Hyeontae JoAjou University
Lecture · 5

5.2 부피

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5.1에서 넓이를 "얇은 직사각형을 무한히 더한 값"으로 봤어요. 부피도 똑같은 아이디어예요 — 입체를 얇은 판으로 잘라서 무한히 쌓는 거죠. 판 하나의 넓이를 A(x)라 하면, 그걸 죽 적분한 게 부피예요. 특히 곡선을 축 둘레로 빙 돌려 만든 회전체(solid of revolution)는 판이 동그란 원판이 되어서 계산이 아주 깔끔해져요.

  • 단면적을 적분해 부피 구하기 — V = \int_a^b A(x)\,dx
  • 원판법(disk) — 속이 꽉 찬 회전체
  • 와셔법(washer) — 가운데 구멍이 뚫린 회전체

먼저 알아야 할 것

개념 설명

단면적을 적분하면 부피

입체를 x축에 수직인 방향으로 아주 얇게 썰었다고 해봐요. 위치 x에서 자른 단면의 넓이를 A(x)라 하고, 두께를 dx라 하면, 그 얇은 판 하나의 부피는 대략 A(x)\,dx예요. 이걸 x = a부터 x = b까지 전부 더하면(적분하면) 전체 부피가 되죠.

V = \int_a^b A(x)\,dx

핵심은 단면적 A(x)를 x의 함수로 표현하는 것 하나예요. 단면이 정사각형이면 A(x) = (\text{한 변})^2, 삼각형이면 삼각형 넓이 공식을 쓰면 돼요. 단면 모양만 알면 나머지는 적분이 처리해줘요.

원판법 — 곡선을 돌려 만든 입체

곡선 y = f(x)를 x축을 중심으로 한 바퀴 돌리면, 속이 꽉 찬 회전체가 만들어져요. 이때 위치 x에서 자른 단면은 반지름이 f(x)인 원이에요. 원의 넓이는 \pi r^2이니 단면적은 A(x) = \pi[f(x)]^2이고, 이걸 적분하면 부피가 나오죠.

V = \int_a^b \pi[f(x)]^2\,dx

원판(얇은 동전 모양)을 무한히 쌓아 올린다고 생각하면 돼서 원판법(disk method)이라고 불러요.

와셔법 — 구멍 뚫린 회전체

두 곡선 사이의 영역을 축 둘레로 돌리면, 가운데가 뚫린 회전체가 생겨요. 단면이 와셔(가운데 구멍 난 납작한 링, 도넛 모양) 같아서 와셔법(washer method)이라고 해요. 바깥 반지름을 R(x), 안쪽 반지름을 r(x)라 하면, 단면적은 큰 원에서 작은 원을 뺀 값이에요.

V = \int_a^b \pi\left([R(x)]^2 - [r(x)]^2\right)dx

여기서 제곱을 각각 하고 나서 빼야 해요. R^2 - r^2이지 (R - r)^2이 아니에요 — 이건 뒤에서 헷갈림으로 다시 짚을게요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

y = \sqrt{x}를 x = 0부터 x = 4까지 x축을 중심으로 돌린 회전체의 부피를 구해봐요.

  1. 반지름 정하기: 위치 x에서 곡선 높이가 f(x) = \sqrt{x}니, 원판의 반지름이 \sqrt{x}예요.
  2. 단면적: A(x) = \pi[f(x)]^2 = \pi(\sqrt{x})^2 = \pi x. 루트가 제곱과 만나 깔끔하게 \pi x로 정리됐어요.
  3. 적분 세우기:
V = \int_0^4 \pi x\,dx
  1. 계산: \int x\,dx = \dfrac{x^2}{2}이므로,
V = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi\left(\frac{16}{2} - 0\right) = 8\pi

그래서 부피는 8\pi예요. 반지름을 정하고 → 제곱해서 단면적 만들고 → 적분한다, 이 세 단계가 원판법의 전부예요. 참고로 상수 함수 f(x) = r을 돌리면 원기둥 부피 \pi r^2 h가, 반원 f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}을 [-r, r]에서 돌리면 구의 부피 \frac{4}{3}\pi r^3이 이 방식 그대로 유도돼요.

