벡터함수의 정의역은 모든 성분함수가 동시에 정의되는 t 의 집합이에요. 성분별로 조건을 모아요.

• 첫째 성분 \ln(t+1) : 로그 안이 양수여야 하니까 t+1>0, 즉 t>-1 이에요.
• 둘째 성분 \dfrac{t}{\sqrt{9-t^2}} : 근호 안이 양수여야 해요(분모라서 0도 안 돼요). 9-t^2>0 \Rightarrow -3<t<3 이에요.
• 셋째 성분 2^t : 지수함수는 모든 실수에서 정의돼요.

세 조건의 교집합을 구하면 t>-1 과 -3<t<3 이 겹치는 구간이에요.

최종답: 정의역은 (-1,\ 3)

검산: t=0 을 넣으면 \langle \ln 1,\ 0/3,\ 1\rangle=\langle 0,0,1\rangle 로 잘 정의되고, 경계 t=-1 은 \ln 0, t=3 은 분모 \sqrt{0} 때문에 제외되는 게 맞아요.

벡터함수의 극한은 성분별로 따로 구하면 돼요(각 성분의 극한이 존재할 때).

• \lim\limits_{t\to 0} e^{-3t}=e^{0}=1 — 지수함수는 연속이라 대입하면 끝이에요.
• \lim\limits_{t\to 0}\dfrac{t^2}{\sin^2 t}=\lim\limits_{t\to 0}\left(\dfrac{t}{\sin t}\right)^2=1^2=1 — 표준극한 \lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1 의 역수를 제곱한 거예요.
• \lim\limits_{t\to 0}\cos 2t=\cos 0=1 — 코사인도 연속이에요.

최종답: \mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}=\langle 1,\ 1,\ 1\rangle

검산: t=0.01 을 넣어 보면 e^{-0.03}\approx 0.970, \left(\frac{0.01}{\sin 0.01}\right)^2\approx 1.00003, \cos 0.02\approx 0.9998 로 모두 1에 가까워요.

역시 성분별로 구해요. t\to\infty 극한이라 최고차항 비교와 유계 판단이 핵심이에요.

• \dfrac{1+t^2}{1-t^2} : 분자·분모를 t^2 으로 나누면 \dfrac{1/t^2+1}{1/t^2-1}\to \dfrac{0+1}{0-1}=-1 이에요.
• \tan^{-1} t \to \dfrac{\pi}{2} — 아크탄젠트의 수평점근선이에요.
• \dfrac{1-e^{-2t}}{t} : 분자는 1-0=1 로 유계인데 분모 t\to\infty 라서 0 이에요.

최종답: \left\langle -1,\ \dfrac{\pi}{2},\ 0\right\rangle

검산: t=100 이면 첫 성분 \frac{10001}{-9999}\approx -1.0002, 둘째 \approx 1.5608\approx \pi/2, 셋째 \approx 0.01 로 극한값과 맞아요.

매개방정식으로 풀어 쓰면 x=-\cos t, y=t 예요.

• y=t 니까 t 자체가 y 좌표예요. 그래서 t 를 소거하면 x=-\cos y 가 돼요.
• 즉 코사인 곡선을 y 축 방향으로 세워 놓고 좌우를 뒤집은 모양이에요. x 는 -1 과 1 사이를 진동하고, y 는 위로 끝없이 올라가요.

점 몇 개를 찍어 보면: t=0 \Rightarrow (-1,0),   t=\frac{\pi}{2}\Rightarrow (0,\frac{\pi}{2}),   t=\pi \Rightarrow (1,\pi),   t=2\pi \Rightarrow (-1,2\pi).

최종답: 평면곡선 x=-\cos y — 폭 [-1,1] 안에서 좌우로 물결치며 위로 올라가는 곡선이에요. t 가 증가하면 y=t 가 증가하니까 화살표는 위쪽 방향이에요.

검산: (-1,0) 을 x=-\cos y 에 넣으면 -\cos 0=-1 로 성립해요.

x=3\sin t, y=2\cos t 예요. 삼각함수 매개화는 제곱해서 더해 t 를 소거하는 게 정석이에요.

즉 장축 x 방향 반지름 3, 단축 y 방향 반지름 2인 타원이에요.

방향은 점을 찍어 확인해요: t=0\Rightarrow (0,2) (꼭대기), t=\frac{\pi}{2}\Rightarrow (3,0) (오른쪽). 꼭대기에서 오른쪽으로 움직이니까 시계 방향이에요.

