(a) 호의 길이 공식은 속력 \vert\mathbf{r}'(t)\vert 를 시간에 대해 적분하는 것이에요.

먼저 도함수를 구해요. 각 성분이 t 의 일차식이라 도함수는 상수벡터예요.

속력이 상수라서 적분은 그냥 곱셈이 돼요.

(b) 선분이니까 양 끝점 사이 거리를 재면 돼요. t=1 일 때 (1,2,5), t=3 일 때 (-3,6,13) 이에요.

최종답: (a) L=4\sqrt{6}   (b) d=4\sqrt{6} — 두 값이 정확히 일치해요.

검산: (b)가 곧 (a)의 검산이에요. 직선 위에서는 "속력 × 시간 = 이동 거리 = 끝점 사이 거리"가 성립해야 하는데, 실제로 2\sqrt{6}\times 2=4\sqrt{6} 으로 맞아떨어져요.

원기둥 나선(helix)이에요. 도함수부터 구해요.

속력을 계산하면 \sin^2 t+\cos^2 t=1 덕분에 상수가 돼요.

속력이 상수이므로

최종답: L=10\sqrt{10}\approx 31.62

검산: 나선은 매개변수 구간 길이(10)에 일정한 속력(\sqrt{10})을 곱한 만큼 움직여야 해요. x 방향으로만 봐도 10만큼 진행하는데 전체 길이가 그보다 \sqrt{10} 배 길다는 것은, 진행하면서 반지름 3인 원운동을 함께 하기 때문이라 자연스러워요.

도함수는

속력의 제곱을 정리하면 완전제곱이 나오는 게 이 문제의 핵심 트릭이에요.

((e^t+e^{-t})^2=e^{2t}+2\cdot e^t e^{-t}+e^{-2t}=e^{2t}+2+e^{-2t} 이므로 딱 맞아요.) e^t+e^{-t}>0 이니까

이제 적분은 바로 돼요.

최종답: L=e-\dfrac{1}{e}\approx 2.3504

검산: \vert\mathbf{r}'\vert=e^t+e^{-t}\ge 2 (산술–기하 평균)이므로 길이는 최소 2\times 1=2 이상이어야 하는데, 2.35>2 라 일관돼요. 수치 적분으로도 2.350402\ldots 가 나와 정확히 일치해요.

x 성분이 상수 1이라 이 곡선은 평면 x=1 안에 있어요. 도함수는

(t^2 을 근호 밖으로 꺼낼 때 t\ge0 이므로 \vert t\vert=t 예요.) 치환 u=4+9t^{2}, du=18t\,dt 를 쓰면 t\,dt=\frac{1}{18}du 이고, t:0\to1 일 때 u:4\to13 이에요.

4^{3/2}=8 이므로

최종답: L=\dfrac{13\sqrt{13}-8}{27}\approx 1.4397

검산: 수치 적분으로 \int_0^1 t\sqrt{4+9t^2}\,dt\approx 1.43971 이 나와 닫힌형 값과 일치해요. 또 끝점 (1,0,0)–(1,1,1) 의 직선거리 \sqrt{2}\approx1.414 보다 약간 긴 것도 자연스러워요(곡선은 직선보다 길어야 해요).

도함수와 속력을 구해요.

따라서 길이는

이 적분은 초등함수로 깔끔하게 안 풀려서 수치 적분(심프슨 공식 등)으로 근사해요.

최종답: L\approx 18.6833

검산: 대략적인 크기 확인 — 피적분함수는 t=2 에서 \sqrt{16+144+1024}=\sqrt{1184}\approx34.4 까지 커지고 t=0 에서 0이라, 평균이 9~10쯤이면 길이가 18~20 근처인 게 자연스러워요. 분할 수를 늘려도 18.6833 에서 안정돼요.

먼저 두 점에 해당하는 t 값을 찾아요. y=2t 는 단조증가라 t 를 유일하게 결정해요.