흔한 헷갈림

핵심 정리

  • 부피 = 단면적을 적분한 값. 기본형은 V = \int_a^b A(x)\,dx예요.
  • 원판법: 곡선 y=f(x)를 축 둘레로 돌리면 V = \int_a^b \pi[f(x)]^2\,dx.
  • 와셔법: 구멍 난 회전체는 V = \int_a^b \pi([R]^2 - [r]^2)\,dx — 바깥² 빼기 안쪽².
  • 무엇을 하든 "단면적을 x(또는 y)의 함수로 쓰는 것"이 시작점이에요.
  • 뒤에서 다시 만나는 곳: 5.3 원통껍질법(cylindrical shells)이에요. 축에 나란한 얇은 원통 껍질을 벗겨 쌓는 방식이라, 원판·와셔로 세우기 까다로운 회전체를 훨씬 쉽게 풀어줘요.

Exercises

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5.2 부피 · 권장문제 풀이

해설 · 📄 교재 p.374

먼저 스스로 풀어본 뒤 "풀이 보기" 를 눌러 확인하세요.

문제 1. (1–4) 색칠된 영역을 지정한 직선을 중심으로 회전시켜 얻는 입체입니다. 여기서 영역은 곡선 y = x^2 + 5 아래, x = 0 부터 x = 3 까지의 부분입니다. (a) 입체와 대표 원판을 스케치하고 (b) 부피 적분을 세운 뒤 (c) 값을 구하세요. x축을 중심으로 회전시킵니다.

풀이 보기

x축을 중심으로 회전하므로 자른 단면은 반지름이 y = x^2 + 5 인 원판이에요. 두께 dx 인 원판의 넓이는

A(x) = \pi y^2 = \pi (x^2 + 5)^2

이고, 입체는 x = 0 부터 x = 3 까지 놓여 있으므로

V = \int_0^3 \pi (x^2 + 5)^2 \, dx = \pi \int_0^3 (x^4 + 10x^2 + 25)\, dx

각 항을 적분하면

V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{10 x^3}{3} + 25 x \right]_0^3 = \pi \left( \frac{243}{5} + 90 + 75 \right) = \frac{1068\pi}{5}

검산. 반지름은 x = 0 에서 5, x = 3 에서 14 로 커져요. 평균 반지름 제곱이 \frac{1068/5}{3} \approx 71.2 이므로 평균 반지름은 약 8.4 로, 5 와 14 사이에 잘 들어와요. 따라서 V = \dfrac{1068\pi}{5} \approx 213.6\pi 가 타당해요.

문제 4. (1–4) 색칠된 영역을 지정한 직선을 중심으로 회전시켜 얻는 입체입니다. 영역은 직선 y = \tfrac{1}{2}x, 곡선 y = \tfrac{2}{x}, 그리고 위쪽 경계 y = 2 로 둘러싸인 부분(꼭짓점 (2,1), (1,2), (4,2))입니다. y축을 중심으로 회전시켜 부피를 구하세요.

풀이 보기

y축을 중심으로 회전하므로 높이 y 에서 자른 단면은 와셔(가운데가 뚫린 고리)예요. 각 곡선을 x 에 대해 풀면

y = \frac{2}{x} \;\Rightarrow\; x = \frac{2}{y}, \qquad y = \frac{1}{2}x \;\Rightarrow\; x = 2y

두 곡선은 \tfrac{2}{y} = 2y, 즉 y^2 = 1 에서 만나고 영역의 아래 꼭짓점은 y = 1, 위쪽 경계는 y = 2 예요. 1 \le y \le 2 에서 바깥 반지름은 x = 2y, 안쪽 반지름은 x = \tfrac{2}{y} 이므로

V = \pi \int_1^2 \left[ (2y)^2 - \left(\frac{2}{y}\right)^2 \right] dy = \pi \int_1^2 \left( 4y^2 - \frac{4}{y^2} \right) dy

적분하면

V = \pi \left[ \frac{4 y^3}{3} + \frac{4}{y} \right]_1^2 = \pi \left[ \left( \frac{32}{3} + 2 \right) - \left( \frac{4}{3} + 4 \right) \right] = \pi \left( \frac{28}{3} - 2 \right) = \frac{22\pi}{3}

검산. 피적분함수 4y^2 - \tfrac{4}{y^2} 는 1 \le y \le 2 에서 항상 양수(예: y = 1 이면 0, y = 2 이면 16 - 1 = 15)라 부피가 양수로 나와요. \dfrac{22\pi}{3} \approx 23.0 으로 작은 영역치고 합리적이에요.