최종답: 타원 \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1, 진행 방향은 시계 방향 (화살표: (0,2)\to(3,0)\to(0,-2)\to\cdots)

검산: t=\pi 에서 (0,-2) — 타원 위의 점이고 시계 방향 순서와 일치해요.

세 성분이 전부 t 의 일차식이에요. 일차식 매개화는 항상 직선이에요.

• 지나는 점: t=0 일 때 (0,2,0)
• 방향벡터: \mathbf{v}=\langle 1,-1,2\rangle

그리는 요령: 두 점만 찍으면 돼요. t=0\Rightarrow(0,2,0), t=1\Rightarrow(1,1,2) 를 잇고, t 증가 방향인 \langle 1,-1,2\rangle 쪽으로 화살표를 붙여요.

최종답: 점 (0,2,0) 을 지나고 방향벡터가 \langle 1,\ -1,\ 2\rangle 인 직선이에요. 화살표는 x 증가·y 감소·z 증가 방향이에요.

검산: t=2 이면 (2,0,4)=(0,2,0)+2(1,-1,2) 로 직선 위에 정확히 놓여요.

x=3 이 상수라는 게 핵심이에요. 곡선 전체가 평면 x=3 (yz평면에 평행한 평면) 안에 들어 있어요.

그 평면 안에서 y=t, z=2-t^2 이니까 t 를 소거하면

즉 꼭짓점이 (3,\ 0,\ 2) 이고 -z 방향(아래)으로 열린 포물선이에요.

방향: t 가 증가하면 y=t 가 증가하니까, 포물선을 따라 y 가 커지는 쪽으로 화살표를 그려요 (왼팔에서 올라와 꼭짓점을 지나 오른팔로 내려가는 방향).

최종답: 평면 x=3 안의 포물선 z=2-y^2, 꼭짓점 (3,0,2), 아래로 열림. 화살표는 y 증가 방향.

검산: t=1\Rightarrow(3,1,1) : z=2-1^2=1 ✓

x=t^2, y=t^4, z=t^6 이에요. 전부 t^2 의 거듭제곱이라는 걸 이용해요.

• y=(t^2)^2=x^2,   z=(t^2)^3=x^3 — 즉 곡선은 두 곡면 y=x^2 과 z=x^3 의 교선 위에 있어요.
• 단, x=t^2\ge 0 이라서 x\ge 0 부분만 나와요.

또 하나 중요한 관찰: \mathbf{r}(-t)=\mathbf{r}(t) 예요. 그래서 t 가 -\infty\to 0 일 때 곡선을 따라 원점으로 들어왔다가, t 가 0\to\infty 일 때 같은 길을 되짚어 나가요. 같은 자취를 두 번 지나는 거예요.

최종답: x\ge 0 에서 (x,\ x^2,\ x^3) 을 따라가는 곡선(트위스티드 큐빅의 절반)이에요. 원점 (0,0,0) 에서 출발점이 꺾이고, t>0 구간의 화살표는 원점에서 멀어지는 방향(모든 좌표 증가)이에요.

검산: t=1\Rightarrow(1,1,1) : y=x^2=1, z=x^3=1 ✓, t=-1 도 같은 점 (1,1,1) 이라 되짚기가 맞아요.

yz평면 위로의 정사영은 x 성분을 버리고 (y,z) 만 남기면 돼요.

t 를 소거해요. 둘째 식에서 t=z+3 이니까 첫째 식에 대입하면

즉 yz평면에서 삼차곡선이에요. z 축과의 교점은 y=0\Rightarrow z=-3, y 축과의 교점은 z=0\Rightarrow y=27 이에요. 변곡점 (0,-3) 근방에서 납작해지는 세제곱 곡선을 그리면 돼요.

최종답: yz평면의 곡선 y=(z+3)^3 (동치로 z=\sqrt[3]{y}-3)

검산: t=1 이면 곡선 위 점은 (1,\ 1,\ -2), 정사영은 (y,z)=(1,-2) 인데 (z+3)^3=1^3=1=y ✓

정사영은 해당 평면에 없는 좌표를 하나씩 버리면 돼요.