• (1,0,0): 2t=0\Rightarrow t=0, 확인: (\cos 0,\ 0,\ \sin 0)=(1,0,0) ✓
• (1,4,0): 2t=4\Rightarrow t=2, 확인: (\cos 2\pi,\ 4,\ \sin 4\pi)=(1,4,0) ✓

도함수와 속력은

따라서

최종답: L\approx 10.3311

검산: 속력의 범위를 보면 최소 \sqrt{4}=2, 최대 \sqrt{\pi^2+4+4\pi^2}\approx7.3 이라 길이는 4 와 14.6 사이여야 하는데 10.33 은 그 안에 있어요. 분할 수를 늘려도 값이 10.3311 로 안정돼요.

1단계: 교선 매개화. x=t 로 두면 x^2=2y 에서 y=\dfrac{t^{2}}{2}, 그리고 3z=xy 에서 z=\dfrac{xy}{3}=\dfrac{t\cdot t^{2}/2}{3}=\dfrac{t^{3}}{6} 이에요.

원점은 t=0, 점 (6,18,36) 은 t=6 에 해당해요(확인: 6^2/2=18, 6^3/6=36 ✓).

2단계: 속력 — 완전제곱 트릭.

(\left(1+\frac{t^2}{2}\right)^2=1+t^2+\frac{t^4}{4} 으로 전개가 정확히 맞아요.) 따라서 \vert\mathbf{r}'(t)\vert=1+\dfrac{t^{2}}{2} 이에요.

3단계: 적분.

최종답: L=42

검산: 수치 적분으로도 42.0000 이 나와요. 또 끝점까지 직선거리는 \sqrt{36+324+1296}=\sqrt{1656}\approx40.7 인데, 곡선 길이 42가 이보다 약간 긴 것이 자연스러워요.

(a) 점 P(4,1,3) 은 5-t=4\Rightarrow t=1 에 해당해요(확인: 4\cdot1-3=1, 3\cdot1=3 ✓).

속력은 상수예요.

호의 길이 함수는 P(즉 t=1)부터 적분해요.

이를 t 에 대해 풀면 t=1+\dfrac{s}{\sqrt{26}} 이고, 원래 식에 대입하면 호길이 매개화가 나와요.

(b) "4만큼 간 점"은 s=4 를 대입하면 돼요. 호길이 매개화의 장점이 바로 이거예요.

최종답: (a) s(t)=\sqrt{26}\,(t-1), \ \mathbf{r}(t(s))=\left\langle 4-\dfrac{s}{\sqrt{26}},\ 1+\dfrac{4s}{\sqrt{26}},\ 3+\dfrac{3s}{\sqrt{26}}\right\rangle   (b) \left(4-\dfrac{4}{\sqrt{26}},\ 1+\dfrac{16}{\sqrt{26}},\ 3+\dfrac{12}{\sqrt{26}}\right)

검산: (b)의 점에서 P 를 뺀 변위는 \dfrac{1}{\sqrt{26}}\langle -4,16,12\rangle 이고, 그 크기는 \dfrac{\sqrt{16+256+144}}{\sqrt{26}}=\dfrac{\sqrt{416}}{\sqrt{26}}=\sqrt{16}=4 — 정확히 4만큼 이동했어요.

시작점 (0,0,3) 은 t=0 에 해당해요(3\sin0=0, 0, 3\cos0=3 ✓).

속력을 구하면 상수예요.

따라서 호의 길이 함수는

이동 거리 5는 5t=5, 즉 t=1 에 해당해요. 그 위치는

최종답: (3\sin 1,\ 4,\ 3\cos 1)\approx(2.52,\ 4.00,\ 1.62)

검산: 속력이 항상 5이므로 시간 1 동안 정확히 5만큼 이동해요. 또 x^2+z^2=9\sin^2 1+9\cos^2 1=9 로, 점이 반지름 3인 원기둥 위(곡선 위)에 있는 것도 확인돼요.

(a) 먼저 도함수를 구해요. 곱의 미분에서 항이 예쁘게 소거돼요.

t>0 이므로

\mathbf{T} 를 미분하면(상수 2/\sqrt5 는 사라져요)

(b) 공식 9에 대입해요.

