평균속도는 변위를 시간으로 나눈 벡터예요.

• (a) 구간별로 계산해요.

• (b) t=1 의 순간속도는 t=1 을 양쪽에서 감싸는 가장 짧은 두 구간([0.5,1] 과 [1,1.5])의 평균속도를 평균 내면 좋은 추정이 돼요(중심차분과 같은 아이디어예요).

속력은 이 벡터의 크기예요.

최종답: (a) \langle 1.8,-3.8,-0.7\rangle, \langle 2.0,-2.4,-0.6\rangle, \langle 2.8,1.8,-0.3\rangle, \langle 2.8,0.8,-0.4\rangle   (b) \mathbf{v}(1)\approx\langle 2.4,-0.8,-0.5\rangle, 속력 \approx 2.6

검산: (b)의 추정은 [0.5,1.5] 구간 평균속도 \dfrac{\mathbf{r}(1.5)-\mathbf{r}(0.5)}{1}=\langle 2.4,-0.8,-0.5\rangle 와 정확히 같아요(중심차분).

속도는 위치의 도함수, 가속도는 속도의 도함수예요.

속력은 속도의 크기예요.

t=2 에서 값을 넣으면

그림: x=-\tfrac{1}{2}y^2 (y=t 를 대입)이므로 경로는 왼쪽으로 열린 포물선이에요. t=2 일 때 입자는 \mathbf{r}(2)=(-2,\ 2) 에 있고, 여기에 \mathbf{v}(2) (왼쪽 위 방향, 곡선의 접선)와 \mathbf{a}(2) (왼쪽 수평 방향)를 화살표로 그리면 돼요.

최종답: \mathbf{v}(t)=\langle -t,1\rangle, \mathbf{a}(t)=\langle -1,0\rangle, |\mathbf{v}(t)|=\sqrt{t^2+1}; t=2 에서 \mathbf{v}=\langle -2,1\rangle, \mathbf{a}=\langle -1,0\rangle, 속력 \sqrt{5}

검산: \mathbf{v} 를 적분하면 \langle -\tfrac{1}{2}t^2,\ t\rangle+\mathbf{C} 로 원래 위치함수가 복원돼요.

성분별로 미분해요.

속력은

t=\pi/3 에서 \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}, \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} 을 넣으면

그림: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 인 타원을 반시계 방향으로 도는 운동이에요. t=\pi/3 일 때 입자는 \left(\tfrac{3}{2},\ \sqrt3\right) 에 있고, \mathbf{v} 는 접선 방향(왼쪽 위), \mathbf{a}=-\mathbf{r}(t) 는 항상 원점(중심)을 향해요.

최종답: \mathbf{v}=-3\sin t\,\mathbf{i}+2\cos t\,\mathbf{j}, \mathbf{a}=-3\cos t\,\mathbf{i}-2\sin t\,\mathbf{j}, |\mathbf{v}|=\sqrt{4+5\sin^2 t}; t=\pi/3 에서 \mathbf{v}=\left\langle -\tfrac{3\sqrt3}{2},1\right\rangle, \mathbf{a}=\left\langle -\tfrac{3}{2},-\sqrt3\right\rangle, 속력 \tfrac{\sqrt{31}}{2}

검산: \mathbf{a}(t)=-\mathbf{r}(t) 관계가 성립하니 \mathbf{a}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=-\left\langle \tfrac{3}{2},\sqrt3\right\rangle 로 일치해요.

z=2 는 상수라서 운동은 평면 z=2 안에서만 일어나요.

t=1 에서

그림: 평면 z=2 위의 포물선 y=x^2 이에요. t=1 일 때 입자는 (1,1,2) 에 있고, \mathbf{v}(1) 은 접선 방향(오른쪽 위), \mathbf{a} 는 항상 +y 방향(포물선이 휘는 안쪽)이에요.

