이 절의 첫 번째 핵심 원리예요. 방정식에서 빠진 변수가 있으면, 그 변수 축 방향으로 곡선을 밀어 만든 기둥면이 돼요.

• (a) \mathbb{R}^2(즉 xy 평면)에서 y=x^2 은 꼭짓점이 원점이고 위로 열린 포물선이에요.
• (b) \mathbb{R}^3 에서는 방정식에 z 가 없어요. 그래서 z 값에 아무 제한이 없고, xy 평면의 포물선 y=x^2 을 z 축 방향으로 평행하게 밀어 만든 포물기둥면(parabolic cylinder) 이 돼요. 모선(ruling)은 z 축에 평행한 직선들이에요.
• (c) z=y^2 에는 x 가 없어요. yz 평면의 포물선 z=y^2 을 x 축 방향으로 밀어 만든 포물기둥면이고, 모선은 x 축에 평행해요.

최종답: (a) 포물선   (b) z 축 평행 모선을 갖는 포물기둥면   (c) x 축 평행 모선을 갖는 포물기둥면

검산: (b)에서 임의의 z=k 평면으로 잘라도 트레이스가 항상 같은 포물선 y=x^2 이라, "같은 곡선이 쌓인 기둥"이라는 해석과 일치해요.

방정식에 y 가 없어요. 그러니 xz 평면의 곡선을 y 축 방향으로 민 기둥면이에요.

xz 평면에서 x^2+z^2=4 는 중심이 원점이고 반지름이 2 인 원이에요.

따라서 이 곡면은 축이 y 축이고 반지름이 2인 원기둥면(circular cylinder) 이에요. 스케치할 때는 y=0 과 y=\pm c 위치에 반지름 2인 원을 그리고 y 축 방향 모선으로 이어요.

최종답: 축이 y 축, 반지름 2 인 원기둥면

검산: y=k 트레이스가 모든 k 에서 똑같은 원 x^2+z^2=4 라서 기둥면이 맞아요.

z 가 없으니 z 축 평행 모선을 갖는 기둥면이에요. y 에 대해 정리하면

xy 평면에서 이 곡선은 꼭짓점이 (0,-1) 이고 아래쪽(-y 방향)으로 열린 포물선이에요. (x^2 의 계수가 음수라서 열리는 방향이 아래예요.)

이 포물선을 z 축 방향으로 평행하게 민 것이 곡면이에요.

최종답: y=-x^2-1 을 준선으로 하고 모선이 z 축에 평행한 포물기둥면 (꼭짓점 선은 직선 x=0,\ y=-1)

검산: 곡면 위에는 y=-x^2-1\le -1 인 점만 있어요. 예로 (1,-2,5) 를 넣으면 1+(-2)+1=0 으로 성립해요.

역시 z 가 없는 기둥면이에요.

xy 평면에서 xy=1, 즉 y=\dfrac{1}{x} 은 좌표축을 점근선으로 하는 쌍곡선이에요. 가지가 두 개예요 — 제1사분면(x>0)과 제3사분면(x<0).

이 쌍곡선을 z 축 방향으로 밀면 두 장으로 이루어진 쌍곡기둥면(hyperbolic cylinder) 이 돼요. 모선은 z 축에 평행해요.

최종답: xy=1 을 준선으로 하는 쌍곡기둥면 (두 장, 모선은 z 축 평행)

검산: z=k 트레이스가 모든 높이에서 동일한 쌍곡선 xy=1 이에요.

판별 요령이에요. ① 그림의 곡면이 한 축 방향으로 같은 단면이 반복되면 기둥면이라, 그 축 변수를 빼고 나머지 두 변수로 단면 곡선의 방정식을 쓰면 돼요. ② 단면이 포물선이면 y=x^2 꼴, 원이면 x^2+y^2=r^2 꼴, 쌍곡선이면 xy=c 또는 x^2-y^2=c 꼴이에요. ③ 열리는 방향(부호)과 크기(계수)를 그림의 눈금에 맞춰 조정하세요.