최종답: \mathbf{T}(t)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\langle 2,\ \sin t,\ \cos t\rangle,   \mathbf{N}(t)=\langle 0,\ \cos t,\ -\sin t\rangle,   \kappa(t)=\dfrac{1}{5t}

검산: 다른 공식 \kappa=\dfrac{\vert\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\vert}{\vert\mathbf{r}'\vert^{3}} 로 t=2 에서 수치 계산하면 0.1=\dfrac{1}{5\cdot2} 로 일치해요. 또 \mathbf{T}\cdot\mathbf{N}=\frac{1}{\sqrt5}(0+\sin t\cos t-\cos t\sin t)=0 으로 서로 수직이에요.

z=4 로 고정이라, 사실 평면 z=4 위의 포물선 y=x^{2} 이에요.

(a)

\mathbf{T}' 는 몫의 미분 대신 "(1+4t^2)^{-1/2} 곱하기 벡터" 꼴로 미분하는 게 편해요.

(둘째 항에 (1+4t^2) 를 곱해 통분하면 y 성분이 2(1+4t^2)-8t^2=2 로 정리돼요.)

(b)

최종답: \mathbf{T}(t)=\dfrac{\langle 1,\ 2t,\ 0\rangle}{\sqrt{1+4t^{2}}},   \mathbf{N}(t)=\dfrac{\langle -2t,\ 1,\ 0\rangle}{\sqrt{1+4t^{2}}},   \kappa(t)=\dfrac{2}{(1+4t^{2})^{3/2}}

검산: 평면곡선 공식 11로도 확인돼요 — y=x^{2} 이면 \kappa=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{2}{(1+4x^{2})^{3/2}} 로 정확히 같아요. 꼭짓점(t=0)에서 곡률 최대 \kappa=2 인 것도 포물선 직관과 맞아요.

(a)

문제 21과 같은 요령으로 미분해요.

(통분하면 y 성분 (1+5t^2)-5t^2=1, z 성분 2(1+5t^2)-10t^2=2 로 정리돼요.)

(25t^{2}+5=5(5t^{2}+1) 이라 근호가 예쁘게 빠져요.)

(b)

최종답: \mathbf{T}(t)=\dfrac{\langle 1,\ t,\ 2t\rangle}{\sqrt{1+5t^{2}}},   \mathbf{N}(t)=\dfrac{\langle -5t,\ 1,\ 2\rangle}{\sqrt{5}\,\sqrt{1+5t^{2}}},   \kappa(t)=\dfrac{\sqrt{5}}{(1+5t^{2})^{3/2}}

검산: 정리 10으로 교차 확인 — \mathbf{r}''=\langle 0,1,2\rangle, \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=\langle 0,\ -2,\ 1\rangle, \vert\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\vert=\sqrt{5} 이므로 \kappa=\dfrac{\sqrt{5}}{(1+5t^{2})^{3/2}} 로 두 공식의 결과가 정확히 일치해요.

성분으로 쓰면 \mathbf{r}(t)=\langle 0,\ t^{3},\ t^{2}\rangle 이에요.

외적을 계산해요. 두 벡터 모두 x 성분이 0이라 외적은 x 축 방향만 남아요.

분모도 계산해요.

따라서 (t\ne0 에서)

최종답: \kappa(t)=\dfrac{6}{\vert t\vert\,(9t^{2}+4)^{3/2}}

검산: 수치로 t=1.5 에서 두 공식(외적/미분정의) 모두 \kappa\approx0.03350 으로 일치해요. t\to0 이면 \kappa\to\infty 인데, 이 곡선(z^3=y^2 꼴의 첨점 곡선)은 원점에서 뾰족하니 곡률이 발산하는 게 맞아요.

외적을 성분별로 계산해요.

크기의 제곱을 정리하면 완전제곱이 나와요.

분모도 같은 방식으로 정리돼요.

따라서

최종답: \kappa(t)=\dfrac{\sqrt{6}}{2\,(3t^{2}+1)^{2}}

검산: 수치로 t=0.8 에서 미분 정의로 구한 값과 공식값이 모두 0.14364 로 일치해요. t=0 에서 최대 \kappa=\dfrac{\sqrt6}{2}\approx1.22, \vert t\vert 가 커지면 0으로 감소하는 매끈한 함수예요.