최종답: \mathbf{v}(t)=\mathbf{i}+2t\,\mathbf{j}, \mathbf{a}(t)=2\,\mathbf{j}, |\mathbf{v}(t)|=\sqrt{1+4t^2}; t=1 에서 \mathbf{v}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}, \mathbf{a}=2\mathbf{j}, 속력 \sqrt{5}

검산: \mathbf{v} 를 적분하면 t\,\mathbf{i}+t^2\,\mathbf{j}+\mathbf{C}, 초기값을 맞추면 원래 \mathbf{r} 이 나와요.

성분별 미분만 하면 돼요.

속력을 계산할 때 앞 두 성분의 제곱합을 먼저 정리하면 편해요.

교차항 \pm 4t 가 서로 지워지기 때문이에요. 따라서

최종답: \mathbf{v}(t)=\langle 2t+1,\ 2t-1,\ 3t^2\rangle,   \mathbf{a}(t)=\langle 2,2,6t\rangle,   |\mathbf{v}(t)|=\sqrt{9t^4+8t^2+2}

검산: t=0 일 때 \mathbf{v}=\langle 1,-1,0\rangle 이고 |\mathbf{v}|=\sqrt2, 공식에 넣어도 \sqrt{0+0+2}=\sqrt2 로 일치해요.

성분별로 미분해요. e^{-t} 의 도함수는 -e^{-t} 인 것에 주의해요.

속력은 완전제곱으로 깔끔하게 정리돼요.

가운데 등호는 (e^t+e^{-t})^2=e^{2t}+2+e^{-2t} 이기 때문이에요.

최종답: \mathbf{v}(t)=\sqrt{2}\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}-e^{-t}\,\mathbf{k},   \mathbf{a}(t)=e^{t}\,\mathbf{j}+e^{-t}\,\mathbf{k},   |\mathbf{v}(t)|=e^{t}+e^{-t}

검산: t=0 에서 \mathbf{v}(0)=\langle\sqrt2,1,-1\rangle, |\mathbf{v}(0)|=\sqrt{2+1+1}=2 이고 공식 e^0+e^0=2 와 일치해요.

각 성분이 곱의 꼴이라 곱의 미분법을 써요.

한 번 더 곱의 미분법을 쓰면 예쁘게 정리돼요. 예를 들어 첫 성분은

같은 방식으로 나머지도 계산하면

속력은 e^t 를 밖으로 빼고 계산해요. (\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2=2 (교차항이 지워져요)이므로

최종답: \mathbf{v}(t)=e^{t}\langle \cos t-\sin t,\ \sin t+\cos t,\ t+1\rangle,   \mathbf{a}(t)=e^{t}\langle -2\sin t,\ 2\cos t,\ t+2\rangle,   |\mathbf{v}(t)|=e^{t}\sqrt{t^2+2t+3}

검산: t=0 에서 \mathbf{v}(0)=\langle 1,1,1\rangle 이라 |\mathbf{v}(0)|=\sqrt3, 공식으로도 e^0\sqrt{0+0+3}=\sqrt3 으로 일치해요.

가속도를 적분하면 속도가 나와요. 적분상수(벡터)는 초기속도로 정해요.

t=0 을 넣으면 \mathbf{v}(0)=\mathbf{C}=3\,\mathbf{i}-\mathbf{j} 이므로

속도를 다시 적분하면 위치가 나오고, 상수는 초기위치로 정해요.

최종답: \mathbf{v}(t)=(2t+3)\,\mathbf{i}-\mathbf{j}+t^2\,\mathbf{k},   \mathbf{r}(t)=(t^2+3t)\,\mathbf{i}+(1-t)\,\mathbf{j}+\left(\tfrac{1}{3}t^3+1\right)\mathbf{k}

검산: \mathbf{r}'(t)=(2t+3)\,\mathbf{i}-\mathbf{j}+t^2\,\mathbf{k}=\mathbf{v}(t), \mathbf{v}'(t)=2\,\mathbf{i}+2t\,\mathbf{k}=\mathbf{a}(t), 그리고 \mathbf{r}(0)=\langle 0,1,1\rangle 로 초기조건까지 전부 맞아요.

