한눈에 보기
지금까지 극한은 "x가 어떤 한 점에 다가갈 때"를 봤어요. 이번엔 x를 끝없이 크게(또는 작게) 밀어봐요. x \to \infty일 때 f(x)가 어떤 값 L로 가까워지면, 그 값을 무한대에서의 극한이라 하고 \lim_{x\to\infty} f(x) = L로 써요. 그래프가 y = L이라는 가로선에 점점 달라붙는데, 이 선이 수평점근선(horizontal asymptote)이에요.
- x가 무한히 커질 때 함수의 장기 거동(long-run behavior)
- 수평점근선 y = L
- 유리함수(분수꼴)의 무한대 극한 = 최고차항끼리 비교
- 기본 도구: \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^n} = 0
먼저 알아야 할 것
개념 설명
무한대에서의 극한
\lim_{x\to\infty} f(x) = L은 "x를 충분히 크게 하면 f(x)를 L에 원하는 만큼 가깝게 만들 수 있다"는 뜻이에요. 예를 들어 f(x) = \frac{1}{x}는 x가 커질수록 값이 0에 한없이 가까워지죠. x = 10이면 0.1, x = 1000이면 0.001, … 그래서 \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0이에요. 마찬가지로 x \to -\infty(음의 방향으로 무한히)도 따로 볼 수 있어요.
주의할 점 하나. 무한대 극한이 항상 유한한 값으로 끝나는 건 아니에요. f(x) = x^2처럼 값 자체가 끝없이 커지면 \lim_{x\to\infty} x^2 = \infty라 쓰고, 이건 "극한값이 \infty라는 수"가 아니라 무한대로 발산한다(끝없이 커진다)는 표현이에요.
수평점근선
\lim_{x\to\infty} f(x) = L이거나 \lim_{x\to-\infty} f(x) = L이면, 직선 y = L을 그래프의 수평점근선이라 해요. 그래프가 오른쪽 끝(또는 왼쪽 끝)으로 갈수록 이 선에 점점 붙는다는 뜻이죠. 한 함수가 양쪽에서 서로 다른 수평점근선을 가질 수도 있어요 — 예를 들어 \tan^{-1} x는 오른쪽에서 \frac{\pi}{2}, 왼쪽에서 -\frac{\pi}{2}에 붙어요.
핵심 도구는 이거예요: n이 양의 정수일 때 \frac{1}{x^n}은 분모가 폭발적으로 커지니 값은 0으로 가요. 유리함수의 무한대 극한은 거의 다 이 사실 하나로 풀려요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
를 구해봐요. 그냥 대입하면 분자·분모 둘 다 무한대라 \frac{\infty}{\infty} 꼴이에요 — 이대로는 답을 알 수 없어요. 요령은 분자·분모를 최고차항으로 나누기예요. 여기선 분모의 최고차가 x^2이니, 위아래를 x^2으로 나눠요.
- 분자: \frac{3x^2 - x + 2}{x^2} = 3 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}
- 분모: \frac{5x^2 + 4x - 1}{x^2} = 5 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}
- 이제 x \to \infty를 넣어요. \frac{1}{x}, \frac{2}{x^2}, \frac{4}{x}, \frac{1}{x^2}은 모두 0으로 가니:
그래서 답은 \frac{3}{5}, 그리고 y = \frac{3}{5}이 수평점근선이에요. 사실 결과만 보면 최고차항의 계수끼리의 비(\frac{3}{5})죠. 분자·분모의 차수가 같으면 이렇게 계수 비가 답이에요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- \lim_{x\to\infty} f(x) = L이면 y = L이 수평점근선 — 함수의 장기 거동을 알려줘요.
- 기본 도구: \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^n} = 0 (n > 0).
- 유리함수 무한대 극한 = 분자·분모를 최고차항으로 나눈 뒤 정리. 차수가 같으면 최고차항 계수의 비.
- \frac{\infty}{\infty}는 부정형이니 반드시 변형해서 판단하고, 발산이면 \lim = \infty로 표현해요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 3.5 곡선 그리기에서, 이 수평점근선과 (수직점근선·증감·오목)을 합쳐 그래프의 전체 모양을 그려요.