한눈에 보기
지수함수 e^x의 미분을 배웠으니, 이번엔 그 짝인 로그함수 \ln x의 미분이에요. 결과가 놀랄 만큼 깔끔해요 — \ln x를 미분하면 \frac{1}{x}가 나와요. 여기에 더해, 곱하고 나누고 거듭제곱한 복잡한 식을 양변에 로그를 씌워 훨씬 쉽게 미분하는 기술(로그 미분법)도 배워요. y = x^x처럼 밑도 지수도 변수인 함수는 이 방법이 아니면 손도 못 대죠.
- \ln x의 도함수는 \frac{1}{x}, 밑이 a인 로그는 \frac{1}{x\ln a}
- 로그 미분법 — 로그를 씌워 곱·나눗셈·거듭제곱을 덧셈·뺄셈·곱셈으로 바꿔 미분
- \frac{1}{x}의 적분이 \ln\vert x\vert라는 예고
먼저 알아야 할 것
개념 설명
\ln x의 도함수
y = \ln x의 도함수는 정의상 e^y = x에서 출발해요. 양변을 x로 미분하면(음함수 미분) e^y \cdot y' = 1이고, e^y = x이니 y' = \frac{1}{x}가 돼요. 즉 로그함수의 기울기는 입력의 역수예요. x가 커질수록 기울기가 완만해지고, x가 0에 가까워지면 가팔라지죠 — \ln x 그래프가 천천히 눕는 모양과 정확히 맞아떨어져요.
밑이 e가 아닌 일반 로그 \log_a x는 밑변환 \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}를 쓰면 돼요. \ln a는 상수이니 그냥 나눠주면 되고, 결과는 \frac{1}{x\ln a}예요. 밑이 e일 때 \ln a = \ln e = 1이라 \frac{1}{x}로 깔끔해지는 거죠 — 그래서 미적분에선 e를 밑으로 쓰는 자연로그가 표준이에요.
연쇄법칙과 합치면 더 강력해요. \frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u} — 로그 안의 식 u를 미분한 걸 그 식 자체로 나누는 거예요. 예를 들어 \frac{d}{dx}\ln(x^2+1) = \frac{2x}{x^2+1}이죠.
로그 미분법
y = \frac{x^{3/4}\sqrt{x^2+1}}{(3x+2)^5}처럼 곱·나눗셈·거듭제곱이 뒤엉킨 함수를 곱셈규칙·몫규칙으로 직접 미분하려면 지옥이에요. 이때 양변에 자연로그를 씌우면 로그법칙 덕분에 곱은 덧셈, 나눗셈은 뺄셈, 지수는 앞으로 내려오는 곱셈으로 바뀌어요. 그 다음 음함수 미분으로 양변을 미분하면 왼쪽은 \frac{y'}{y}가 되고, 오른쪽은 훨씬 간단한 덧뺄셈이 되죠. 마지막에 y를 곱해 되돌리면 끝이에요.
특히 y = x^x처럼 밑도 지수도 변수인 함수는 거듭제곱 규칙(x^n)도 지수함수 규칙(a^x)도 안 통해요. 이럴 땐 로그를 거쳐야 풀리는데, 그 대표 도구가 로그 미분법이에요 — 이게 이 절의 하이라이트예요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
★ 로그 미분법으로 y = x^x 미분하기 (x > 0)
- 양변에 자연로그를 씌워요. 오른쪽은 로그법칙 \ln(a^r) = r\ln a로 지수를 앞으로 내려요.
- 양변을 x로 미분해요. 왼쪽은 연쇄법칙으로 \frac{y'}{y}, 오른쪽은 곱셈규칙 (x\ln x)' = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}예요.
- 양변에 y를 곱해 y'만 남기고, y = x^x를 도로 넣어요.
밑도 지수도 변수인 함수를, 로그 하나 씌운 것만으로 이렇게 깔끔히 미분했어요. 곱셈규칙과 \frac{1}{x} 도함수만 있으면 되죠.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, 밑이 a면 \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ln a}예요.
- 연쇄법칙과 합치면 \frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u} — 속 미분을 로그 안 식으로 나눠요.
- 로그 미분법: 곱·나눗셈·거듭제곱을 로그로 덧뺄셈으로 바꿔 미분해요. y = x^x가 대표 사례고 답은 x^x(\ln x + 1)이에요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: \frac{1}{x}의 도함수를 거꾸로 읽으면 \int\frac{1}{x}dx = \ln\vert x\vert + C예요. 7장 적분에서 다항식 적분의 마지막 빈칸을 이 로그가 채워요.