• (a) 두 번 적분해요. 먼저 속도부터 구해요.

\mathbf{v}(0)=-\mathbf{j}+\mathbf{C}=\mathbf{i} 이므로 \mathbf{C}=\mathbf{i}+\mathbf{j} 예요. (t=0 에서 -\cos t 항이 -1 을 만드는 것을 놓치기 쉬워요.)

한 번 더 적분해요.

\mathbf{r}(0)=-\tfrac{1}{4}\,\mathbf{k}+\mathbf{D}=\mathbf{j} 이므로 \mathbf{D}=\mathbf{j}+\tfrac{1}{4}\,\mathbf{k} 예요.

• (b) 그래프를 그리면 x,y 는 계속 증가하고(x 는 세제곱 꼴로 빠르게, y 는 거의 직선 + 잔물결), z 는 0 과 \tfrac{1}{2} 사이를 주기적으로 오르내려요. 전체적으로 위아래로 살짝 출렁이며 뻗어 나가는 곡선이에요.

최종답: \mathbf{r}(t)=\left(\tfrac{1}{3}t^3+t\right)\mathbf{i}+(t-\sin t+1)\,\mathbf{j}+\tfrac{1}{4}(1-\cos 2t)\,\mathbf{k}

검산: \mathbf{r}(0)=\langle 0,\,1,\,0\rangle=\mathbf{j}, \mathbf{r}'(0)=\langle 1,\,1-1,\,0\rangle=\mathbf{i} 로 초기조건이 모두 성립하고, \mathbf{r}''(t)=\langle 2t,\ \sin t,\ \cos 2t\rangle=\mathbf{a}(t) 예요.

속력 자체보다 속력의 제곱을 최소화하는 게 계산이 쉬워요(제곱근은 증가함수라 최소 위치가 같아요).

t 에 대해 미분해서 0으로 놓아요.

이계도함수가 16>0 이라 아래로 볼록한 이차함수의 꼭짓점, 즉 최솟값이에요.

최종답: t=4 일 때 속력이 최소예요. (이때 최소 속력은 \sqrt{8\cdot16-256+281}=\sqrt{153}=3\sqrt{17})

검산: 이웃 값과 비교하면 |\mathbf{v}(3)|^2=161, |\mathbf{v}(4)|^2=153, |\mathbf{v}(5)|^2=161 로 t=4 에서 정말 가장 작아요.

뉴턴 제2법칙 \mathbf{F}=m\mathbf{a} 로 가속도를 먼저 구해요. (이 문제에서는 주어진 20\,\mathrm{N} 힘만 작용한다고 보아요.)

적분해서 속도를 구해요. \mathbf{v}(0)=\mathbf{i}-\mathbf{j} 가 적분상수예요.

한 번 더 적분하고 \mathbf{r}(0)=\mathbf{0} (원점 출발)을 쓰면

속력은

최종답: \mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}-t\,\mathbf{j}+\tfrac{5}{2}t^2\,\mathbf{k},   |\mathbf{v}(t)|=\sqrt{25t^2+2}

검산: \mathbf{r}''(t)=5\,\mathbf{k} 이고 m\mathbf{a}=4\cdot 5\,\mathbf{k}=20\,\mathbf{k} 로 주어진 힘과 정확히 일치해요.

포물체 공식(발사점과 착지점이 같은 높이일 때)을 써요. 이유부터 정리하면, \mathbf{r}(t)=(v_0\cos\theta)t\,\mathbf{i}+\left[(v_0\sin\theta)t-\tfrac{1}{2}gt^2\right]\mathbf{j} 에서 유도돼요.

• (a) 사거리: y=0 이 되는 시각 t=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g} 를 x 에 대입한 결과가 R=\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g} 예요.

• (b) 최고 높이: 수직속도 v_0\sin\theta-gt=0 인 시각의 높이로, H=\dfrac{(v_0\sin\theta)^2}{2g} 예요.