문제 7. (5–10) 주어진 곡선 8y = x^2, y = \sqrt{x} 로 둘러싸인 영역을 y축을 중심으로 회전시킨 입체의 부피 적분을 세우세요.

풀이 보기

두 곡선의 교점을 먼저 찾아요. y = \tfrac{x^2}{8} 와 y = \sqrt{x} 를 같다고 두면

\frac{x^2}{8} = \sqrt{x} \;\Rightarrow\; x^2 = 8\sqrt{x} \;\Rightarrow\; x^4 = 64 x \;\Rightarrow\; x(x^3 - 64) = 0

이므로 x = 0 또는 x = 4, 즉 교점은 (0,0) 과 (4,2) 예요. y축을 중심으로 회전하니 y 에 대해 적분해요. 각 곡선을 x 로 풀면

y = \sqrt{x} \;\Rightarrow\; x = y^2, \qquad 8y = x^2 \;\Rightarrow\; x = \sqrt{8y}

0 \le y \le 2 에서 \sqrt{8y} \ge y^2 이므로 포물선 8y = x^2 가 바깥 반지름, y = \sqrt{x} 가 안쪽 반지름이에요. 따라서 세운 적분은

V = \pi \int_0^2 \left[ \left(\sqrt{8y}\right)^2 - (y^2)^2 \right] dy = \pi \int_0^2 \left( 8y - y^4 \right) dy

검산(참고 계산). 실제로 적분하면

V = \pi \left[ 4y^2 - \frac{y^5}{5} \right]_0^2 = \pi \left( 16 - \frac{32}{5} \right) = \frac{48\pi}{5}

피적분함수 8y - y^4 이 0 \le y \le 2 에서 음수가 되지 않아(y = 2 에서 16 - 16 = 0) 부피가 양수로 나오는 것을 확인했어요.

문제 14. (11–28) 곡선 y = \sqrt{25 - x^2}, y = 0, x = 2, x = 4 로 둘러싸인 영역을 x축을 중심으로 회전시킨 입체의 부피를 구하세요.

풀이 보기

x축을 중심으로 회전하므로 단면은 반지름 y = \sqrt{25 - x^2} 인 원판이에요. 원판 넓이는

A(x) = \pi \left( \sqrt{25 - x^2} \right)^2 = \pi (25 - x^2)

이고 x = 2 부터 x = 4 까지 적분하면

V = \pi \int_2^4 (25 - x^2)\, dx = \pi \left[ 25x - \frac{x^3}{3} \right]_2^4

값을 대입하면

V = \pi \left[ \left( 100 - \frac{64}{3} \right) - \left( 50 - \frac{8}{3} \right) \right] = \pi \left( 50 - \frac{56}{3} \right) = \frac{94\pi}{3}

검산. 25 - x^2 은 x = 2 에서 21, x = 4 에서 9 예요. 폭 2 구간에서 넓이가 대략 \pi \cdot 15 \cdot 2 = 30\pi 정도로 예상되는데, 정확한 값 \dfrac{94\pi}{3} \approx 31.3\pi 와 잘 맞아요.

문제 16. (11–28) 곡선 2x = y^2, x = 0, y = 4 로 둘러싸인 영역을 y축을 중심으로 회전시킨 입체의 부피를 구하세요.

풀이 보기

y축을 중심으로 회전하므로 높이 y 에서 자른 단면은 반지름 x 인 원판이에요. 2x = y^2 에서 x = \tfrac{y^2}{2} 이고, 영역은 y = 0 부터 y = 4 까지예요. 원판 넓이는

A(y) = \pi x^2 = \pi \left( \frac{y^2}{2} \right)^2 = \frac{\pi y^4}{4}

따라서 부피는

V = \int_0^4 \frac{\pi y^4}{4}\, dy = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{y^5}{5} \right]_0^4 = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1024}{5} = \frac{256\pi}{5}

검산. y = 4 에서 최대 반지름은 x = \tfrac{16}{2} = 8 이에요. 이를 담는 원기둥(반지름 8, 높이 4)의 부피는 \pi \cdot 8^2 \cdot 4 = 256\pi 이고, 우리 입체는 그 \tfrac{1}{5} 인 \dfrac{256\pi}{5} 예요. 안쪽으로 급히 좁아지는 모양이라 타당해요.