• (a) 각 좌표평면에 평행한 평면으로 잘라 트레이스를 봐요.

수평 트레이스(z=k):

모든 k 에서 반지름 \sqrt{1+k^2}\ (\ge 1) 인 원이에요. |k| 가 커질수록 원이 커져요.

수직 트레이스(x=k): y^2-z^2=1-k^2 — |k|<1 이면 y 축 방향으로 열린 쌍곡선, |k|>1 이면 z 축 방향으로 열린 쌍곡선, k=\pm1 이면 두 직선 y=\pm z 예요. (y=k 트레이스도 대칭이라 똑같아요.)

"모든 높이에서 원 + 수직 단면은 쌍곡선, 그리고 끊긴 곳 없이 이어짐" — 이것이 정확히 1엽쌍곡면(hyperboloid of one sheet, 축 = z 축) 의 특징이에요. z^2 항만 음수인 것도 표 1의 표준형과 일치해요.

• (b) x^2-y^2+z^2=1 은 음수 부호가 y^2 으로 옮겨간 것뿐이에요. y=k 트레이스가 원 x^2+z^2=1+k^2 이 되므로, 같은 1엽쌍곡면이 축만 y 축으로 바뀐 모양이에요. (z 축 둘레 곡면을 y 축 둘레로 돌려놓은 것과 같아요.)

• (c) y 에 대해 완전제곱을 만들어요.

(a)의 곡면에서 y\to y+1 로 바뀐 것이니, (a)의 1엽쌍곡면을 y 축 방향으로 -1 만큼 평행이동한 곡면이에요. 중심이 (0,-1,0) 이고 축은 이 점을 지나며 z 축에 평행한 직선이에요.

최종답: (a) 수평 트레이스 = 원, 수직 트레이스 = 쌍곡선 → z 축이 축인 1엽쌍곡면   (b) 축이 y 축인 1엽쌍곡면   (c) (a)를 y 방향 -1 평행이동한 1엽쌍곡면(중심 (0,-1,0))

검산: (c)에 점 (1,-1,0) 을 넣으면 1+1-2+0-0=0 으로 성립하고, 이 점은 이동한 곡면의 "허리 원" 위 점이 맞아요.

세 방향 트레이스를 순서대로 봐요.

• x=k (축에 수직):

k>0 이면 타원(y 방향이 z 방향보다 2배 김), k=0 이면 점(원점), k<0 이면 트레이스가 없어요. → 곡면이 x\ge 0 쪽에만 있어요.

• y=k : x=4z^2+k^2 — +x 방향으로 열린 포물선이에요.
• z=k : x=y^2+4k^2 — 역시 +x 방향으로 열린 포물선이에요.

"한 방향은 타원, 나머지 두 방향은 포물선" — 타원포물면(elliptic paraboloid) 이에요. 1차인 변수 x 가 축의 방향이고, 꼭짓점은 원점, +x 방향으로 열려요.

최종답: 축이 x 축이고 꼭짓점이 원점이며 +x 방향으로 열린 타원포물면

검산: 표준형 \dfrac{x}{c}=\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{b^2} 에서 a=1,\ b=\tfrac12,\ c=1 로 정확히 맞아요.

• x=k : 4y^2+z^2=k^2 — k\ne 0 이면 타원(z 방향이 y 방향의 2배), k=0 이면 한 점(원점)이에요.
• y=k : x^2-z^2=4k^2 — k\ne 0 이면 쌍곡선, k=0 이면 두 직선 x=\pm z 예요.
• z=k : x^2-4y^2=k^2 — k\ne 0 이면 쌍곡선, k=0 이면 두 직선 x=\pm 2y 예요.

