한눈에 보기
현실 문제는 대개 "가장 좋은 값"을 물어요. 재료를 가장 적게 쓰려면, 넓이를 가장 크게 하려면, 비용을 가장 낮게 하려면 — 이런 물음이 다 최적화(optimization)예요. 3.1에서 배운 극값 도구(도함수 = 0인 곳)를 실제 상황에 그대로 써먹는 단원이에요.
- 실제 문제에서 최대·최소를 찾는 법
- 절차: 변수 정의 → 목적함수 세우기 → 제약으로 1변수화 → 미분해 임계점 → 최적 확인
- 넓이·부피·비용 최소화 같은 고전 문제들
먼저 알아야 할 것
개념 설명
최적화 5단계
최적화 문제는 겁먹을 필요 없이 정해진 순서대로 풀면 돼요. 말로 된 문제를 수식으로 옮기는 게 절반이에요.
- 변수 정의: 무엇을 구하는지 정하고, 필요한 양에 문자를 붙여요. 그림을 그리면 훨씬 쉬워져요.
- 목적함수 세우기: 최대·최소로 만들려는 양(넓이 A, 비용 C, 부피 V 등)을 식으로 써요. 이게 우리가 다룰 함수예요.
- 제약으로 1변수화: 목적함수에 변수가 둘 이상이면 풀 수 없어요. 문제에 숨은 제약 조건(둘레가 고정, 부피가 고정 등)으로 변수 하나를 다른 변수로 바꿔, 목적함수를 한 변수만의 함수로 만들어요.
- 미분해 임계점 찾기: 1변수가 된 목적함수를 미분하고 =0으로 놓아 임계점을 구해요.
- 최적 확인: 그 임계점이 정말 최대(또는 최소)인지 확인해요. 2계도함수 부호를 보거나, 정의역의 끝점과 값을 비교해요.
핵심은 3단계예요. 제약을 이용해 변수를 하나로 줄이는 순간, 문제는 3.1에서 풀던 익숙한 극값 문제가 돼요.
왜 임계점을 보나
3.1에서 봤듯, 매끄러운 함수의 봉우리(최대)나 골짜기(최소)에서는 접선이 수평이라 기울기 f'(x) = 0이에요. 그래서 "가장 좋은 값"의 후보는 임계점이에요. 다만 함수가 어떤 구간에서만 정의될 땐, 봉우리가 구간 끝에 숨어 있을 수도 있어서 끝점도 반드시 확인해요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
문제: 울타리 100\,\text{m}로 강가에 직사각형 목장을 두르려고 해요. 강 쪽 한 변은 울타리가 필요 없어요. 넓이를 최대로 하는 크기는?
1단계 — 변수 정의. 강과 나란한 변의 길이를 x, 강과 수직인 두 변의 길이를 y라고 해요.
2단계 — 목적함수. 넓이는
3단계 — 제약으로 1변수화. 울타리는 강 쪽을 뺀 세 변에만 필요해요. 총 길이가 100이니
이걸 넓이에 대입하면
이제 y 하나만의 함수예요. 정의역은 0 < y < 50이에요(길이가 양수여야 하니까).
4단계 — 미분해 임계점.
5단계 — 최적 확인. A''(y) = -4 < 0이라 위로 볼록, 즉 이 임계점은 최대예요. 정의역 끝(y \to 0이나 y \to 50)에서는 A \to 0이니 끝점보다 확실히 커요.
그러면 x = 100 - 2(25) = 50, 넓이는 A = 50 \times 25 = 1250\,\text{m}^2예요. 강가 변을 나머지 두 변 합과 같게 나눌 때 최대가 되네요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 최적화 = 현실 문제에서 최대·최소 찾기. 절차는 변수 정의 → 목적함수 → 제약으로 1변수화 → 미분해 임계점 → 최적 확인.
- 승부처는 1변수화예요. 제약으로 변수를 하나로 줄이면, 3.1의 극값 문제가 돼요.
- 임계점은 후보일 뿐이니 2계도함수나 끝점 비교로 최대·최소를 확정하세요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 변수가 여럿인 함수의 최적화가 14.7 다변수 최적화예요. 거기에 제약이 붙으면 라그랑주 승수법(14.8)으로 풀고, 그 흐름이 곧 머신러닝 학습(손실 최소화)의 뼈대예요.