점 (1,1,1) 은 t=1 에 해당해요. 정리 10을 쓸게요.

t=1 을 대입하면 \mathbf{r}'=\langle 1,2,3\rangle, \mathbf{r}''=\langle 0,2,6\rangle 이에요. 외적은

따라서

최종답: \kappa=\dfrac{1}{7}\sqrt{\dfrac{19}{14}}=\dfrac{\sqrt{266}}{98}\approx 0.1664

검산: 외적과 \mathbf{r}' 의 내적 \langle 6,-6,2\rangle\cdot\langle1,2,3\rangle=6-12+6=0 으로 외적 계산이 올바르고(외적은 \mathbf{r}' 에 수직), 수치 미분으로 구한 곡률도 0.166424 로 일치해요.

도함수 두 개만 구하면 돼요.

공식 11에 대입해요. 12x^{2}\ge 0 이라 절댓값은 그대로 벗겨져요.

최종답: \kappa(x)=\dfrac{12x^{2}}{(1+16x^{6})^{3/2}}

검산: x=0 에서 \kappa=0 — y=x^4 은 원점 근처에서 매우 평평하니(y''(0)=0) 자연스러워요. 또 x\to\infty 일 때 \kappa\sim\dfrac{12x^2}{64x^9}\to0 으로, 멀리서 거의 직선처럼 뻗는 것과도 맞아요.

곱의 미분으로 도함수를 구해요.

공식 11에 대입해요. e^{x}>0 이라 절댓값은 \vert x+2\vert 에만 남아요.

최종답: \kappa(x)=\dfrac{\vert x+2\vert\,e^{x}}{\left[1+(x+1)^{2}e^{2x}\right]^{3/2}}

검산: x=0 을 넣으면 \kappa=\dfrac{2}{(1+1)^{3/2}}=\dfrac{2}{2\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx0.707 이고, y=xe^x 의 y'(0)=1, y''(0)=2 를 직접 공식에 넣어도 같은 값이에요. x=-2 에서 \kappa=0 인 것은 그 점이 변곡점(y''=0)이기 때문이라 일관돼요.

1단계: 곡률 함수. y'=e^{x}, y''=e^{x} 이므로

2단계: 최대점 찾기. 미분해서 0이 되는 곳을 찾아요.

(분자에서 (1+e^{2x})^{1/2} 를 공통으로 묶으면 1+e^{2x}-3e^{2x}=1-2e^{2x} 만 남아요.)

\kappa'(x)=0\iff e^{2x}=\dfrac{1}{2}\iff x=-\dfrac{1}{2}\ln 2. 이 값보다 왼쪽에서는 1-2e^{2x}>0 이라 증가, 오른쪽에서는 감소하므로 최대가 맞아요.

그 점의 y 좌표는 y=e^{-(\ln 2)/2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} 이에요.

3단계: x\to\infty 극한. \kappa(x)\approx\dfrac{e^{x}}{e^{3x}}=e^{-2x}\to 0 — 곡선이 점점 가팔라지면서 거의 직선처럼 돼요.

최종답: 최대 곡률점은 \left(-\dfrac{\ln 2}{2},\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) 이고, x\to\infty 일 때 \kappa\to 0 이에요.

검산: x_0=-\frac{\ln2}{2} 에서 \kappa=\dfrac{1/\sqrt2}{(3/2)^{3/2}}=\dfrac{2\sqrt3}{9}\approx0.3849 인데, x_0\pm0.01 에서 계산하면 0.38487 로 살짝 작아 실제로 봉우리예요.

(그림 문제 — 교재 PDF 참조)

접근법: 곡률은 "얼마나 급하게 꺾이는가"이고, 접촉원의 반지름 \rho 와 \kappa=\dfrac{1}{\rho} 의 관계가 있어요. (a) 그림에서 더 급하게 휘는 점(접촉원이 작게 그려지는 점)의 곡률이 더 커요. (b) 각 점에서 곡선에 안쪽으로 가장 잘 맞는 원을 그린 뒤, 그림의 눈금으로 반지름 \rho 를 읽어 \kappa\approx 1/\rho 로 추정하면 돼요.

먼저 곡률 함수를 손으로 구해놓고 그래프와 비교하면 돼요.

