한눈에 보기
15.2에서 평평한 영역 위로 적분(\iint)해서 부피를 구했어요. 이번엔 한 차원을 더 올려서, 3차원 입체 E 전체를 잘게 쪼갠 뒤 각 조각의 값을 모두 더해요. 이게 삼중적분(triple integral) \iiint_E f(x,y,z)\,dV예요. 이중적분을 두 번 반복적분으로 풀었듯, 삼중적분은 세 번 반복적분으로 풀어요. 적분 한계가 곧 입체의 모양이 되죠.
- 삼중적분 \iiint_E f\,dV — 3차원 입체 위 적분
- 세 번 반복적분, 안쪽부터 바깥으로
- f=1이면 부피, f=\rho(밀도)면 질량
먼저 알아야 할 것
개념 설명
삼중적분 = 한 번 더
이중적분은 영역 D를 작은 사각형 \Delta A로 쪼개 f\cdot\Delta A를 다 더한 거였어요. 삼중적분은 입체 E를 작은 상자 \Delta V = \Delta x\,\Delta y\,\Delta z로 쪼개고, 각 상자에서 f 값을 곱해 전부 더해요. 쪼개는 상자를 무한히 잘게 만든 극한이 \iiint_E f\,dV예요.
여기서 dV가 "부피 조각"이에요. 이중적분의 dA(넓이 조각)에 대응하죠. 만약 f(x,y,z)=1로 두면 각 상자마다 "부피 그 자체"를 더하는 거라, 결과는 입체 E의 부피가 돼요. f가 밀도 \rho이면 "부피 × 밀도 = 질량"을 조각마다 더하니 총 질량이 나오고요. 함수 하나만 바꿔서 부피·질량·평균값·확률을 모두 같은 틀로 다루는 게 핵심이에요.
세 번 반복적분으로 푼다
실제 계산은 안쪽부터 한 변수씩 적분해요. 예를 들어 입체 E를 "xy평면의 그림자 D 위에서, z가 아래 곡면 u_1(x,y)부터 위 곡면 u_2(x,y)까지 채워진 영역"으로 보면 이렇게 써요.
안쪽 z 적분을 먼저 끝내면 x,y만 남은 이중적분이 되고, 그건 15.2처럼 다시 두 번 적분해요. 결국 세 번을 순서대로 푸는 셈이죠.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
직육면체 E=[0,1]\times[0,2]\times[0,3] 위에서 f(x,y,z)=xyz의 삼중적분을 구해 봅시다.
-
안쪽 z 적분 (x,y는 상수 취급): \displaystyle\int_0^3 xyz\,dz = xy\cdot\frac{z^2}{2}\Big|_0^3 = xy\cdot\frac{9}{2} = \frac{9}{2}xy.
-
가운데 y 적분: \displaystyle\int_0^2 \frac{9}{2}xy\,dy = \frac{9}{2}x\cdot\frac{y^2}{2}\Big|_0^2 = \frac{9}{2}x\cdot 2 = 9x.
-
바깥 x 적분: \displaystyle\int_0^1 9x\,dx = 9\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_0^1 = \frac{9}{2}.
답은 \dfrac{9}{2}예요. 한계가 전부 상수라 사실상 \left(\int_0^1 x\,dx\right)\left(\int_0^2 y\,dy\right)\left(\int_0^3 z\,dz\right)로 쪼개 곱해도 같은 값이 나와요 — 변수마다 독립일 때 쓰는 요령이에요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 삼중적분 \iiint_E f\,dV = 3차원 입체 E를 잘게 쪼개 값을 다 더한 것.
- 세 번 반복적분으로 풀고, 안쪽부터 바깥 순서로, 한계는 입체 모양에서 세워요.
- f=1이면 부피, f=\rho이면 질량 — 함수만 바꿔 총량을 구해요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 상자 좌표가 불편한 입체(원기둥·구 모양)는 15.7 원기둥좌표, 15.8 구면좌표로 바꾸면 한계가 훨씬 간단해져요.