축에 수직인 트레이스가 타원이고, 축을 포함하는 평면(k=0)에서 교차하는 두 직선이 나오는 것이 결정적 단서예요 — 이것은 타원뿔면(elliptic cone) 이에요. 우변이 0이 되도록 옮기면 x^2-4y^2-z^2=0 (동차 2차식)인 것도 뿔면의 특징이에요.

최종답: 축이 x 축이고 꼭짓점이 원점인 타원뿔면 (위·아래 두 날개가 \pm x 방향)

검산: 점 (2,1,0): 4=4+0 ✓. 이 점과 원점을 잇는 직선 (2t,t,0) 전체가 곡면 위에 있어요(4t^2=4t^2) — 뿔면답게 직선을 통째로 포함해요.

먼저 표준형으로 정리해요. x^2 을 좌변으로 옮기고 36으로 나눠요.

음수 부호가 하나(x^2)라서 1엽쌍곡면 후보예요. 트레이스로 확인해요.

• x=k : \dfrac{y^2}{4}+\dfrac{z^2}{9}=1+\dfrac{k^2}{36} — 모든 k 에서 타원이에요. k=0 일 때 가장 작은 타원(반축 2,3), 멀어질수록 커져요.
• y=k : \dfrac{z^2}{9}-\dfrac{x^2}{36}=1-\dfrac{k^2}{4} — 쌍곡선(|k|=2 이면 두 직선)이에요.
• z=k : \dfrac{y^2}{4}-\dfrac{x^2}{36}=1-\dfrac{k^2}{9} — 쌍곡선(|k|=3 이면 두 직선)이에요.

축에 수직인 트레이스가 항상 타원(끊김 없음), 축 방향 트레이스는 쌍곡선 — 1엽쌍곡면이 확정이에요. 음수 부호가 붙은 변수 x 가 축의 방향이에요.

최종답: \dfrac{y^2}{4}+\dfrac{z^2}{9}-\dfrac{x^2}{36}=1, 축이 x 축인 1엽쌍곡면 (허리 타원: x=0 에서 반축 2,\,3)

검산: 점 (6,\,2\sqrt2,\,0): 좌변 9\cdot 8+0=72, 우변 36+36=72 ✓.

세 항이 모두 양수이고 합이 1 — 타원면 표준형이에요. 트레이스로 확인해요.

• z=k : \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{25}=1-\dfrac{k^2}{4} — |k|<2 이면 타원, k=\pm 2 이면 점, |k|>2 이면 없음이에요.
• x=k : \dfrac{y^2}{25}+\dfrac{z^2}{4}=1-\dfrac{k^2}{9} — |k|<3 에서 타원이에요.
• y=k : \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{z^2}{4}=1-\dfrac{k^2}{25} — |k|<5 에서 타원이에요.

세 방향 트레이스가 전부 타원이고 곡면이 유계(상자 |x|\le 3,\ |y|\le 5,\ |z|\le 2 안에 갇힘)라서 타원면(ellipsoid) 이에요.

최종답: 반축이 a=3 (x), b=5 (y), c=2 (z) 인 타원면. 절편은 (\pm3,0,0),\ (0,\pm5,0),\ (0,0,\pm2)

검산: 절편 (0,\pm 5,0) 대입: \dfrac{25}{25}=1 ✓.

부호가 서로 다른 두 제곱항(z^2 는 +, x^2 는 -)이 1차 변수 y 와 같아요 — 안장 모양의 신호예요. 트레이스로 확인해요.

• y=k : z^2-x^2=k — k>0 이면 z 축 방향으로 열린 쌍곡선, k<0 이면 x 축 방향으로 열린 쌍곡선, k=0 이면 두 직선 z=\pm x 예요.
• x=k : y=z^2-k^2 — +y 방향으로 열린 포물선이에요.
• z=k : y=k^2-x^2 — -y 방향으로 열린 포물선이에요.

두 방향 포물선이 서로 반대쪽으로 열리는 것이 결정적이에요. 이것은 쌍곡포물면(hyperbolic paraboloid, 안장면) 이고, 안장점은 원점이에요.