• xy평면 (z 버림): x=t, y=\sin t  \Rightarrow  y=\sin x — 사인곡선이에요.
• xz평면 (y 버림): x=t, z=2\cos t  \Rightarrow  z=2\cos x — 진폭 2인 코사인곡선이에요.
• yz평면 (x 버림): y=\sin t, z=2\cos t  \Rightarrow  y^2+\dfrac{z^2}{4}=1 — 타원이에요.

세 정사영을 종합하면: 곡선은 타원기둥 y^2+z^2/4=1 의 옆면을 감으면서 x 축 방향으로 나아가는 타원 나선(elliptical helix) 이에요. t 가 2\pi 늘 때마다 한 바퀴 돌고 x 는 2\pi 만큼 전진해요.

최종답: x 축을 축으로 하는 타원 나선 — 단면 타원 y^2+\frac{z^2}{4}=1, 진행은 x 증가 방향.

검산: \sin^2 t+\frac{(2\cos t)^2}{4}=\sin^2 t+\cos^2 t=1 이라 모든 점이 타원기둥 위에 있어요.

두 점을 잇는 선분의 표준 공식(12.5절)을 써요. 0\le t\le 1 에서

\mathbf{r}_0=\langle -2,1,0\rangle (시점 P), \mathbf{r}_1=\langle 5,2,-3\rangle (종점 Q)를 넣어요.

성분을 풀어 쓰면 매개방정식이에요.

최종답: \mathbf{r}(t)=\langle -2+7t,\ 1+t,\ -3t\rangle,   x=-2+7t, y=1+t, z=-3t  (0\le t\le 1)

검산: t=0 이면 (-2,1,0)=P, t=1 이면 (5,2,-3)=Q 로 양 끝이 정확히 맞아요.

같은 공식 \mathbf{r}(t)=(1-t)\mathbf{r}_0+t\mathbf{r}_1 (0\le t\le 1)을 써요. 이동 벡터를 먼저 계산하면 편해요.

그래서

매개방정식은

z=2.1 로 일정하니까 이 선분은 평면 z=2.1 안에 수평으로 놓여 있어요.

최종답: \mathbf{r}(t)=\langle 3.5-1.7t,\ -1.4+1.7t,\ 2.1\rangle,   x=3.5-1.7t, y=-1.4+1.7t, z=2.1  (0\le t\le 1)

검산: t=1 에서 (3.5-1.7,\ -1.4+1.7,\ 2.1)=(1.8,\ 0.3,\ 2.1)=Q ✓

그래프 라벨은 교재 그림을 봐야 하지만, 판별 요령은 확실하게 정리할 수 있어요.

• x^2+z^2=t^2(\cos^2 t+\sin^2 t)=t^2=y^2 이라서 곡선은 원뿔 y^2=x^2+z^2 위에 있어요.
• y=t\ge 0 이 계속 증가하고 y 축까지의 거리 |t| 도 같이 커지니까, 원점에서 출발해 y 축을 감으며 점점 벌어지는 원뿔형 나선이에요.

그래프 중 "축을 따라 나아가면서 감긴 반지름이 일정하게(선형으로) 커지는 나선"을 고르면 돼요. 반지름이 일정한 나선(원기둥형)이나 지수적으로 벌어지는 나선과 헷갈리지 않는 게 포인트예요.

판별 요령이에요.

• 세 성분 모두 주기함수가 아니라서 빙글빙글 감기는 그래프는 전부 제외돼요.
• z=x^2 이라 곡선은 포물기둥 z=x^2 위에 있어요 — 옆(y 방향)에서 보면 포물선이에요.
• y=\dfrac{1}{1+t^2} 는 t=0 에서 최댓값 1, |t|\to\infty 에서 0으로 가라앉아요. 즉 가운데(x=0 부근)에서만 y 쪽으로 불룩 튀어나오고 양 끝은 y=0 평면에 달라붙는 포물선 모양 그래프를 고르면 돼요.

판별 요령이에요.

• x^2+y^2=\cos^2 8t+\sin^2 8t=1 이라 곡선은 반지름 1로 고정된 원기둥 위에 있어요 — 벌어지는 나선이면 탈락이에요.
• z=e^{0.8t} 는 지수적으로 증가해요. 그래서 위로 갈수록 감긴 간격(피치)이 급격하게 넓어지는 원기둥 나선을 고르면 돼요.
• t\ge 0 이라 z\ge 1 에서 시작하고, \cos 8t 라 회전이 빨라 아래쪽에는 촘촘하게 여러 바퀴가 감겨 있어요.

