한눈에 보기
1변수에서 극값을 어떻게 찾았는지 떠올려 봐요 — 기울기가 0인 점을 찾고, 이계도함수 부호로 봉우리인지 골짜기인지 판정했죠. 다변수에서도 똑같은 리듬이에요. 다만 기울기가 하나가 아니라 그래디언트 \nabla f라, 두 방향의 기울기가 동시에 0인 점을 찾아요. 그리고 판정도 f_{xx} 하나가 아니라 판별식 D로 해요. 여기서 처음 만나는 새 얼굴이 하나 있는데, 바로 안장점이에요.
- 임계점(critical point): \nabla f = \mathbf{0}인 점 — 극값 후보
- 이차 판정법: D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2의 부호로 극대·극소·안장 판정
- 안장점: 어떤 방향엔 최소, 다른 방향엔 최대 — 극값이 아닌 임계점
먼저 알아야 할 것
개념 설명
임계점
곡면에서 극대(봉우리)나 극소(골짜기 바닥)인 점은, 그 자리에서 곡면이 평평해요. 어느 방향으로 봐도 순간 기울기가 0이라는 뜻이죠. 방향이 x, y 둘이니 조건도 둘이에요:
이 둘을 한꺼번에 쓰면 \nabla f = \mathbf{0}이에요. 이 조건을 만족하는 점을 임계점이라고 불러요. 중요한 건 임계점이 극값의 후보일 뿐이라는 거예요 — 실제로 극대인지, 극소인지, 아니면 둘 다 아닌지는 다음 단계에서 가려요.
이차 판정법
1변수에서 f''>0이면 아래로 볼록(극소), f''<0이면 위로 볼록(극대)이었죠. 다변수에서도 이계편도함수를 보는데, 방향이 여럿이라 f_{xx} 하나만으론 부족해요. 그래서 이 세 개를 조합한 판별식을 써요:
여기서 f_{xy}는 "x로 미분한 뒤 y로 또 미분"한 값이에요. D의 부호가 곡면이 두 방향에서 같은 쪽으로 휘는지, 반대로 휘는지를 잡아내요. D>0이면 두 방향이 사이좋게 같은 쪽으로 휘어 진짜 극값이고, 이때 f_{xx} 부호로 골짜기(f_{xx}>0)인지 봉우리(f_{xx}<0)인지 갈라요. D<0이면 두 방향이 서로 반대로 휘는데, 그게 바로 안장점이에요.
안장점
안장점(saddle point)은 임계점인데 극값이 아닌 점이에요. 말안장을 떠올려 봐요 — 앞뒤(말 등 방향)로는 가운데가 가장 낮은 골짜기인데, 좌우(다리 방향)로는 가운데가 가장 높은 봉우리죠. 한 방향에선 최소, 수직 방향에선 최대. 그래서 "여기가 바닥인가?" 하고 서 있으면, 어떤 길로는 더 내려갈 수 있어요. z = x^2 - y^2가 정확히 이 모양이에요(12.6의 쌍곡포물면). 원점에서 \nabla f = \mathbf{0}이지만, x축을 따라선 위로, y축을 따라선 아래로 열려 있어요. 평평하다고 다 골짜기가 아닌 이유예요.
수식 하나하나 뜯어보기
D를 계산할 땐 반드시 임계점에서의 값을 넣어요 — f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}에 그 점의 좌표를 대입한 숫자로요. 참고로 f_{xy} = f_{yx}라 순서는 걱정 안 해도 돼요(연속이면).
손으로 따라가는 예제
예제 1 — 골짜기: f(x, y) = x^2 + y^2
- 편도함수: f_x = 2x, f_y = 2y.
- 임계점: f_x = 0,\ f_y = 0 \Rightarrow x = 0,\ y = 0. 임계점은 원점 (0,0) 하나.
- 이계편도함수: f_{xx} = 2, f_{yy} = 2, f_{xy} = 0.
- 판별식: D = (2)(2) - 0^2 = 4 > 0. 그리고 f_{xx} = 2 > 0.
- 결론: 극소. 원점에서 최솟값 f(0,0)=0이에요(경우 1). 위로 열린 그릇의 바닥이죠.
예제 2 — 안장: f(x, y) = x^2 - y^2
- 편도함수: f_x = 2x, f_y = -2y.
- 임계점: 2x = 0,\ -2y = 0 \Rightarrow (0,0).
- 이계편도함수: f_{xx} = 2, f_{yy} = -2, f_{xy} = 0.
- 판별식: D = (2)(-2) - 0^2 = -4 < 0.
- 결론: 안장점(경우 3). \nabla f = \mathbf{0}이라 평평하지만 극값은 아니에요 — x축으론 최소, y축으론 최대인 말안장이죠.
두 함수 모두 임계점은 원점 하나로 같았지만, 판별식이 운명을 갈랐어요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 임계점: \nabla f = \mathbf{0}, 즉 f_x = 0이고 f_y = 0인 점 — 극값의 후보예요.
- 이차 판정법: D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2. D>0,\,f_{xx}>0이면 극소, D>0,\,f_{xx}<0이면 극대, D<0이면 안장점, D=0이면 판정 불가.
- 안장점은 평평하지만 극값이 아닌 점 — 한 방향 최소·다른 방향 최대예요.
- 닫힌 영역의 최대·최소는 내부 임계점 + 경계를 모두 확인해요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 14.8에서 "제약 조건이 있는 최적화"(라그랑주 승수)로 확장하고, 실전에서는 이 곡면을 그래디언트 반대 방향으로 한 걸음씩 내려가는 경사하강법이 곧 머신러닝의 학습이에요 — 안장점이 그 여정의 진짜 복병이고요.