(둘째 등호는 \left(1+4x^{-6}\right)^{3/2}=\dfrac{(x^6+4)^{3/2}}{\vert x\vert^{9}} 로 정리한 거예요.)

예상과의 비교(이게 문제의 포인트예요):

• x\to 0: 곡선은 거의 수직선처럼 치솟아요 → 직선에 가까우니 \kappa\to 0. 실제로 \vert x\vert^{5}\to0 이라 맞아요.
• \vert x\vert\to\infty: 곡선은 x 축에 붙어 거의 수평 직선 → \kappa\to 0. 실제로 \kappa\sim 6\vert x\vert^{-4}\to0 이라 맞아요.
• 그 사이, 곡선이 "꺾어지는 무릎" 부분에서 곡률이 최대여야 해요. \ln\kappa 를 미분하면 \dfrac{5}{x}-\dfrac{9x^{5}}{x^{6}+4}=0\Rightarrow x^{6}=5, 즉 \vert x\vert=5^{1/6}\approx 1.31 에서 최대예요(짝함수라 좌우 대칭으로 봉우리 2개).

최종답: \kappa(x)=\dfrac{6\,\vert x\vert^{5}}{(x^{6}+4)^{3/2}} — 그래프는 x=0 과 \pm\infty 에서 0으로 가라앉고 \vert x\vert=5^{1/6}\approx1.31 에서 봉우리를 갖는 쌍봉 모양으로, 곡선의 "무릎"에서 가장 많이 휜다는 예상과 정확히 일치해요.

검산: x=5^{1/6} 에서 \kappa=\dfrac{6\cdot5^{5/6}}{9^{3/2}}=\dfrac{2}{9}\cdot5^{5/6}\approx0.85 로, 근처 값들보다 실제로 커요.

정리 10에 필요한 재료를 만들어요.

외적을 계산하면

(z 성분에서 (t+1)e^{t}\cdot e^{-t}+e^{-t}\cdot(t+2)e^{t} 의 지수들이 소거돼요.) 따라서

그래프 해석(곡률이 모양을 반영하는 방식):

• \kappa(0)=\dfrac{\sqrt{2+8+9}}{(1+1+2)^{3/2}}=\dfrac{\sqrt{19}}{8}\approx 0.545 이고, 수치적으로 최대는 t\approx 0 바로 옆에서 약 0.545 예요. 곡선을 그려 보면 t\approx 0 근처에서 진행 방향이 가장 급하게 꺾이는데(음의 t 쪽에선 e^{-t} 성분이, 양의 t 쪽에선 te^{t} 성분이 지배해 방향이 전환돼요), 곡률 봉우리가 정확히 거기에 있어요.
• t\to\pm\infty 에서는 한 성분이 압도적으로 커져 곡선이 거의 한 방향 직선처럼 뻗고, 실제로 \kappa\to 0 으로 가라앉아요(예: t=-5 에서 \kappa\approx\sqrt{2}\,e^{-10} 수준).

최종답: \kappa(t)=\dfrac{\sqrt{2e^{-2t}+2(t+2)^{2}e^{2t}+(2t+3)^{2}}}{\left[(t+1)^{2}e^{2t}+e^{-2t}+2\right]^{3/2}} — t\approx 0 근처에서 최대(약 0.545)이고 양쪽으로 0에 수렴하는 단봉 그래프로, 곡선이 꺾이는 곳에서 크고 곧게 뻗는 곳에서 작아요.

검산: 위 닫힌형을 수치 미분(외적 정의)과 t=1,\ -1 에서 비교하면 각각 0.070516, 0.139248 로 완전히 일치해요.

(그림 문제 — 교재 PDF 참조)

접근법: 곡률 함수는 정의상 \kappa(x)\ge 0 이라, 음수 값을 갖는 그래프가 있다면 그건 곡선 f 쪽이에요. 그리고 f 가 직선처럼 펴지거나 변곡점을 지나는 x 에서 \kappa=0 으로 떨어지고, f 가 가장 급하게 휘는 x 에서 \kappa 가 봉우리를 가져야 해요. 두 그래프를 겹쳐 보고 "한쪽의 굽음이 심한 위치 = 다른 쪽의 봉우리 위치"가 성립하는 배정을 고르면 돼요.