최종답: 안장점이 원점인 쌍곡포물면 (x 방향으로는 내려가고 z 방향으로는 올라가는 안장)

검산: 원점 근처에서 x 축 위(z=0)로 가면 y=-x^2<0 (내려감), z 축 위(x=0)로 가면 y=z^2>0 (올라감) — 안장의 정의 그대로예요.

판별 요령이에요. 세 제곱항이 모두 양수이고 우변이 1이니 타원면이에요 — I–VIII 중 유일하게 유계(닫힌 달걀 모양) 인 그래프를 고르면 돼요. 절편이 x=\pm1,\ y=\pm\tfrac12,\ z=\pm\tfrac13 이라 x 축 방향으로 가장 길쭉하고 z 방향으로 가장 납작한 타원면을 선택하세요.

판별 요령이에요. 음수 부호가 한 개(y^2)이고 우변이 1이니 1엽쌍곡면, 축은 음수 부호 변수인 y 축이에요. y=k 트레이스가 원 x^2+z^2=1+k^2 이라, y 축을 감싸는 허리 잘록한 원기둥(모래시계에 허리가 이어진 모양) 그래프를 고르면 돼요.

판별 요령이에요. 한 변수(y)만 1차이고 제곱항 두 개가 같은 부호(양수) 니 타원포물면, 축은 1차 변수인 y 축이고 +y 방향으로 열려요. y=k>0 트레이스가 타원 2x^2+z^2=k 인, y 축 방향으로 열린 그릇(밥공기) 모양 그래프를 고르면 돼요. (제곱항 부호가 엇갈리면 안장인 점과 구분하세요.)

판별 요령이에요. 방정식에 y 가 없으니 기둥면이에요 — 그래프 중에서 한 축(y 축) 방향으로 단면이 변하지 않는 것을 고르면 돼요. 단면은 xz 평면의 타원 x^2+2z^2=1 (반축: x 방향 1, z 방향 \tfrac{1}{\sqrt2})이라 타원기둥면이고, 모선은 y 축에 평행해요.

판별 요령이에요. ① 두 방향 트레이스의 곡선 유형(타원/포물선/쌍곡선) 을 먼저 읽으세요 — (타원, 타원)+유계면 타원면, (타원, 쌍곡선)이면 쌍곡면 계열, (포물선 포함)이면 포물면 계열이에요. ② 쌍곡선 트레이스의 열리는 방향이 k 에 따라 바뀌는지(1엽), 트레이스가 없는 구간이 있는지(2엽·타원면)로 세부 유형을 가르고, ③ 표 1의 표준형에 계수를 맞춰 방정식을 하나 제시하면 돼요.

우변을 좌변으로 옮기면

우변이 0인 동차 2차식이라 뿔면 표준형 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{b^2}=\dfrac{y^2}{c^2} (a=1,\ b=3,\ c=1) 꼴이에요. 트레이스로 확인해요.

• y=k\ (k\ne0) : 타원 x^2+\dfrac{z^2}{9}=k^2 (z 방향 반축이 3|k| 로 3배 김), y=0 이면 원점 한 점이에요.
• x=0 : y^2=\dfrac{z^2}{9}, 즉 두 직선 y=\pm\dfrac{z}{3} 이에요. (z=0 트레이스도 두 직선 y=\pm x.)

최종답: 표준형 x^2+\dfrac{z^2}{9}=y^2 — 축이 y 축이고 꼭짓점이 원점인 타원뿔면

검산: 점 (1,\,\sqrt2,\,3): 1+\dfrac{9}{9}=2=(\sqrt2)^2 ✓. 원점과 이 점을 잇는 직선 전체도 곡면에 들어가요(동차식이라 t 배 해도 성립).

1차 항이 y 하나뿐이니 y 에 대해 풀어요.