곡선 위 모든 점의 좌표를 보면 (t,\ 4,\ t^2) — y 좌표가 항상 4예요.

즉 곡선 전체가 평면 y=4 안에 들어 있어요. 이 곡선은 그 평면 안의 포물선 z=x^2 이라 직선이 아니고, 따라서 곡선을 포함하는 평면은 이 하나뿐이에요.

최종답: y=4

검산: t=0,1,2 의 점 (0,4,0),(1,4,1),(2,4,4) 모두 y=4 를 만족해요.

성분 사이의 관계식을 찾아요. 둘째 성분과 셋째 성분을 비교하면

t 에 상관없이 항상 성립하니까 곡선 전체가 평면 y+z=0 안에 있어요. 실제로 이 곡선은 그 평면 안의 타원(원 x^2+y^2=1 을 평면에 얹은 것)이라 직선이 아니고, 포함하는 평면은 유일해요.

최종답: y+z=0

검산: t=0\Rightarrow(0,1,-1) : 1+(-1)=0 ✓,   t=\frac{\pi}{3}\Rightarrow\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12,-\frac12\right) : \frac12-\frac12=0 ✓

"곡면 위에 있다"는 건 곡선의 좌표를 곡면 방정식에 넣으면 항등식이 된다는 뜻이에요.

모든 t 에서 성립하니까 곡선은 원뿔 z^2=x^2+y^2 위에 있어요.

스케치에 활용하면:

• z=t 라서 높이가 일정한 속도로 올라가고, z 축까지의 거리는 \sqrt{x^2+y^2}=|t|=|z| 로 높이와 같이 커져요.
• 그래서 t\ge 0 부분은 위쪽 원뿔면을 감으며 벌어지는 나선, t<0 부분은 아래쪽 원뿔면의 나선이고, t=0 에서 꼭짓점(원점)을 지나요.

최종답: 곡선은 원뿔 z^2=x^2+y^2 표면을 따라 원점에서 위(그리고 아래)로 감겨 올라가는 원뿔 나선이에요.

검산: t=\frac{\pi}{2} 의 점 \left(0,\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) : x^2+y^2=\frac{\pi^2}{4}=z^2 ✓

x=2t, y=e^t, z=e^{2t} 사이의 관계식을 두 성분씩 짝지어 찾아요. 관계식 하나가 곧 곡면 하나예요.

• y,z 관계: z=e^{2t}=(e^t)^2=y^2  →  곡면 ① z=y^2 (포물기둥)
• x,y 관계: t=\dfrac{x}{2} 이므로 y=e^{x/2}  →  곡면 ② y=e^{x/2}
• x,z 관계: z=e^{2t}=e^{x}  →  곡면 ③ z=e^{x}

각 방정식은 변수 하나가 빠져 있어서(각각 x, z, y 무관) 모두 기둥면(cylinder) 이고, 곡선의 모든 점이 세 방정식을 동시에 만족해요.

최종답: z=y^2,   y=e^{x/2},   z=e^{x}

검산: t=1 의 점 (2,\ e,\ e^2) : ① e^2=e^2 ✓  ② e=e^{2/2} ✓  ③ e^2=e^2 ✓

곡선의 매개방정식은 x=t, y=0, z=2t-t^2 이에요 (\mathbf{j} 성분이 없으니 y=0).

교점 조건은 곡선의 좌표가 포물면 방정식을 만족하는 것이에요.

따라서 t=0 또는 t=1 이에요. 각 t 를 곡선에 다시 넣으면

• t=0 : (0,\ 0,\ 0)
• t=1 : (1,\ 0,\ 2\cdot 1-1^2)=(1,\ 0,\ 1)

최종답: 두 점 (0,\ 0,\ 0) 과 (1,\ 0,\ 1)

검산: (1,0,1) 에서 포물면: x^2+y^2=1+0=1=z ✓

그리기 전에 곡선의 구조를 파악하면 범위·시점을 잘 고를 수 있어요.

즉 곡선은 단위구면 x^2+y^2+z^2=1 위에 있어요.

• 모든 성분의 주기가 2\pi 이니 범위는 0\le t\le 2\pi 면 충분해요(폐곡선).
• \sin 2t=0 이 되는 t=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2} 에서 z=\cos 2t=\pm 1, 즉 북극 (0,0,1) 과 남극 (0,0,-1) 을 번갈아 통과해요.
• 그래서 구면 위에 극과 극을 잇는 네 개의 꽃잎(고리) 이 그려져요. 시점은 비스듬한 방향(예: (2,2,1) 쪽)에서 보면 구면 위 고리 구조가 잘 보이고, 위에서 내려다보면 네 잎이 대칭으로 보여요.