• (c) 충돌 속력: 착지 시각 t=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g} 에서 수평속도는 그대로 v_0\cos\theta, 수직속도는 -v_0\sin\theta (대칭)이라

같은 높이로 돌아오니 에너지 보존으로도 속력이 처음과 같아야 해요.

최종답: (a) 약 3535\,\mathrm{m}   (b) 약 1531\,\mathrm{m}   (c) 200\,\mathrm{m/s}

검산: 착지 시각 t=\frac{2\cdot 200\sin 60^\circ}{9.8}\approx 35.35\,\mathrm{s} 에서 x=200\cos 60^\circ\cdot 35.35\approx 3535\,\mathrm{m} 로 (a)와 일치해요.

같은 높이 착지의 사거리 공식을 써요.

\theta=45^\circ 이면 \sin 90^\circ=1 이라 공식이 가장 단순해져요.

최종답: v_0=21\sqrt{2}\approx 29.7\,\mathrm{m/s}

검산: v_0^2/g=882/9.8=90\,\mathrm{m} 로 주어진 사거리와 정확히 맞아요.

최고 높이 공식을 거꾸로 풀어요.

이 공식은 최고점에서 수직속도가 0이 되는 순간까지 올라간 높이라는 뜻이에요. H=500, \theta=36^\circ 를 넣으면

최종답: v_0=\dfrac{70\sqrt2}{\sin 36^\circ}\approx 168\,\mathrm{m/s}

검산: v_0\approx 168.4 로 다시 계산하면 H=\dfrac{(168.4\cdot 0.5878)^2}{19.6}\approx\dfrac{9800}{19.6}\cdot\dfrac{19.6}{19.6}\approx 500\,\mathrm{m} 로 조건을 만족해요.

투석기를 원점에 두면 궤적은

조건이 두 개예요. ① 가까운 성벽(x=100, 높이 15)을 넘어야 하고, ② 도시 안(먼 성벽 x=600 이전)에 떨어져야 해요.

조건 ① — 성벽 넘기. x=100 인 시각은 t=\dfrac{100}{80\cos\theta} 이고, 그때 높이가 15 이상이어야 해요. u=\tan\theta 로 놓고 \sec^2\theta=1+u^2 를 쓰면

정리하면 49u^2-640u+145\le 0 이고, 근의 공식으로

\sqrt{381180}\approx 617.40 이라 0.2306\le\tan\theta\le 12.83, 즉

조건 ② — 도시 안에 착지. 사거리는 R=\dfrac{80^2\sin 2\theta}{9.8}\approx 653.1\sin 2\theta 예요. 최대 653 m라서 각도에 따라 도시(600 m)를 넘겨버릴 수 있어요. R\le 600 이려면

(중간 각도 33.4^\circ<\theta<56.6^\circ 로 쏘면 돌이 도시를 통째로 넘어가 버려요. 예를 들어 \theta=45^\circ 면 x=600 에서 높이가 약 48.8\,\mathrm{m} 라 먼 성벽까지 넘어요.)

두 조건의 교집합이 답이에요.

최종답: 약 13.0^\circ\le\theta\le 33.4^\circ 또는 56.6^\circ\le\theta\le 85.5^\circ

검산: \theta=30^\circ 를 넣으면 성벽 위 높이 100\tan 30^\circ-7.65625\sec^2 30^\circ\approx 47.5\ge 15, 착지점 653.1\sin 60^\circ\approx 566<600 으로 두 조건을 모두 만족해요. 경계 밖인 \theta=45^\circ 는 위에서 본 대로 도시를 넘어가요.

좌표를 정하면 x=동쪽, y=북쪽, z=위쪽이에요. 가속도를 두 번 적분해요.

착지 시각은 z=0 이 되는 양의 시각이에요.