문제 24. (11–28) 곡선 y = \sin x, y = \cos x, 0 \le x \le \tfrac{\pi}{4} 로 둘러싸인 영역을 직선 y = -1 을 중심으로 회전시킨 입체의 부피를 구하세요.

풀이 보기

0 \le x \le \tfrac{\pi}{4} 에서는 \cos x \ge \sin x 예요. 축이 y = -1 이므로 각 반지름은 곡선과 y = -1 사이의 거리로, 와셔가 돼요. 바깥 반지름은 위쪽 곡선까지 \cos x - (-1) = \cos x + 1, 안쪽 반지름은 \sin x + 1 이에요. 넓이는

A(x) = \pi \left[ (\cos x + 1)^2 - (\sin x + 1)^2 \right]

괄호 안을 정리하면

(\cos x + 1)^2 - (\sin x + 1)^2 = (\cos^2 x - \sin^2 x) + 2(\cos x - \sin x) = \cos 2x + 2\cos x - 2\sin x

따라서

V = \pi \int_0^{\pi/4} \left( \cos 2x + 2\cos x - 2\sin x \right) dx = \pi \left[ \frac{\sin 2x}{2} + 2\sin x + 2\cos x \right]_0^{\pi/4}

값을 대입하면 위끝에서 \tfrac{1}{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} = \tfrac{1}{2} + 2\sqrt{2}, 아래끝에서 0 + 0 + 2 = 2 이므로

V = \pi \left( \frac{1}{2} + 2\sqrt{2} - 2 \right) = \pi \left( 2\sqrt{2} - \frac{3}{2} \right)

검산. 2\sqrt{2} \approx 2.828 이라 괄호 값은 약 1.33 > 0 으로 부피가 양수예요. 또 [0, \tfrac{\pi}{4}] 에서 \cos x \ge \sin x 라 바깥 반지름이 항상 안쪽보다 크므로 와셔 넓이가 음수가 되지 않아 일관돼요. V \approx 4.17 이에요.

문제 34. (29–40) 정사각형 OABC 에서 O(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1) 이고, 곡선 y = \sqrt[4]{x} 와 직선 y = x 가 정사각형을 세 영역 \mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2, \mathcal{R}_3 으로 나눕니다(\mathcal{R}_2 는 y = \sqrt[4]{x} 위쪽 영역). \mathcal{R}_2 를 OC 를 중심으로 회전시킨 부피를 구하세요.

풀이 보기

OC 는 y축(x = 0)이에요. \mathcal{R}_2 는 y > \sqrt[4]{x}, 즉 x < y^4 인 위쪽 왼쪽 영역이에요. 높이 y 에서 자르면 x 는 0 부터 곡선 x = y^4 까지이므로, y축 회전 시 단면은 반지름 y^4 인 원판이에요. 넓이는

A(y) = \pi (y^4)^2 = \pi y^8

y = 0 부터 y = 1 까지 적분하면

V = \pi \int_0^1 y^8 \, dy = \pi \left[ \frac{y^9}{9} \right]_0^1 = \frac{\pi}{9}

검산. \mathcal{R}_2 는 회전축인 y축 바로 옆에 붙어 있고 반지름 y^4 이 대부분 1 보다 훨씬 작아요. 그래서 부피가 아주 작은 \dfrac{\pi}{9} \approx 0.35 로 나오는 것이 모양과 맞아요.

문제 39. (29–40) 위와 같은 정사각형과 곡선에서, \mathcal{R}_3 은 y = x 와 y = \sqrt[4]{x} 사이의 영역입니다. \mathcal{R}_3 를 AB 를 중심으로 회전시킨 부피를 구하세요.

풀이 보기

AB 는 직선 x = 1 이에요. \mathcal{R}_3 를 높이 y 로 자르면 x 는 x = y^4(곡선)부터 x = y(직선)까지예요(0 \le y \le 1 에서 y^4 \le y). 축 x = 1 에서 잰 반지름은 바깥이 1 - y^4, 안쪽이 1 - y 인 와셔예요.