최종답: 0\le t\le 2\pi 로 그리면 단위구면 위에서 남·북극을 반복 통과하는 4개의 고리로 이루어진 폐곡선이 나와요. (구면 위에 있다는 사실이 검산이에요: 위 항등식.)

구조부터 파악해요.

• y 축까지의 거리가 \sqrt{x^2+z^2}=|\sin 3t| 예요. 즉 y 축 둘레를 돌면서 반지름이 0과 1 사이를 진동해요.
• \sin 3t=0 인 t=\frac{k\pi}{3} 마다 곡선이 y 축을 관통해요(반지름 0).
• y=\frac{t}{4} 는 천천히 일정하게 증가해서, 전체적으로는 y 축을 따라 올라가며 꽃잎처럼 부풀었다 오므라드는 고리들이 이어진 모양이에요.

그리기 팁: 범위를 0\le t\le 2\pi (고리 6개) 또는 0\le t\le 4\pi 로 잡고, y 축이 화면 세로가 되도록 옆에서 본 시점과, y 축 방향에서 내려다본 시점(꽃잎 대칭이 보임)을 함께 쓰면 본모습이 드러나요.

최종답: y 축을 따라 서서히 상승하면서 반지름 |\sin 3t| 로 부풀었다 좁아지는 "꽃잎 나선"이에요. 위 항등식 x^2+z^2=\sin^2 3t 이 모양의 근거이자 검산이에요.

세 성분이 서로 다른 진동수의 코사인인 리사주(Lissajous)형 곡선이에요.

• 각 성분의 값이 [-1,1] 이라 곡선은 정육면체 [-1,1]^3 안에 있고, 공통주기 2\pi 라서 범위는 0\le t\le 2\pi 면 충분해요(폐곡선).
• 숨은 구조: 배각공식 \cos 4t=2\cos^2 2t-1 에서

즉 곡선은 포물기둥 z=2x^2-1 위에 있어요. y 방향에서 보면(xz평면 정사영) 곡선이 포물선 z=2x^2-1 의 일부로 납작하게 보여요.

그리기 팁: y 축 방향 시점에서 포물선 구조를 확인하고, 비스듬한 시점에서 포물기둥 위를 왕복하며 감기는 모양을 보면 본모습이 잡혀요. (t 와 2\pi-t 에서 같은 점을 지나므로 곡선은 자취를 되짚는 왕복형이에요.)

최종답: 0\le t\le 2\pi, 포물기둥 z=2x^2-1 위에 놓인 리사주 곡선이에요.

검산: t=0\Rightarrow(1,1,1) : 2\cdot 1^2-1=1=z ✓,   t=\frac{\pi}{2}\Rightarrow(-1,0,1) : 2\cdot(-1)^2-1=1=z ✓

곡면 위에 있음을 보이는 건 항등식 확인이에요.

그리고 z=1+\cos 16t\ge 0 이니까 z=\sqrt{x^2+y^2}, 즉 곡선은 원뿔의 위쪽 면 z=\sqrt{x^2+y^2} 위에 있어요.

모양 설명:

• z 축까지의 거리와 높이가 둘 다 r=z=1+\cos 16t 로 같아요. t 가 한 바퀴(0\to 2\pi) 도는 동안 \cos 16t 가 16번 진동하니까, 원뿔 표면을 따라 꼭짓점(원점) 근처까지 내려갔다가 z=2 까지 올라오는 물결이 16개 생겨요.
• 그래서 그래프는 "원뿔 옆면에 그린 주름진(꽃잎 16장) 폐곡선"으로 보여요. 0\le t\le 2\pi 로 그리면 돼요.

최종답: x^2+y^2=z^2 (그리고 z\ge 0)이 항등적으로 성립하므로 곡선은 원뿔 z=\sqrt{x^2+y^2} 위에 있고, 한 바퀴 도는 동안 원뿔면 위에서 16번 오르내리는 물결 모양이에요.

검산: t=0\Rightarrow(2,0,2) : \sqrt{4+0}=2=z ✓,   \cos 16t=-1 인 t=\frac{\pi}{16} 에서는 원점(꼭짓점)을 지나요.

