한눈에 보기
어떤 함수의 값이 가장 커지는 곳, 가장 작아지는 곳은 어디일까요? 3.1은 이 최댓값·최솟값 찾기의 기초 도구를 정리해요. 핵심은 두 가지예요. 첫째, 극값 후보를 좁혀 주는 임계점(f'(c)=0이거나 미분이 안 되는 점). 둘째, 닫힌 구간 [a, b]에서 최댓값·최솟값을 확실히 찾는 닫힌구간 방법이에요.
- 절대(전역) 극값 vs 상대(국소) 극값
- 임계점 — 극값이 숨어 있을 수 있는 후보 지점
- 페르마 정리 — "극값이면 임계점이다"
- 닫힌구간 방법 — 임계점과 양 끝값만 비교하면 끝
먼저 알아야 할 것
개념 설명
극값과 임계점
먼저 극값 두 종류를 구분해요. 절대(전역) 최댓값은 정의역 전체에서 가장 큰 값이고, 상대(국소) 최댓값은 "그 근처에서만" 가장 큰 값이에요. 산으로 치면, 가장 높은 봉우리가 절대 최댓값이고, 주변보다 높기만 한 작은 언덕들이 상대 최댓값이죠. 최솟값도 똑같이 절대·상대로 나뉘어요.
그럼 이런 극값은 어디서 생길까요? 임계점(critical number)은 그 후보를 콕 집어 주는 개념이에요. f'(c) = 0이거나 f'(c)가 존재하지 않는 점 c를 임계점이라고 해요. 기울기가 0인 곳(봉우리·골짜기의 평평한 꼭대기)이나, 기울기가 뚝 꺾이는 곳(뾰족한 모서리)이죠.
이걸 보장해 주는 게 페르마 정리(Fermat's Theorem)예요. "f가 c에서 상대 극값을 가지고 f'(c)가 존재하면, f'(c) = 0이다." 즉 매끄러운 봉우리·골짜기에서는 접선이 반드시 수평이에요. 뒤집어 말하면, 극값은 임계점에서만 생겨요. 그래서 극값을 찾을 땐 임계점만 뒤지면 되고, 그게 아닌 점은 볼 필요가 없어요.
닫힌구간 방법
닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수는 반드시 절대 최댓값과 절대 최솟값을 가져요(최대·최소 정리). 그리고 그 값은 오직 두 군데서만 나와요 — 구간 안의 임계점, 아니면 양 끝점 a, b. 그래서 절차가 아주 깔끔해요.
- (a, b) 안의 임계점을 모두 찾아요.
- 그 임계점들에서 f 값을 계산해요.
- 양 끝값 f(a), f(b)도 계산해요.
- 이 값들 중 가장 큰 게 최댓값, 가장 작은 게 최솟값이에요.
봉우리·골짜기 후보(임계점)와 울타리 끝(양 끝점)만 비교하면 되는 거예요. 미분으로 증가·감소를 따질 필요도 없이, 값만 나열해 비교하면 끝나요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
f(x) = x^3 - 3x^2 + 1을 구간 [-\dfrac{1}{2}, 4]에서 최댓값·최솟값을 찾아 봅시다.
- 도함수: f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2).
- 임계점: f'(x) = 0 → x = 0 또는 x = 2. 둘 다 구간 안에 있어요. (이 함수는 모든 점에서 미분 가능하니, 미분 불가 임계점은 없어요.)
- 임계점에서 값: f(0) = 1, f(2) = 8 - 12 + 1 = -3.
- 양 끝값: f\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{8} - \dfrac{3}{4} + 1 = \dfrac{1}{8}, f(4) = 64 - 48 + 1 = 17.
- 비교: \{17,\ 1,\ \dfrac{1}{8},\ -3\} 중 가장 큰 17이 최댓값(x=4), 가장 작은 -3이 최솟값(x=2)이에요.
끝점 x = 4에서 최댓값이 나왔다는 데 주목하세요. 최댓값이 꼭 임계점에서 나오는 건 아니에요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 극값은 절대(전역)와 상대(국소)로 나뉘어요.
- 임계점 = f'(c)=0 또는 미분 불가인 점. 페르마 정리에 따라 극값은 임계점에서만 생겨요.
- 닫힌 구간 [a, b] 최적화는 임계점 값 + 양 끝값을 모두 구해 가장 큰·작은 걸 고르면 끝나요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 3.3에서 1계·2계 도함수로 임계점이 극대인지 극소인지 판정하고, 3.7에서 이 방법으로 실제 최적화 문제(넓이·비용 최대·최소)를 풀어요.