A(y) = \pi \left[ (1 - y^4)^2 - (1 - y)^2 \right]

괄호 안을 전개하면

(1 - 2y^4 + y^8) - (1 - 2y + y^2) = y^8 - 2y^4 - y^2 + 2y

이므로

V = \pi \int_0^1 \left( y^8 - 2y^4 - y^2 + 2y \right) dy = \pi \left[ \frac{y^9}{9} - \frac{2 y^5}{5} - \frac{y^3}{3} + y^2 \right]_0^1

값을 대입하면

V = \pi \left( \frac{1}{9} - \frac{2}{5} - \frac{1}{3} + 1 \right) = \pi \cdot \frac{5 - 18 - 15 + 45}{45} = \frac{17\pi}{45}

검산. \mathcal{R}_3 에서 바깥 곡선 x = y^4 이 항상 안쪽 직선 x = y 보다 축 x = 1 에서 더 멀어(1 - y^4 \ge 1 - y) 와셔 넓이가 음수가 되지 않아요. \dfrac{17\pi}{45} \approx 1.19 로 양수예요.

문제 40. (29–40) 같은 영역 \mathcal{R}_3(y = x 와 y = \sqrt[4]{x} 사이)를 BC 를 중심으로 회전시킨 부피를 구하세요.

풀이 보기

BC 는 직선 y = 1 이에요. 이번엔 x 에 대해 적분해요. 위치 x 에서 \mathcal{R}_3 의 y 범위는 아래가 y = x, 위가 y = \sqrt[4]{x} 예요. 축 y = 1 에서 잰 반지름은 바깥이 1 - x(아래 곡선이 더 멀어요), 안쪽이 1 - \sqrt[4]{x} 인 와셔예요.

A(x) = \pi \left[ (1 - x)^2 - \left(1 - x^{1/4}\right)^2 \right]

전개하면

(1 - 2x + x^2) - (1 - 2x^{1/4} + x^{1/2}) = x^2 - 2x + 2x^{1/4} - x^{1/2}

이므로

V = \pi \int_0^1 \left( x^2 - 2x + 2x^{1/4} - x^{1/2} \right) dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{5} x^{5/4} - \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1

값을 대입하면

V = \pi \left( \frac{1}{3} - 1 + \frac{8}{5} - \frac{2}{3} \right) = \pi \cdot \frac{5 - 15 + 24 - 10}{15} = \frac{4\pi}{15}

검산. 0 \le x \le 1 에서 \sqrt[4]{x} \ge x 이므로 아래 곡선 y = x 가 축 y = 1 에서 더 멀어 바깥 반지름 1 - x 가 안쪽 1 - \sqrt[4]{x} 보다 커요. 와셔 넓이가 음수가 아니라 \dfrac{4\pi}{15} \approx 0.84 로 양수예요.

문제 51. (49–54) 다음 적분은 회전체의 부피를 나타냅니다. 그 입체를 설명하세요.

\pi \int_0^1 (x^4 - x^6)\, dx
풀이 보기

피적분함수를 제곱 형태로 바꾸면

x^4 - x^6 = (x^2)^2 - (x^3)^2

이에요. 이는 와셔 공식 \pi\big[(\text{바깥 반지름})^2 - (\text{안쪽 반지름})^2\big] 의 꼴이므로, 바깥 반지름이 x^2, 안쪽 반지름이 x^3 이에요. 즉 이 적분은

곡선 y = x^2 과 y = x^3 사이의 영역(0 \le x \le 1, 여기서 x^2 \ge x^3 이라 y = x^2 이 위쪽)을 x축을 중심으로 회전시킨 입체

의 부피를 나타내요.

검산(값 계산).

\pi \int_0^1 (x^4 - x^6)\, dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) = \frac{2\pi}{35}

0 \le x \le 1 에서 x^2 \ge x^3 이라 피적분함수가 음수가 되지 않아 부피가 양수로 나오는 것이 설명과 일치해요.

문제 68. (59–74) 입체 S 의 밑면은 꼭짓점이 (0,0), (1,0), (0,1) 인 삼각형 영역입니다. y축에 수직인 단면이 정삼각형일 때 S 의 부피를 구하세요.

