos x 를 되돌리면

답: \dfrac{1}{4}\sec^4 x + C.

검산: \dfrac{d}{dx}\left[ \dfrac{1}{4}\sec^4 x \right] = \dfrac{1}{4}\cdot 4\sec^3 x \cdot \sec x \tan x = \sec^4 x \tan x 인데, \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} 이므로 \sec^4 x \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x} = \sin x \sec^5 x 로 원래 피적분함수와 같아요.

\tan^2 x 는 그대로는 적분이 바로 안 떠오르지만, 항등식 \tan^2 x = \sec^2 x - 1 을 쓰면 각 항이 익숙한 꼴이 돼요.

\dfrac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x 이므로 \int \sec^2 x \, dx = \tan x 이고, \int 1 \, dx = x 예요.

답: \tan x - x + C.

검산: \dfrac{d}{dx}\left( \tan x - x \right) = \sec^2 x - 1 = \tan^2 x 로 원래 함수가 나와요.

분자에 사인의 홀수 거듭제곱이 있어요. 사인을 하나 떼고 나머지는 \sin^2 x = 1 - \cos^2 x 로 바꿔요.

u = \cos x 로 치환하면 du = -\sin x \, dx 이므로

u = \cos x 를 되돌리면 부정적분은

이제 0 부터 \pi/4 까지 대입해요. x = \pi/4 에서 \cos x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} 이므로

x = 0 에서 \cos x = 1 이므로

따라서

검산: \dfrac{1}{2}\ln 2 \approx 0.3466 에서 0.25 를 빼면 약 0.0966 이에요. 피적분함수가 x = \pi/4 에서 \dfrac{(1/\sqrt{2})^3}{1/\sqrt{2}} = 0.5 까지 올라가고 시작점에서는 0 이라, 이 정도 크기의 양수가 나오는 게 자연스러워요.

\dfrac{1}{t^2} 가 \dfrac{1}{t} 의 도함수 부호와 딱 맞아떨어져요. u = \dfrac{1}{t} 로 치환하면 du = -\dfrac{1}{t^2}\, dt 이므로 \dfrac{dt}{t^2} = -du 예요.

반각 공식 \sin^2 u = \dfrac{1}{2}\left( 1 - \cos 2u \right) 를 쓰면

u = \dfrac{1}{t} 를 되돌리면

답: -\dfrac{1}{2t} + \dfrac{1}{4}\sin\dfrac{2}{t} + C.

검산: \dfrac{d}{dt}\left[ -\dfrac{1}{2t} \right] = \dfrac{1}{2t^2} 이고, \dfrac{d}{dt}\left[ \dfrac{1}{4}\sin\dfrac{2}{t} \right] = \dfrac{1}{4}\cos\dfrac{2}{t}\cdot\left( -\dfrac{2}{t^2} \right) = -\dfrac{1}{2t^2}\cos\dfrac{2}{t} 예요. 둘을 더하면 \dfrac{1}{2t^2}\left( 1 - \cos\dfrac{2}{t} \right) 인데, 1 - \cos 2\theta = 2\sin^2\theta 이므로 \dfrac{1}{2t^2}\cdot 2\sin^2\dfrac{1}{t} = \dfrac{\sin^2 (1/t)}{t^2} 로 원래 함수가 나와요.

(a) u = \cos x 치환. du = -\sin x \, dx 이므로

(b) u = \sin x 치환. du = \cos x \, dx 이므로

(c) 배각 항등식. \sin x \cos x = \dfrac{1}{2}\sin 2x 이므로

(d) 부분적분. u = \sin x, dv = \cos x \, dx 로 두면 du = \cos x \, dx, v = \sin x 예요.

양변에 같은 적분이 있으므로 오른쪽 항을 왼쪽으로 옮기면

왜 답이 달라 보일까요? 네 결과는 모두 옳고, 서로 상수만큼만 차이가 나요. 부정적분은 원래 상수 C 를 포함하므로, 상수 차이는 C 안으로 흡수돼요.

즉 (a)는 (b)보다 상수 -\dfrac{1}{2} 만큼 차이가 나요. 또

이므로 (c)는 (b)보다 상수 -\dfrac{1}{4} 만큼 차이가 나요. (d)는 (b)와 완전히 같아요. 결국 네 답은 겉모습만 다를 뿐 같은 함수족을 나타내요.

x 축 둘레로 회전하니 원판(disk) 방법을 써요. 각 x 에서 원판의 반지름은 y = \sin x 이고, 넓이는 \pi y^2 예요.

반각 공식 \sin^2 x = \dfrac{1}{2}\left( 1 - \cos 2x \right) 를 쓰면

\dfrac{\pi}{2} 부터 \pi 까지 대입해요. x = \pi 에서 \sin 2x = \sin 2\pi = 0 이므로 값은 \dfrac{1}{2}\cdot\pi = \dfrac{\pi}{2} 이고, x = \dfrac{\pi}{2} 에서 \sin 2x = \sin \pi = 0 이므로 값은 \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{4} 예요.

따라서

답: V = \dfrac{\pi^2}{4} \approx 2.47.

검산: 구간 \left[ \dfrac{\pi}{2}, \pi \right] 의 길이는 \dfrac{\pi}{2} \approx 1.57 이에요. \sin^2 x 는 이 구간에서 평균이 정확히 \dfrac{1}{2} 이므로 적분값 \dfrac{\pi}{4} \approx 0.785 가 맞고, 여기에 \pi 를 곱하면 \dfrac{\pi^2}{4} 가 나와요.