제곱항 두 개의 부호가 서로 반대(z^2 양수, x^2 음수)라서 쌍곡포물면 표준형이에요.

트레이스 확인: x=k 이면 y=z^2-\dfrac{k^2}{2} (+y 로 열린 포물선), z=k 이면 y=k^2-\dfrac{x^2}{2} (-y 로 열린 포물선), y=k 이면 쌍곡선(k=0 이면 두 직선 z=\pm\dfrac{x}{\sqrt2})이에요. 서로 반대로 열리는 두 포물선 — 안장이 확정이에요.

최종답: 표준형 y=z^2-\dfrac{x^2}{2} — 안장점이 원점인 쌍곡포물면

검산: 점 (2,-1,1): 4+2(-1)-2(1)=0 ✓, 그리고 y=1-\dfrac{4}{2}=-1 로 일치해요.

x 와 y 에 대해 완전제곱을 만들어요. 1차 항이 있는 변수마다 반씩 나눠 제곱을 붙여요.

z 만 1차이고 제곱항 두 개가 같은 부호(그리고 계수가 같음)라서 원형 포물면(circular paraboloid) 이에요. z=k>0 트레이스는 중심 (1,3), 반지름 \sqrt{k} 인 원이고, z<0 에는 곡면이 없어요.

최종답: 표준형 z=(x-1)^2+(y-3)^2 — 꼭짓점 (1,\,3,\,0) 에서 +z 방향으로 열린 원형 포물면(타원포물면의 특수한 경우)

검산: 꼭짓점 (1,3,0) 을 원래 식에 대입: 1+9-2-18-0+10=0 ✓.

x 와 z 에 대해 완전제곱을 만들어요. (y 는 1차 항이 없어 그대로 둬요.)

양변을 5로 나누면 표준형이에요.

음수 부호가 하나(y^2)이고 우변이 1이니 1엽쌍곡면이에요. 음수 부호 변수가 y 라서 축은 y 축 방향 — 정확히는 중심 (2,0,1) 을 지나고 y 축에 평행한 직선이에요. y=k 트레이스는 xz 평면 좌표로 중심 (2,1), 반지름 \sqrt{5+k^2} 인 원이라 원형 1엽쌍곡면이에요.

최종답: 표준형 \dfrac{(x-2)^2}{5}-\dfrac{y^2}{5}+\dfrac{(z-1)^2}{5}=1 — 중심 (2,\,0,\,1), 축이 y 축에 평행한 1엽쌍곡면 (허리 원 반지름 \sqrt5)

검산: 허리 원 위의 점 (2+\sqrt5,\,0,\,1) 을 원래 식에 대입: (2+\sqrt5)^2-0+1-4(2+\sqrt5)-2 = 4+4\sqrt5+5+1-8-4\sqrt5-2=0 ✓.

먼저 무엇을 그리는지 파악해요. z^2 만 양수이고 우변이 1이니

즉 음수 부호가 두 개인 2엽쌍곡면(axis = z 축)이에요. z=\pm1 에 꼭짓점이 있고 |z|<1 구간에는 곡면이 없어요. z=k (|k|>1) 트레이스는 타원 4x^2+y^2=k^2-1 이에요.

그래프 팁: 위·아래 두 장을 z=\sqrt{1+4x^2+y^2}, z=-\sqrt{1+4x^2+y^2} 로 나눠 그리면 편해요. 범위는 |x|\le 1,\ |y|\le 2 정도로 잡으면 |z|\le\sqrt6 까지 나와 두 그릇이 마주 보는 모양이 잘 보여요.

최종답: 축이 z 축, 꼭짓점 (0,0,\pm1) 인 2엽쌍곡면

우변이 0 인 동차식이라 뿔면이에요.

축이 z 축이고 꼭짓점이 원점인 타원뿔면이에요. z=k\ (k\ne0) 트레이스는 타원 4x^2+y^2=k^2 (y 방향이 x 방향의 2배)예요.