곡선이 점을 지나려면 세 방정식을 동시에 만족하는 t 가 하나 존재해야 해요. 일차식인 y=1-3t 에서 t 를 정하고 나머지로 확인하는 게 빨라요.

점 (1,4,0): y=4 \Rightarrow 1-3t=4 \Rightarrow t=-1.

• x=(-1)^2=1 ✓,   z=1+(-1)^3=0 ✓  →  t=-1 에서 지나요.

점 (9,-8,28): y=-8 \Rightarrow 1-3t=-8 \Rightarrow t=3.

• x=3^2=9 ✓,   z=1+3^3=28 ✓  →  t=3 에서 지나요.

점 (4,7,-6): y=7 \Rightarrow 1-3t=7 \Rightarrow t=-2.

• x=(-2)^2=4 ✓ 이지만   z=1+(-2)^3=1-8=-7\ne -6 ✗

y 성분이 t 를 유일하게 결정하는데 그 t=-2 가 z 방정식을 깨뜨리니까, 세 식을 동시에 만족하는 t 는 없어요.

최종답: (1,4,0) 은 t=-1, (9,-8,28) 은 t=3 에서 지나고, (4,7,-6) 은 지나지 않아요 (t=-2 일 때 z=-7\ne -6).

교선 위의 점은 두 방정식을 동시에 만족해요. 두 식에서 z 를 소거해요.

양변을 제곱하면 (좌변이 \ge 0 이므로 1+y\ge 0 인 범위에서 동치예요)

x=t 로 두면 나머지가 전부 t 로 표현돼요.

이때 1+y=\frac{t^2+1}{2}>0 이 모든 t 에서 성립하니까 제곱 과정에서 가짜 해가 생기지 않아요. 교선은 포물선이에요.

최종답: \mathbf{r}(t)=\left\langle t,\ \dfrac{t^2-1}{2},\ \dfrac{t^2+1}{2}\right\rangle

검산: 원뿔 위인지 확인해요. x^2+y^2=t^2+\dfrac{(t^2-1)^2}{4}=\dfrac{4t^2+t^4-2t^2+1}{4}=\dfrac{(t^2+1)^2}{4}=z^2 ✓ (그리고 z>0), 평면: 1+y=\frac{t^2+1}{2}=z ✓

원기둥 x^2+y^2=1 은 삼각함수로 매개화하는 게 표준이에요.

이걸 쌍곡포물면 식에 넣어 z 를 정해요. 배각공식이 바로 나와요.

최종답: \mathbf{r}(t)=\langle \cos t,\ \sin t,\ \cos 2t\rangle,   0\le t\le 2\pi

검산: t=\frac{\pi}{4} 의 점 \left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2},0\right) : 원기둥 \frac12+\frac12=1 ✓, 곡면 z=\frac12-\frac12=0 ✓

매개화: 원기둥 x^2+y^2=4 에서 시작해요(반지름 2).

포물기둥 식에 대입해 z 를 정해요.

(배각공식으로 z=2+2\cos 2t 로 써도 같아요.)

스케치 요령: 곡선은 반지름 2인 원기둥 옆면 위에 있고, 높이는 z=4\cos^2 t 로 0 과 4 사이를 오가요. z 의 주기가 \pi 라서 원기둥을 한 바퀴 도는 동안 두 번 올라갔다 내려와요: t=0,\pi (점 (\pm 2,0,4))에서 꼭대기, t=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} (점 (0,\pm 2,0))에서 바닥이에요. 전체적으로 "원기둥에 감긴 안장 모양 밴드" 같은 폐곡선이에요.

최종답: \mathbf{r}(t)=\langle 2\cos t,\ 2\sin t,\ 4\cos^2 t\rangle,   0\le t\le 2\pi

검산: x^2+y^2=4\cos^2 t+4\sin^2 t=4 ✓,   z=4\cos^2 t=(2\cos t)^2=x^2 ✓

충돌은 "같은 시각 t 에 같은 위치"라는 뜻이에요. 그래서 \mathbf{r}_1(t)=\mathbf{r}_2(t) 를 성분별 연립방정식으로 풀어요.

첫째 성분부터:

후보를 나머지 성분으로 검증해요.

