핵심 규칙 두 개만 기억하면 돼요.

• 내적(\cdot) 은 벡터 \cdot 벡터 일 때만 성립하고, 결과는 스칼라(숫자) 예요.
• 덧셈 은 같은 종류끼리만 가능해요. 스칼라 + 벡터는 불가능해요.

각 식을 이 두 규칙으로 판정해요.

• (a) (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) 는 스칼라예요. 그런데 그 뒤에 \cdot\mathbf{c} 로 내적을 하려고 하네요. 내적은 벡터끼리만 되는데 왼쪽이 스칼라라서 → 의미 없음.
• (b) (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) 는 스칼라, 거기에 벡터 \mathbf{c} 를 곱한 형태예요. 스칼라 \times 벡터는 정상적인 스칼라배 → 의미 있음(벡터).
• (c) \vert\mathbf{a}\vert 는 스칼라(크기), (\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}) 도 스칼라예요. 스칼라 \times 스칼라 → 의미 있음(스칼라).
• (d) (\mathbf{b}+\mathbf{c}) 는 벡터끼리 더한 벡터, 그걸 \mathbf{a} 와 내적 → 벡터 \cdot 벡터 → 의미 있음(스칼라).
• (e) \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} 는 스칼라인데 거기에 벡터 \mathbf{c} 를 더하려 해요. 스칼라 + 벡터는 불가능 → 의미 없음.
• (f) \vert\mathbf{a}\vert 는 스칼라인데 뒤에서 \cdot 로 내적을 시도해요. 내적은 벡터끼리만 되므로 왼쪽이 스칼라라 → 의미 없음.

정리: (b)(c)(d)는 의미 있고, (a)(e)(f)는 의미 없어요.

내적은 같은 위치의 성분끼리 곱해서 전부 더하는 계산이에요.

답: \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 7

먼저 성분 형태로 바꿔요. \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} 는 각각 x,y,z 축 단위벡터라서 \mathbf{a}=\langle 2,1,0\rangle, \mathbf{b}=\langle 1,-1,1\rangle 이에요. (\mathbf{a} 에는 \mathbf{k} 항이 없으니 z 성분은 0 이에요.)

성분끼리 곱해 더해요.

답: \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 1

성분은 모르지만 크기와 사이각 을 알 때는 기하적 정의를 써요.

3\pi/4 는 135^\circ 라서 \cos(3\pi/4) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} 예요. 각이 직각보다 커서 내적이 음수가 나올 거라고 미리 예상할 수 있어요.

답: \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = -2000\sqrt{2} \approx -2828.4

그림은 한 변의 길이가 1 인 정사각형이고, \mathbf{u} 는 그 변 방향의 단위벡터예요. \mathbf{v}, \mathbf{w} 는 두 대각선이라서 길이가 각각 \sqrt{2} 예요. (정사각형 대각선 =\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2})

변 \mathbf{u} 와 대각선이 이루는 각을 보면, 한쪽 대각선 \mathbf{v} 와는 45^\circ, 반대쪽 대각선 \mathbf{w} 와는 135^\circ 를 이뤄요.

\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}: 각이 45^\circ 이므로

\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}: 각이 135^\circ 이므로

답: \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 1, \;\mathbf{u}\cdot\mathbf{w} = -1

단위벡터를 성분으로 쓰면 \mathbf{i}=\langle 1,0,0\rangle, \mathbf{j}=\langle 0,1,0\rangle, \mathbf{k}=\langle 0,0,1\rangle 이에요. 그냥 성분 내적을 해보면 돼요.

(a) 서로 다른 축의 단위벡터는 겹치는 성분이 없어요. 예를 들어

같은 방식으로 \mathbf{j}\cdot\mathbf{k}=0, \mathbf{k}\cdot\mathbf{i}=0 이에요. 세 축이 서로 수직이라 내적이 0 인 것과 일치해요.

(b) 같은 벡터끼리는 1 인 성분이 딱 하나 겹쳐요.

같은 방식으로 \mathbf{j}\cdot\mathbf{j}=1, \mathbf{k}\cdot\mathbf{k}=1 이에요. 이건 \mathbf{i}\cdot\mathbf{i}=\vert\mathbf{i}\vert^2=1^2 이라는 사실과도 맞아요.

각을 구하는 공식은 내적의 기하적 정의를 뒤집은 거예요.

성분은 \mathbf{a}=\langle 1,-3\rangle, \mathbf{b}=\langle -3,4\rangle 이에요. 필요한 세 값을 차례로 구해요.

