한눈에 보기
2^x, 10^x처럼 밑을 고정하고 지수를 변수로 올린 함수가 지수함수예요. 곱셈이 아니라 "몇 배씩 불어나느냐"를 다루니, 자라거나 사그라드는 현상은 거의 다 이걸로 표현돼요. 이 장의 주인공은 밑이 e \approx 2.718인 자연지수함수 e^x인데, 놀랍게도 미분해도 자기 자신(e^x)이에요. 2.3에서 미리 만나뒀던 그 성질을 여기서 정식으로 다뤄요. e가 수학·AI 곳곳에서 기본값처럼 쓰이는 이유가 바로 이 성질이에요.
- 지수함수 a^x와 자연지수함수 e^x
- \frac{d}{dx}e^x = e^x — 도함수가 자기 자신
- \frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a — 일반 밑은 \ln a가 따라붙어요
먼저 알아야 할 것
개념 설명
지수함수란
밑 a > 0(a \ne 1)를 고정하고 지수를 변수로 둔 f(x) = a^x가 지수함수예요. a > 1이면 오른쪽으로 갈수록 폭발적으로 커지고(2^x), 0 < a < 1이면 반대로 사그라들어요((1/2)^x). 어떤 경우든 a^x > 0이라 그래프는 항상 x축 위에 있고, x = 0에서 값이 1이에요.
e^x가 특별한 이유
밑이 여러 개인데 왜 하필 e일까요? 지수함수 a^x를 미분하면 원래 함수에 어떤 상수가 곱해진 꼴 a^x \cdot (\text{상수})이 나와요. 이 상수가 정확히 1이 되는 밑, 즉 x=0에서 접선의 기울기가 딱 1인 밑을 e라고 정의해요(e \approx 2.71828). 그 결과가
예요. 도함수가 자기 자신이라는 건, 곡선의 높이가 곧 그 지점의 기울기라는 뜻이에요. 높을수록 더 가파르게 오르니 점점 빨라지죠. 미분해도 형태가 안 변하니 계산이 늘 단순해지고, 그래서 e가 성장·감쇠 모델과 딥러닝의 기본 밑이 된 거예요.
밑이 e가 아니면
일반 밑 a^x는 a = e^{\ln a}로 바꿔 쓸 수 있어요. 그러면 a^x = e^{(\ln a)x}가 되고, 연쇄법칙으로 미분하면 \ln a가 앞으로 튀어나와요. 그래서 a^x의 도함수에는 항상 \ln a라는 "보정 계수"가 붙어요. a = e일 때만 \ln e = 1이라 계수가 사라지고요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
f(x) = e^{3x^2}을 미분해 봅시다. 지수 안에 3x^2이 들어 있으니 연쇄법칙이 필요해요.
- 바깥 함수는 e^{(\ )}, 안쪽 함수는 u = 3x^2이에요.
- "바깥 미분 \times 안쪽 미분" 순서로 가요. e^u을 미분하면 e^u 그대로(자기 자신), 안쪽 u = 3x^2을 미분하면 6x예요.
- 둘을 곱해요: f'(x) = e^{3x^2} \cdot 6x = 6x\,e^{3x^2}.
핵심은 지수부는 그대로 살아 있고, 지수 안을 미분한 6x만 앞에 곱해진다는 점이에요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 지수함수 a^x는 "몇 배씩 불어나느냐"를 다루고, 항상 양수예요.
- \frac{d}{dx}e^x = e^x — 도함수가 자기 자신인 게 e가 특별한 이유예요.
- \frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a — 밑이 e가 아니면 보정 계수 \ln a가 붙어요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 6.3에서는 지수함수의 짝인 로그함수를 배워요. e^x의 역함수인 자연로그 \ln x가 softmax·크로스엔트로피 손실로 이어져요.