풀이 보기

밑면 삼각형의 빗변은 직선 x + y = 1 이에요. y축에 수직으로 자르므로 높이 y 에서 밑변의 폭은 x = 0 부터 x = 1 - y 까지, 즉 s = 1 - y 예요. 이것이 정삼각형 한 변의 길이이고, 한 변이 s 인 정삼각형의 넓이는 \tfrac{\sqrt{3}}{4} s^2 이므로

A(y) = \frac{\sqrt{3}}{4} (1 - y)^2

y = 0 부터 y = 1 까지 적분하면

V = \frac{\sqrt{3}}{4} \int_0^1 (1 - y)^2 \, dy = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[ -\frac{(1 - y)^3}{3} \right]_0^1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{12}

검산. \int_0^1 (1-y)^2\, dy = \tfrac{1}{3} 이 맞고, 변의 길이가 y = 0 에서 1, y = 1 에서 0 으로 줄어드는 뾰족한 모양이라 부피가 작은 \dfrac{\sqrt{3}}{12} \approx 0.144 로 나오는 것이 타당해요.

문제 69. (59–74) 입체 S 의 밑면은 문제 68과 같은 삼각형이지만, 이번엔 x축에 수직인 단면이 정사각형입니다. 부피를 구하세요.

풀이 보기

x축에 수직으로 자르므로 위치 x 에서 밑변의 폭은 y = 0 부터 y = 1 - x 까지, 즉 정사각형 한 변이 s = 1 - x 예요. 정사각형 넓이는 s^2 이므로

A(x) = (1 - x)^2

따라서

V = \int_0^1 (1 - x)^2 \, dx = \left[ -\frac{(1 - x)^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}

검산. 문제 68과 밑변 폭 함수가 같고 단면만 정삼각형(\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2)에서 정사각형(s^2)으로 바뀌었어요. 그래서 부피 비율이 \dfrac{1/3}{\sqrt{3}/12} = \dfrac{12}{3\sqrt{3}} = \dfrac{4}{\sqrt{3}} 로, 정사각형 넓이 대 정삼각형 넓이 비 \dfrac{1}{\sqrt{3}/4} = \dfrac{4}{\sqrt{3}} 와 정확히 일치해요.

문제 70. (59–74) 입체 S 의 밑면은 포물선 y = 1 - x^2 과 x축으로 둘러싸인 영역입니다. y축에 수직인 단면이 정사각형일 때 부피를 구하세요.

풀이 보기

y축에 수직으로 자르므로 높이 y 에서 밑변의 폭을 구해요. y = 1 - x^2 에서 x = \pm\sqrt{1 - y} 이므로 폭은

s = 2\sqrt{1 - y}

이것이 정사각형 한 변이고 넓이는

A(y) = s^2 = \left( 2\sqrt{1 - y} \right)^2 = 4(1 - y)

y = 0 부터 y = 1 까지 적분하면

V = \int_0^1 4(1 - y)\, dy = 4 \left[ y - \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2

검산. 넓이 A(y) = 4(1 - y) 는 y = 0 에서 4, y = 1 에서 0 으로 선형으로 줄어드는 삼각형 꼴이라 평균값이 2 예요. 높이 1 을 곱하면 V = 2 로, 딱 맞아요.

문제 73. (59–74) 입체 S 는 x축에 수직이고 x축과 만나며 중심이 포물선 y = \tfrac{1}{2}(1 - x^2), -1 \le x \le 1 위에 있는 원들로 이루어져 있습니다. S 의 부피를 구하세요.

풀이 보기

위치 x 에서 단면 원은 x축에 수직인 평면 안에 있어요. 중심이 포물선 높이 y_c = \tfrac{1}{2}(1 - x^2) 에 있고 원이 x축(높이 0 인 점)과 만나므로, 반지름은 중심에서 x축까지의 거리와 같아요.

r = \frac{1}{2}(1 - x^2)

단면(원판)의 넓이는

A(x) = \pi r^2 = \pi \left[ \frac{1}{2}(1 - x^2) \right]^2 = \frac{\pi}{4}(1 - x^2)^2

-1 부터 1 까지 적분하고, 피적분함수가 우함수라 대칭을 쓰면

V = \frac{\pi}{4} \int_{-1}^{1} (1 - x^2)^2 \, dx = \frac{\pi}{2} \int_0^1 (1 - 2x^2 + x^4)\, dx

계산하면

V = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{\pi}{2} \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{8}{15} = \frac{4\pi}{15}

검산. 반지름은 x = 0 에서 최대 \tfrac{1}{2}, x = \pm 1 에서 0 이에요. \int_0^1 (1 - x^2)^2\, dx = \tfrac{8}{15} 이 맞고, 양 끝에서 뾰족하게 닫히는 모양이라 \dfrac{4\pi}{15} \approx 0.84 로 작게 나오는 것이 자연스러워요.

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