이제 대입해요.

내적이 음수라 각이 90^\circ 보다 클 거예요. 역코사인을 취하면

답: \theta \approx 162^\circ

같은 각도 공식 \cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\vert\mathbf{a}\vert\,\vert\mathbf{b}\vert} 를 써요.

분모는 3\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2} = 6\cdot 2 = 12 이에요. 따라서

답: \theta \approx 146^\circ

판정 기준 두 가지예요.

• 직교: 사이각이 90^\circ → \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0.
• 평행: 한 벡터가 다른 벡터의 상수배 → \mathbf{b}=k\mathbf{a}.
• 둘 다 아니면 어느 쪽도 아님.

(a) \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 9(-2)+3(6) = -18+18 = 0 → 직교.

(b) \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 4(3)+5(-1)+(-2)(5) = 12-5-10 = -3 \neq 0 이라 직교 아니에요. 상수배인지 보면 \tfrac{3}{4} 와 \tfrac{-1}{5} 가 달라 평행도 아니에요 → 어느 쪽도 아님.

(c) 상수배부터 확인해요. \mathbf{b}=k\mathbf{a} 이려면 6=-8k \Rightarrow k=-\tfrac{3}{4}. 이 k 로 나머지도 맞나 보면 -\tfrac{3}{4}(12)=-9 ✓, -\tfrac{3}{4}(4)=-3 ✓. 모두 맞으므로 \mathbf{b}=-\tfrac{3}{4}\mathbf{a} → 평행.

(d) \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 3(5)+(-1)(9)+3(-2) = 15-9-6 = 0 → 직교.

구하려는 벡터를 \mathbf{v}=\langle x,y,z\rangle 라 해요. 두 벡터에 각각 직교하려면 내적이 0 이어야 해요.

첫 식에서 y=-x, 둘째 식에서 z=-x 예요. x=1 로 잡으면 \mathbf{v}=\langle 1,-1,-1\rangle 이 나와요.

이제 단위벡터 로 만들기 위해 크기로 나눠요.

답: \left\langle \dfrac{1}{\sqrt{3}}, -\dfrac{1}{\sqrt{3}}, -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right\rangle (반대 방향인 -\hat{\mathbf{v}} 도 정답이에요.)

두 사영 공식이에요. \mathbf{a} 가 "그림자를 드리우는 바닥 방향" 이에요.

필요한 값을 구해요.

스칼라 사영은

벡터 사영은 그 값을 \mathbf{a} 방향으로 되돌린 거예요. \vert\mathbf{a}\vert^2 = 169 이므로

답: 스칼라 사영 =4, 벡터 사영 =\left\langle -\dfrac{20}{13}, \dfrac{48}{13} \right\rangle

성분으로 쓰면 \mathbf{a}=\langle 3,-3,1\rangle, \mathbf{b}=\langle 2,4,-1\rangle 이에요. 같은 사영 공식을 써요.

스칼라 사영 (내적이 음수라 \mathbf{b} 가 \mathbf{a} 와 대체로 반대 방향임을 뜻해요):

벡터 사영:

답: 스칼라 사영 =\dfrac{-7}{\sqrt{19}}, 벡터 사영 =\left\langle -\dfrac{21}{19}, \dfrac{21}{19}, -\dfrac{7}{19} \right\rangle

일정한 힘이 한 일은 힘과 변위벡터의 내적 이에요.

먼저 변위벡터 \mathbf{D} 는 도착점에서 출발점을 빼서 구해요.

\mathbf{F}=\langle 8,-6,9\rangle 와 내적해요.

답: W = 144\ \text{J}

아이디어: 직선 위의 아무 점 P_0 을 하나 잡고, \overrightarrow{P_0P_1} 을 직선의 법선벡터 방향으로 정사영하면 그 길이가 바로 직선까지의 수직 거리예요.

직선 ax+by+c=0 의 법선벡터는 계수를 그대로 뽑은 \mathbf{n}=\langle a,b\rangle 예요. 직선 위의 한 점을 P_0(x_0,y_0) 라 하면 ax_0+by_0+c=0, 즉 ax_0+by_0=-c 가 성립해요.

거리는 이 벡터를 \mathbf{n} 위로 정사영한 스칼라 사영의 절댓값이에요.

분자를 전개해요.

\vert\mathbf{n}\vert=\sqrt{a^2+b^2} 이므로

적용: 점 (-2,3), 직선 3x-4y+5=0 이라 a=3,\ b=-4,\ c=5 예요.

답: d = \dfrac{13}{5} = 2.6