착지 지점은

즉 동쪽으로 250 m, 남쪽으로 50 m 떨어진 지점이에요. 착지 순간 속도와 속력은

최종답: 착지점 (250,\ -50,\ 0) — 동쪽 250 m, 남쪽 50 m 지점,   착지 속력 10\sqrt{93}\approx 96.4\,\mathrm{m/s}

검산: \mathbf{r}''(t)=\langle 0,-4,-32\rangle=\mathbf{a}, \mathbf{r}'(0)=\langle 50,0,80\rangle, \mathbf{r}(0)=\mathbf{0} 으로 모든 조건이 맞고, z(5)=400-400=0 이에요.

• (a) 배의 동쪽 속도는 항상 5라서 x(t)=5t 이고, 강을 다 건너는 데 t=8 초 걸려요. 그동안 물살이 배를 북쪽으로 밀어요.

적분해서 북쪽 이동량을 구해요.

경로: t=x/5 를 대입하면 y=\dfrac{3x^2}{100}-\dfrac{x^3}{2000} 이에요. 가운데(x=20 근처)에서 가장 가파르게 북쪽으로 휘고, 양쪽 둑 근처에서는 거의 동쪽으로 곧게 가는 S자 없는 완만한 곡선이에요.

• (b) 이제 뱃머리를 상류(남쪽) 쪽으로 각도 \theta 만큼 틀어요. 배 자체 속도는 \langle 5\cos\theta,\ -5\sin\theta\rangle 이고 물살 f(x) 가 +y 로 더해져요. 건너는 시간은 T=\dfrac{40}{5\cos\theta}=\dfrac{8}{\cos\theta} 예요. (a)와 같은 적분을 하면 물살에 의한 북쪽 밀림은

(수평속도가 5\cos\theta 로 줄어든 만큼 (a)의 16 m가 1/\cos\theta 배로 커져요.) 남쪽 보정량은 5\sin\theta\cdot T=\dfrac{40\sin\theta}{\cos\theta} 예요. 정확히 B 에 닿으려면 둘이 같아야 해요.

즉 정동 방향에서 상류(남쪽) 쪽으로 약 23.6^\circ 틀어서 가면 돼요. 실제 경로는 직선이 아니에요. 물살이 약한 둑 근처에서는 남쪽으로 처졌다가, 물살이 센 가운데에서 북쪽으로 밀려 올라와 결국 B 에 도착하는 완만한 S자 곡선인데, 실제 강에서 배가 그리는 궤적으로 충분히 현실적이에요.

최종답: (a) 하류(북쪽)로 16\,\mathrm{m} 내려간 지점   (b) 상류 쪽으로 \theta=\sin^{-1}(0.4)\approx 23.6^\circ

검산: (b)에서 \cos\theta=\sqrt{1-0.16}\approx 0.9165 로 두 항을 계산하면 둘 다 \approx 17.46\,\mathrm{m} 로 정확히 상쇄돼요.

외적의 성질에서 두 가지 보존량이 나와요.

① 원점까지 거리가 일정해요. 외적은 두 인자 모두와 수직이라 \mathbf{r}'\perp\mathbf{r} 이에요. 그래서

즉 |\mathbf{r}| 이 상수 → 입자는 원점 중심의 구면 위에 있어요.

② \mathbf{c} 방향 성분도 일정해요. 같은 이유로 \mathbf{r}'\perp\mathbf{c} 이므로

즉 \mathbf{r}\cdot\mathbf{c} 가 상수 → 입자는 \mathbf{c} 에 수직인 고정 평면 위에 있어요.

구면과 평면의 교선은 원이에요. 따라서 입자는 원점을 지나 \mathbf{c} 방향으로 뻗은 축을 중심으로 하는 원 위를 돌아요. 게다가 \mathbf{r},\mathbf{c} 사이 각을 \phi 라 하면 |\mathbf{r}'|=|\mathbf{c}||\mathbf{r}|\sin\phi 가 상수라서 일정한 속력의 원운동이에요.

최종답: 경로는 \mathbf{c} 를 축으로 하는(축은 원점을 지나요) 평면 원이고, 입자는 그 원을 일정한 속력으로 돌아요.