그래프 팁: 위 원뿔·아래 원뿔을 z=\pm\sqrt{4x^2+y^2} 두 함수로 나눠 그리세요. 문제 41의 2엽쌍곡면과 좌변이 같고 우변만 1\to 0 이라, 이 뿔면은 41 곡면의 점근뿔이에요 — 두 그래프를 겹쳐 보면 멀리서 서로 달라붙는 것이 보여요.

최종답: 축이 z 축, 꼭짓점이 원점인 타원뿔면 (z^2=4x^2+y^2)

두 곡면을 원통좌표 감각(r=\sqrt{x^2+y^2})으로 읽으면 쉬워요.

• z=\sqrt{x^2+y^2} 는 r=z: 꼭짓점이 원점인 위쪽 원뿔이에요.
• x^2+y^2=1 은 r=1: 반지름 1인 원기둥이에요.

높이 z (1\le z\le 2)에서 수평 단면을 보면, 원기둥은 반지름 1, 원뿔은 반지름 z\ (\ge 1) 이에요. 두 곡면 사이에 갇힌 부분은

즉 안쪽 벽은 원기둥, 바깥쪽 벽은 원뿔인 고리(annulus) 단면의 회전체예요.

• z=1: 두 곡면이 원 r=1 에서 만나 단면 폭이 0이에요 (영역의 아래 가장자리).
• z=2: 단면이 1\le r\le 2 인 고리이고, 여기가 위 뚜껑(평면 z=2 의 고리)이에요.

스케치: 원뿔 옆면과 원기둥 옆면이 z=1 의 원에서 만나고, 위로 갈수록 벌어지며 z=2 에서 고리로 잘린, "깔때기에서 가운데 원기둥 구멍을 뚫어낸" 모양을 그리면 돼요.

최종답: \{(r,\theta,z):\ 1\le z\le 2,\ 1\le r\le z\} — 안쪽 경계가 원기둥, 바깥 경계가 원뿔, 위가 z=2 고리인 회전 대칭 입체

검산: 경계 점 (1,0,1) 은 두 곡면 모두 만족해요(z=1=\sqrt{1}, x^2+y^2=1) — 두 곡면이 실제로 z=1 에서 만나는 것이 맞아요.

회전면의 원리예요. x 축 둘레로 돌리면 x 는 그대로이고, 곡선 위 점의 높이 \sqrt{x} 가 x 축으로부터의 거리 \sqrt{y^2+z^2} 로 바뀌어요.

원래 곡선: x 축에서의 거리 =\sqrt{x}. 회전 후 곡면 위 점 (x,y,z) 는

양변을 제곱하면

이것은 축이 x 축이고 꼭짓점이 원점이며 +x 방향으로 열린 원형 포물면이에요.

최종답: y^2+z^2=x (원형 포물면)

검산: z=0,\ y\ge0 으로 자르면 y^2=x, 즉 y=\sqrt{x} — 원래 곡선이 그대로 복원돼요. 또 x=4 단면은 반지름 2인 원인데, 곡선의 점 (4,2) 의 높이 2와 일치해요.

점 P(x,y,z) 에 대해 두 거리를 식으로 써요.

• 점 (-1,0,0) 까지: \sqrt{(x+1)^2+y^2+z^2}
• 평면 x=1 까지: |x-1|

같다고 놓고 양변을 제곱해요. (양변 모두 0 이상이라 제곱해도 동치예요.)

전개해서 정리해요.

즉 x=-\dfrac{y^2+z^2}{4} 이에요. 이것은 축이 x 축이고 꼭짓점이 원점이며 -x 방향으로 열린 원형 포물면이에요.

포물선의 초점–준선 정의(초점까지 거리 = 준선까지 거리)를 3차원으로 올린 것이라, 결과가 포물면인 것이 자연스러워요 — 초점 (-1,0,0), 준면 x=1 이에요.