그림에서는 곡선이 주기적으로 "고리처럼 급히 꺾이는" 지점이 보이는데, 거기서 곡률이 가장 클 거라 예상돼요. 실제로 계산해 확인할게요.

외적은

크기의 제곱을 정리하면 (\cos^2+\sin^2=1 사용)

따라서

\kappa 는 \cos t 만의 함수예요. \cos t=1 일 때 분자는 \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{16}}=\frac{3\sqrt5}{4}, 분모는 \left(\frac{5}{4}\right)^{3/2}=\frac{5\sqrt5}{8} 이라

\cos t=-1 일 때는 같은 계산으로 \kappa=\dfrac{6}{29}\approx0.207 (최소)이 나와요. 사이 값에서 \kappa 는 단조롭게 이어지므로(수치로 확인) 최대는 \cos t=1, 즉

에서 일어나요 — 그림에서 급하게 꺾이는 고리 지점들과 정확히 일치해요.

최종답: \kappa(t)=\dfrac{\sqrt{\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\cos t-\frac{9}{4}\right)^{2}}}{\left(\frac{17}{4}-3\cos t\right)^{3/2}} 이고, 곡률이 가장 큰 곳은 t=2n\pi (n 은 정수), 최댓값은 \kappa=\dfrac{6}{5} 이에요.

검산: 수치 스캔으로 \kappa(0)=\kappa(2\pi)=\kappa(4\pi)=1.2000, \kappa(\pi)=\kappa(3\pi)=0.2069=\frac{6}{29} 가 확인되고, 그 사이에 다른 극대는 없어요.

필요한 도함수를 모두 구해요.

분자를 계산해요.

분모는

(t^2 을 꺼낼 때 세제곱이라 \vert t\vert^3 이 돼요.) 따라서 t\ne0 에서

최종답: \kappa(t)=\dfrac{6}{\vert t\vert\,(4+9t^{2})^{3/2}}

검산: 이 곡선은 y^{2}=x^{3} (첨점 세미큐빅)이라 원점(t=0)에서 뾰족해요 — \kappa\to\infty 가 되는 게 기하학적으로 맞아요. 3차원 공식(정리 10, z=0 으로 두고)으로 t=1.2 에서 수치 계산해도 0.071587 로 일치해요.

로그 나선이에요. 곱의 미분으로 1계 도함수를 구해요.

한 번 더 미분하면 항이 예쁘게 소거돼요.

분자를 계산해요.

분모는

(전개하면 교차항 \mp2\sin t\cos t 가 상쇄되고 1+1=2 만 남아요.) 따라서

최종답: \kappa(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}\,e^{t}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,e^{-t}

검산: 나선의 원점 거리(반지름)는 \sqrt{x^2+y^2}=e^{t} 로 지수적으로 커지는데, 곡률이 e^{-t} 로 감소하는 것은 "나선이 커질수록 완만해진다"는 직관과 정확히 맞아요. 수치로 t=0.5 에서 0.42888 로 공식값과 일치해요.

점 \left(1,\frac{2}{3},1\right) 은 t=1 에 해당해요.

1단계: \mathbf{T}.

(완전제곱이라 근호가 벗겨져요.) t=1: \mathbf{r}'=\langle 2,2,1\rangle, \vert\mathbf{r}'\vert=3.

2단계: \mathbf{N}. 일반식 \mathbf{T}(t)=\dfrac{\langle 2t,2t^{2},1\rangle}{2t^{2}+1} 을 미분해요.

t=1: \mathbf{T}'(1)=\dfrac{1}{9}\langle -2,\ 4,\ -4\rangle, \vert\mathbf{T}'(1)\vert=\dfrac{\sqrt{4+16+16}}{9}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}.

3단계: \mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}.

