한눈에 보기
적분을 실제로 계산할 때 가장 많이 쓰는 도구가 바로 치환적분법(substitution rule)이에요. 아이디어는 딱 하나예요 — 미분의 연쇄법칙을 거꾸로 되돌리는 것. 복잡하게 얽힌 적분에서 "안쪽 함수"를 새 변수 u로 바꿔주면, 식이 눈에 띄게 단순해져요.
- u = g(x)로 바꿔서 \int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du로 단순화
- du = g'(x)\,dx — 이 짝을 찾는 게 핵심
- 정적분이면 적분한계도 u 값으로 바꿔주기
먼저 알아야 할 것
개념 설명
u-치환 원리
연쇄법칙을 다시 봐요. 어떤 함수 F의 도함수가 f라면(F' = f),
이 식의 양변을 적분하면 왼쪽은 원래 함수로 돌아오니까
가 돼요. 여기서 결정적인 관찰 하나. 만약 u = g(x)라고 이름 붙이면 F(g(x)) = F(u)이고, 이건 \int f(u)\,du의 결과와 똑같아요. 즉 겹쳐 있던 x의 적분이 u 하나짜리 깔끔한 적분으로 바뀐 거예요.
실제 계산에서는 형식적으로 이렇게 다뤄요. u = g(x)로 놓으면 미분해서 \dfrac{du}{dx} = g'(x), 양변에 dx를 곱한 것처럼 du = g'(x)\,dx로 써요. 그러면 원래 적분 속의 g'(x)\,dx 부분이 통째로 du로 바뀌고, g(x)는 u로 바뀌어요. 목표는 언제나 하나 — 적분 안을 전부 u와 du만으로 만드는 거예요. x가 하나라도 남으면 아직 안 끝난 거고요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
★ \displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx 를 구해봅시다.
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치환 잡기: 괄호 안의 겹친 부분을 u로. u = x^2 + 1.
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du 구하기: 미분하면 \dfrac{du}{dx} = 2x, 즉 du = 2x\,dx. 그런데 원래 식에 2x\,dx가 그대로 들어 있죠 — 딱 맞아떨어져요.
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갈아 끼우기: (x^2+1)^3 = u^3이고 2x\,dx = du이니
\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx = \int u^3\,du
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기본 공식으로 적분: \displaystyle\int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + C.
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원래 변수로 복원: u = x^2+1을 도로 넣어요.
\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C
맞는지 의심되면 미분해서 확인해요. \dfrac{(x^2+1)^4}{4}를 연쇄법칙으로 미분하면 (x^2+1)^3 \cdot 2x — 정확히 원래 적분 대상이에요.
정적분이라면? \displaystyle\int_0^1 2x\,(x^2+1)^3\,dx처럼 한계가 붙으면, 한계도 u로 바꿔요. x=0일 때 u = 0^2+1 = 1, x=1일 때 u = 1^2+1 = 2. 그러면
한계를 u 값으로 바꿨으니 원래 변수로 되돌릴 필요조차 없어요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 치환적분 = 연쇄법칙 거꾸로. 안쪽 함수를 u로, 그 미분을 du로 바꿔 적분을 단순화해요.
- 핵심 짝은 du = g'(x)\,dx — 적분 안을 전부 u와 du로 만드는 게 목표예요.
- 정적분이면 적분한계도 u 값으로 바꾸고, 부정적분이면 마지막에 원래 변수로 복원해요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 7장(적분 테크닉)에서 부분적분·삼각치환 같은 더 강한 기법들이 나오는데, 그 전에 거의 항상 이 u-치환으로 식을 먼저 다듬어요. 치환은 모든 적분 계산의 기본기예요.