• t=1 : 둘째 성분 7(1)-12=-5 vs 1^2=1 — 불일치라 탈락이에요.
• t=3 : 둘째 성분 7(3)-12=9 vs 3^2=9 ✓,   셋째 성분 3^2=9 vs 5(3)-6=9 ✓

세 성분이 모두 일치하는 t=3 이 존재해요.

최종답: 네, 충돌해요. t=3 일 때 점 (9,\ 9,\ 9) 에서 충돌해요.

검산: \mathbf{r}_1(3)=\langle 9,9,9\rangle, \mathbf{r}_2(3)=\langle 12-3,\ 9,\ 15-6\rangle=\langle 9,9,9\rangle ✓

(b)가 핵심 계산이라 먼저 해요. a=\dfrac{27}{26}, b=\dfrac{8}{39} 로 두면 x=a\sin 8t-b\sin 18t, y=-a\cos 8t+b\cos 18t 예요.

x^2+y^2 을 전개하면 제곱항과 교차항이 나와요.

마지막 등호는 코사인 차공식 \cos(18t-8t)=\cos 18t\cos 8t+\sin 18t\sin 8t 을 쓴 거예요.

\cos 10t=1-2\sin^2 5t (배각공식)을 대입해요.

숫자를 계산하면

따라서

한편 z=\dfrac{144}{65}\sin 5t 에서

(65^2=4225=25\cdot 169 를 썼어요.) 두 식을 빼면 \sin^2 5t 항이 정확히 소거돼요.

모든 t 에서 성립하니까 곡선은 이 일엽쌍곡면 위에 있어요.

(a) 그리기: 0\le t\le 2\pi 로 그리면 폐곡선이에요. z 축까지의 거리 \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{25}{36}+\frac{144}{169}\sin^2 5t} 가 \frac{5}{6} (허리)과 \frac{97}{78}\approx 1.24 사이를 오가며, 쌍곡면의 잘록한 허리 둘레를 감았다 벌어졌다 하는 사슬 고리(체인 링크) 모양 곡선이 나와요. 비스듬한 시점과 z 축 위에서 본 시점을 함께 쓰면 구조가 잘 보여요.

최종답: (b) 위 계산으로 144x^2+144y^2-25z^2=100 이 항등적으로 성립해요. (a)의 그래프는 이 일엽쌍곡면 표면을 감고 도는 폐곡선이에요.

검산: t=0 의 점 \left(0,\ -\frac{5}{6},\ 0\right) : 144\cdot\frac{25}{36}=100 ✓

전략은 하나예요. 벡터 극한은 성분별 극한(13.1절 정리)이라는 사실로 각 성질을 스칼라 극한 법칙(2장)으로 환원해요.

준비: \mathbf{u}(t)=\langle u_1(t),u_2(t),u_3(t)\rangle, \mathbf{v}(t)=\langle v_1(t),v_2(t),v_3(t)\rangle 로 쓰고, 극한이 존재한다고 했으니 각 성분 극한 \lim u_i, \lim v_i 가 모두 존재해요. (아래 \lim 은 전부 t\to a 예요.)

(a) 합의 성분은 성분의 합이에요.

가운데 등호가 스칼라 극한의 합 법칙이에요.

(b) 상수배도 성분별이에요.

(c) 내적은 스칼라예요: \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3. 스칼라 극한의 곱 법칙과 합 법칙을 쓰면

마지막 등호는 내적의 정의를 극한벡터에 적용한 거예요.

(d) 외적의 첫째 성분은 u_2v_3-u_3v_2 예요. 스칼라 곱·차 법칙으로

인데 이건 정확히 \lim\mathbf{u}\times\lim\mathbf{v} 의 첫째 성분이에요. 둘째 성분 u_3v_1-u_1v_3, 셋째 성분 u_1v_2-u_2v_1 도 완전히 같은 계산이라, 세 성분이 모두 일치해요. 따라서

최종답: 네 성질 모두, "벡터 극한 = 성분별 극한" 정리로 성분에 내려가 스칼라 극한 법칙(합·상수배·곱)을 적용하면 증명돼요.

검산(예시): \mathbf{u}=\langle t,0,0\rangle, \mathbf{v}=\langle 0,t,0\rangle, a=1 이면 \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\langle 0,0,t^2\rangle\to\langle 0,0,1\rangle 이고 \lim\mathbf{u}\times\lim\mathbf{v}=\langle 1,0,0\rangle\times\langle 0,1,0\rangle=\langle 0,0,1\rangle 로 일치해요.