한눈에 보기
앞 절에서 배운 도함수 f'(x)는 "순간변화율"이었죠. 이번 절은 그 순간변화율과 전체 평균변화율을 잇는 다리예요. 핵심 주장은 이거예요 — 어떤 구간에서 함수가 평균적으로 얼마만큼 변했다면, 그 구간 어딘가에는 딱 그 평균 속도로 움직이던 순간이 반드시 있다. 이걸 다듬은 게 평균값 정리(Mean Value Theorem, MVT)이고, 그 특수한 경우가 롤의 정리(Rolle's Theorem)예요.
- 롤의 정리: 양 끝 높이가 같으면(f(a)=f(b)), 중간 어딘가에 기울기 0인 점이 있어요.
- 평균값 정리: 양 끝을 이은 직선의 기울기와 똑같은 순간기울기를 갖는 점이 중간에 있어요.
- 따름정리: f'=0이면 함수는 상수, f'=g'이면 둘은 상수 차이.
먼저 알아야 할 것
개념 설명
롤의 정리
먼저 쉬운 특수 경우부터 볼게요. 함수 f가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분가능한데, 양 끝 높이가 같다고 해봐요(f(a) = f(b)). 그러면 그 사이 어딘가에 f'(c) = 0인 점 c가 반드시 있어요.
직관은 간단해요. 같은 높이에서 출발해 같은 높이로 돌아오려면, 도중에 올라갔다면 반드시 어딘가에서 방향을 바꿔야 하죠. 그 꼭대기(또는 골짜기)에서 접선은 수평, 즉 기울기가 0이에요. 공을 위로 던지면 올라가다 멈추고 내려오는데, 그 최고점에서 순간속도가 0인 것과 같아요.
평균값 정리
이제 롤의 정리를 기울어진 경우로 일반화한 게 MVT예요. 양 끝 높이가 같을 필요 없어요. f가 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분가능하기만 하면, 다음을 만족하는 점 c가 (a, b) 안에 있어요.
오른쪽은 두 끝점 (a, f(a))와 (b, f(b))를 이은 할선의 기울기(평균변화율), 왼쪽은 점 c에서의 접선의 기울기(순간변화율)예요. 그림으로 보면, 할선과 평행한 접선을 그을 수 있는 지점이 곡선 위 어딘가에 꼭 있다는 뜻이에요. 롤의 정리는 이 할선이 수평(f(a)=f(b))인 특수한 경우고요.
따름정리
MVT의 진짜 위력은 여기서 나와요. 만약 어떤 구간 전체에서 f'(x) = 0이라면, 그 함수는 상수예요. 왜냐면 임의의 두 점 사이에 MVT를 쓰면 f(b) - f(a) = f'(c)(b-a) = 0이 되어 모든 값이 같아지거든요. 마찬가지로 f'(x) = g'(x)이면 f와 g는 상수만큼만 차이나요. 적분에서 "부정적분에 +C가 붙는" 이유가 바로 이거예요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
f(x) = x^3 - x에 대해 구간 [0, 2]에서 MVT의 c를 찾아봅시다. 이 함수는 다항식이라 어디서나 연속·미분가능하니 조건은 통과예요.
- 평균변화율(할선 기울기)부터 계산해요. f(2) = 8 - 2 = 6, f(0) = 0이니 \dfrac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \dfrac{6 - 0}{2} = 3.
- 도함수를 구해요. f'(x) = 3x^2 - 1.
- f'(c) = 3인 c를 찾아요. 3c^2 - 1 = 3 → 3c^2 = 4 → c^2 = \dfrac{4}{3} → c = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15.
- 이 값이 구간 (0, 2) 안에 있으니 조건을 만족해요. 즉 x \approx 1.15에서 곡선의 접선이 두 끝점을 이은 할선과 평행해요. (음수 해 c = -\dfrac{2}{\sqrt{3}}은 구간 밖이라 버려요.)
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 롤의 정리: 연속·미분가능 + f(a)=f(b)이면, f'(c)=0인 c가 존재해요.
- 평균값 정리: 연속·미분가능이면, f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}인 c가 존재해요 — 평균변화율 = 어떤 점의 순간변화율.
- 따름정리: f'=0이면 상수, f'=g'이면 상수 차이. 부등식·오차 증명의 기본 도구예요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 3.3에서 도함수의 부호로 그래프가 오르내리는 모양(증가·감소, 극값)을 읽는데, 그 논리의 바탕이 바로 이 MVT예요.