검산: \mathbf{c}=c\,\mathbf{k} 로 두면 \mathbf{r}(t)=\langle R\cos ct,\ R\sin ct,\ z_0\rangle 가 실제로 \mathbf{r}'=\mathbf{c}\times\mathbf{r} 을 만족해요 — z 축 둘레의 등속 원운동이에요.

공식 두 개를 써요.

먼저 도함수들을 구해요.

접선 성분: 내적으로 계산해요.

법선 성분: 평면 벡터의 외적은 z 성분 하나만 계산하면 돼요.

최종답: a_T=\dfrac{4+18t^2}{\sqrt{4+9t^2}},   a_N=\dfrac{6t}{\sqrt{4+9t^2}}

검산: a_T^2+a_N^2=\dfrac{(4+18t^2)^2+36t^2}{4+9t^2}=\dfrac{4(4+9t^2)(1+9t^2)}{4+9t^2}=4+36t^2=|\mathbf{r}''|^2 이라 분해가 정확해요.

나선(helix)이에요. 도함수부터 구해요.

속력이 상수라는 게 핵심이에요. 접선 성분은 속력의 변화율이라

법선 성분은 a_T=0 이면 가속도 크기 전체가 돼요(a_N=\sqrt{|\mathbf{a}|^2-a_T^2}=|\mathbf{a}|).

최종답: a_T=0,   a_N=1

검산: 외적 공식으로도 확인해요. \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=\langle \sin t,\ -\cos t,\ 1\rangle, 크기 \sqrt2, 따라서 a_N=\sqrt2/\sqrt2=1 로 일치해요.

먼저 점에 해당하는 t 를 찾아요. \ln t=0 에서 t=1 이고, 실제로 t=1 이면 (0,\ 1+3,\ 4\cdot 1)=(0,4,4) 로 맞아요.

도함수를 구하고 t=1 을 넣어요.

접선 성분 (내적 공식):

법선 성분 (외적 공식): 외적부터 계산해요.

최종답: a_T=\dfrac{7}{\sqrt{30}},   a_N=\sqrt{\dfrac{131}{30}}

검산: a_T^2+a_N^2=\dfrac{49}{30}+\dfrac{131}{30}=6 이고 |\mathbf{r}''(1)|^2=1+4+1=6 이라 정확히 맞아요.

(그림 문제 — 교재 PDF 참조)

접근법: 그림에서 그 점의 접선 방향 \mathbf{T}(곡선의 진행 방향)를 그리고, \mathbf{a} 와 \mathbf{T} 사이의 각 \theta 를 각도기로 재요. 그러면 성분 분해로

가 되고, 두 추정값은 a_T^2+a_N^2=100 을 만족하는지로 검산할 수 있어요. (\mathbf{a} 를 접선·법선 축에 수직으로 투영한 발의 길이를 자로 재도 같은 결과예요.)

엔진을 끄면 힘이 없으니 우주선은 그 순간의 접선 방향으로 직선 운동을 해요(뉴턴 제1법칙). 그러니까 시각 t 의 접선(직선)

이 점 (6,4,9) 를 지나는 t 를 찾으면 돼요. 먼저

성분별 방정식을 써요.

t=1 을 시험해요. y: 2+\ln 1+\frac{2}{1}=4 ✓. z: 7-\frac{4}{2}+2\cdot\frac{8}{4}=7-2+4=9 ✓. 두 방정식이 동시에 성립하니 t=1 이 답이에요. (y 방정식 \ln t+3/t=3 은 t\approx 17 근처에 또 다른 근이 있지만, 거기서는 z 방정식 좌변이 7 보다 조금 작아 9 가 될 수 없어서 탈락이에요.)

최종답: t=1 일 때 엔진을 꺼야 해요.

검산: \mathbf{r}(1)=(4,\ 2,\ 5), \mathbf{r}'(1)=\langle 1,\ 1,\ 2\rangle 이고, (4,2,5)+2\,\langle 1,1,2\rangle=(6,\ 4,\ 9) 로 s=2>0 (진행 방향 앞쪽)에서 정거장을 정확히 지나가요.