최종답: y^2+z^2=-4x — -x 방향으로 열린 원형 포물면

검산: 원점: 점까지 거리 1, 평면까지 거리 1 ✓. 점 (-1,2,0): 곡면식 4=4 ✓이고, 점까지 거리 \sqrt{0+4}=2, 평면까지 |-1-1|=2 로 같아요.

• (a) 회전 대칭이라 x,y 방향 반축이 같아요: a=b=6378.137 (적도 반지름), c=6356.523 (극 반지름). 타원면 표준형에 넣어요.

• (b) z=k (|k|<6356.523)를 대입하면

우변이 양의 상수라서 원이에요. (같은 위도의 점들이 이루는 위도선 — 지리 직관과 일치해요.)

• (c) 평면 y=mx 를 대입하면

이 평면 위에서 z 축으로부터의 거리(평면 안의 좌표)를 u 로 두면 u^2=x^2+y^2=x^2(1+m^2) 이라 위 식은

즉 반축이 6378.137 과 6356.523 인 타원이에요. (m 이 무엇이든 같은 크기의 타원이고, x=0 평면의 자오선도 마찬가지예요.)

최종답: (a) \dfrac{x^2}{6378.137^2}+\dfrac{y^2}{6378.137^2}+\dfrac{z^2}{6356.523^2}=1   (b) 원   (c) 타원 (반축 6378.137,\ 6356.523)

검산: (a)에 북극 (0,0,6356.523) 과 적도점 (6378.137,0,0) 을 넣으면 둘 다 1=1 ✓.

가정부터 정리해요. (a,b,c) 가 곡면 위에 있으니

첫째 직선. 임의의 t 에서 y^2-x^2 을 계산해 z 와 같은지 확인해요.

t^2 항이 정확히 소거되는 것이 핵심이에요. b^2-a^2=c 를 쓰면

모든 t 에서 곡면 방정식이 성립하니, 직선 전체가 곡면 위에 있어요.

둘째 직선. 같은 방법이에요.

역시 t^2 이 소거되고, =c-2(a+b)t=z 예요. 성립해요.

최종답: 두 직선 모두 모든 t 에서 z=y^2-x^2 을 만족하므로 곡면 위에 통째로 놓여요. 따라서 쌍곡포물면의 각 점을 지나는 생성 직선이 (방향 \langle1,1,2(b-a)\rangle 와 \langle1,-1,-2(a+b)\rangle 로) 두 개 존재해요.

검산: t=0 이면 두 직선 모두 (a,b,c) 를 지나요. 구체 예로 (a,b,c)=(1,2,3) (3=4-1 ✓), 첫째 직선의 t=1 점 (2,3,5): 9-4=5 ✓.

두 곡면의 정체부터: z=x^2+y^2 은 원형 포물면(위로 열림), z=1-y^2 은 x 축 평행 모선을 갖는 포물기둥면(아래로 열림)이에요. 화면에서는 그릇과 터널 지붕이 만나는 폐곡선이 교선으로 보여요.

사영 구하기. 교선 위의 점은 두 식을 동시에 만족해요. z 를 소거하면 사영( xy 평면 좌표들이 만족하는 식)이 나와요.

즉

이것은 반축이 1 (x 방향)과 \dfrac{1}{\sqrt2} (y 방향)인 타원이에요.

거꾸로, 이 타원 위의 각 (x,y) 에 대해 z=x^2+y^2 로 두면 자동으로 z=1-y^2 도 성립하니(위 식이 바로 그 조건), 사영은 이 타원 전체와 정확히 일치해요.

최종답: 교선의 xy 평면 사영은 타원 x^2+2y^2=1 (반축 1,\ \tfrac{1}{\sqrt2})

검산: 타원 위의 점 (1,0): 두 곡면에서 z=1 로 같아요 ✓. 점 (0,\tfrac{1}{\sqrt2}): z=\tfrac12 와 z=1-\tfrac12=\tfrac12 로 같아요 ✓.