최종답: \mathbf{T}=\left\langle \dfrac{2}{3},\ \dfrac{2}{3},\ \dfrac{1}{3}\right\rangle,   \mathbf{N}=\left\langle -\dfrac{1}{3},\ \dfrac{2}{3},\ -\dfrac{2}{3}\right\rangle,   \mathbf{B}=\left\langle -\dfrac{2}{3},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{2}{3}\right\rangle

검산: 세 벡터 모두 크기 \frac{1}{3}\sqrt{4+4+1}=1 로 단위벡터이고, \mathbf{T}\cdot\mathbf{N}=\frac{1}{9}(-2+4-2)=0 으로 수직이에요. 또 \mathbf{r}''(1)=\langle 2,4,0\rangle 로 직접 \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=\langle -4,2,4\rangle 를 계산해 정규화해도 같은 \mathbf{B} 가 나와요.

0단계: t 값 찾기. z=4t=2\pi\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2}. 확인: \sin\pi=0, -\cos\pi=1 ✓.

1단계: 법평면. 법평면은 \mathbf{T}(즉 \mathbf{r}')에 수직인 평면이에요.

법선벡터 \langle -2,0,4\rangle 와 점 (0,1,2\pi) 로 평면을 세워요.

2단계: 접촉평면. 접촉평면은 \mathbf{T} 와 \mathbf{N} 을 담는 평면이라, 법선벡터가 \mathbf{B}\parallel\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' 이에요.

법선벡터 \langle 2,0,1\rangle 와 점 (0,1,2\pi) 로

최종답: 법평면 -x+2z=4\pi  ·  접촉평면 2x+z=2\pi

검산: 두 평면 모두 점 (0,1,2\pi) 를 지나요(2\cdot2\pi=4\pi ✓, 2\pi=2\pi ✓). 또 두 법선벡터의 내적 \langle -1,0,2\rangle\cdot\langle 2,0,1\rangle=-2+0+2=0 — 법평면과 접촉평면은 항상 수직이어야 하는데(\mathbf{T}\perp\mathbf{B}) 실제로 그래요.

0단계: 매개화. \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}=1 이므로 x=2\cos t, y=3\sin t 로 두면 (2,0) 은 t=0, (0,3) 은 t=\dfrac{\pi}{2} 에 해당해요.

1단계: 곡률. 평면 매개곡선 공식(문제 46~49의 공식)을 써요.

• t=0: \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}=9\ \Rightarrow\ \kappa=\dfrac{6}{9^{3/2}}=\dfrac{6}{27}=\dfrac{2}{9}, 곡률반지름 \rho=\dfrac{1}{\kappa}=\dfrac{9}{2}
• t=\dfrac{\pi}{2}: \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}=4\ \Rightarrow\ \kappa=\dfrac{6}{4^{3/2}}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}, \rho=\dfrac{4}{3}

2단계: 접촉원의 중심. 접촉원의 중심은 접점에서 \mathbf{N} 방향(곡선이 휘는 안쪽)으로 \rho 만큼 간 점이에요.

• (2,0) 에서 타원은 왼쪽(원점 쪽)으로 휘므로 중심은 \left(2-\dfrac{9}{2},\ 0\right)=\left(-\dfrac{5}{2},\ 0\right)
• (0,3) 에서는 아래쪽으로 휘므로 중심은 \left(0,\ 3-\dfrac{4}{3}\right)=\left(0,\ \dfrac{5}{3}\right)

3단계: 방정식.

최종답: (2,0) 에서 \left(x+\dfrac{5}{2}\right)^{2}+y^{2}=\dfrac{81}{4}  ·  (0,3) 에서 x^{2}+\left(y-\dfrac{5}{3}\right)^{2}=\dfrac{16}{9}

검산: 첫 원에 (2,0) 을 넣으면 \left(\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4} ✓, 둘째 원에 (0,3) 을 넣으면 \left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9} ✓ — 둘 다 접점을 지나요. 중심이 각각 접점의 법선(x 축, y 축) 위에 있어 접선 방향도 타원과 일치하고, 반지름 공식 \rho=\dfrac{b^{2}}{a} (장축 끝 \frac{2^2}{3} 은 y 축 점, \frac{3^2}{2} 은 x 축 점)과도 맞아요. 그래프를 그리면 작은 원은 (0,3) 안쪽에 폭 맞게, 큰 원은 (2,0) 에서 타원을 넓게 감싸며 접해요.