15.7 원기둥좌표에서의 삼중적분

한눈에 보기

15.3에서 이중적분을 원 모양 영역에 쓸 때 극좌표가 얼마나 편했는지 기억하시죠? 원기둥좌표(cylindrical coordinates)는 그 극좌표에 높이 z를 얹은 것뿐이에요. 바닥은 극좌표 (r, \theta)로, 위아래는 그냥 z로 표현하는 거죠. 원기둥·파이프·원뿔처럼 축을 중심으로 빙 도는 대칭을 가진 입체에서 삼중적분이 훨씬 깔끔해져요.

• 원기둥좌표 (r, \theta, z) — 극좌표 + 높이
• 변환: x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z
• 핵심 부피조각: dV = r\,dz\,dr\,d\theta (극좌표처럼 r이 붙어요)

먼저 알아야 할 것

개념 설명

극좌표 + 높이

공간의 한 점을 가리키는 방법을 바꿔볼게요. 직교좌표는 (x, y, z)처럼 "오른쪽으로 얼마, 앞으로 얼마, 위로 얼마"로 말해요. 원기둥좌표는 바닥면만 극좌표로 바꿔요.

• r: 그 점을 xy평면에 그림자처럼 내렸을 때, z축(중심축)에서 떨어진 거리
• \theta: 그 그림자가 x축과 이루는 각도
• z: 높이는 직교좌표와 똑같이 그대로

그래서 이름이 원기둥좌표예요. r을 고정하면 "중심축에서 거리가 일정한 점들"이 모여 원기둥 옆면을 이루거든요. r = 2는 반지름 2짜리 무한 원기둥 껍질, \theta = \pi/3은 축을 지나는 반평면, z = 5는 수평면이에요.

왜 부피조각에 r이 붙을까

가장 중요한 부분이에요. 원기둥좌표에서 r, \theta, z를 아주 조금씩 늘려 만든 작은 부피조각은 정육면체가 아니에요. r 방향으로 dr, z 방향으로 dz만큼 커지는 건 곧지만, \theta 방향으로는 호(arc)를 따라 움직여요. 반지름 r에서 각도가 d\theta만큼 벌어지면 호의 길이는 r\,d\theta예요. 그래서 조각의 세 변은 dr,\ r\,d\theta,\ dz이고, 부피는 이 셋을 곱한

가 돼요. 중심축에서 멀수록(r이 클수록) 같은 각도라도 조각이 넓어진다는 뜻이죠 — 부채꼴을 떠올리면 자연스러워요.

수식 하나하나 뜯어보기

적분 순서는 보통 안쪽에서 바깥으로 z \to r \to \theta예요. z의 위아래 경계는 입체의 바닥면과 윗면(예: 바닥은 z=0, 위는 곡면 z = 4 - r^2)이고, r과 \theta는 그 그림자가 xy평면에 그리는 영역을 극좌표로 훑어요.

손으로 따라가는 예제

반지름 2, 높이 5인 원기둥의 부피를 원기둥좌표로 구해봅시다. 부피는 f = 1로 둔 삼중적분 \iiint_E 1\,dV예요.

1. 경계 정하기: 원기둥이니 중심축에서 거리는 0 \le r \le 2, 한 바퀴 도니 0 \le \theta \le 2\pi, 높이는 0 \le z \le 5. 셋 다 상수라 아주 깔끔해요.

2. 적분식 세우기: dV = r\,dz\,dr\,d\theta를 넣어요.

3. 안쪽 z부터: \int_0^5 r\,dz = r \cdot 5 = 5r (피적분함수에 z가 없으니 높이 5를 곱하기만 하면 돼요).

4. 다음 r: \int_0^2 5r\,dr = 5 \cdot \dfrac{r^2}{2}\Big|_0^2 = 5 \cdot 2 = 10.

5. 마지막 \theta: \int_0^{2\pi} 10\,d\theta = 10 \cdot 2\pi = 20\pi.

결과는 V = 20\pi예요. 익숙한 공식 \pi R^2 h = \pi \cdot 2^2 \cdot 5 = 20\pi와 정확히 같죠. r을 빠뜨렸다면 답이 틀렸을 거예요 — 그만큼 dV의 r이 결정적이에요.

흔한 헷갈림

핵심 정리

• 원기둥좌표 (r, \theta, z) = 극좌표 (r, \theta)에 높이 z를 더한 것. x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z.
• 부피조각 dV = r\,dz\,dr\,d\theta — 극좌표처럼 앞에 r이 붙는 게 전부이자 핵심이에요.
• 원기둥·파이프·원뿔처럼 축 대칭 입체에서 경계가 상수로 떨어져 계산이 깔끔해져요.
• 뒤에서 다시 만나는 곳: 15.8 구면좌표에서는 여기에 한 발 더 나아가 공 모양 대칭을 다뤄요. 거기서는 부피조각이 dV = \rho^2 \sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta로, 이번처럼 "조각의 실제 크기를 재는 인수"가 붙는 원리가 그대로 이어져요.