한눈에 보기
앞 절의 점이 "어디에 있나"였다면, 벡터는 "얼마만큼, 어느 쪽으로"예요. 크기와 방향을 함께 가진 양이죠. 바람의 세기와 방향, 밀 때 주는 힘, 한 점에서 다른 점으로의 이동 — 전부 벡터로 적어요. 이 절에서 벡터를 숫자(성분)로 쓰고, 더하고, 늘리고, 길이를 재는 법을 배웁니다.
- 벡터의 성분 표기 \langle a_1, a_2, a_3\rangle 와 점과의 차이
- 덧셈·스칼라배의 뜻(그림과 계산 둘 다)
- 크기 |\mathbf{a}|, 단위벡터, 표준기저 \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}
먼저 알아야 할 것
개념 설명
벡터는 위치가 아니라 변위예요
벡터는 화살표로 그려요. 중요한 건, 같은 크기·같은 방향이면 어디에 그려도 같은 벡터라는 점이에요. 원점에서 출발하든, 저 멀리서 출발하든, 길이와 방향만 같으면 동일한 벡터죠. 그래서 벡터를 "위치"가 아니라 "이동(변위)"으로 생각하는 게 편해요.
한 점 A(x_1,y_1,z_1)에서 B(x_2,y_2,z_2)로 가는 벡터는 각 좌표의 차이로 적어요:
꺾쇠 \langle\ \rangle는 "이건 점이 아니라 벡터"라는 표시예요. 성분 a_1, a_2, a_3은 각 축 방향으로 얼마나 가는지를 뜻해요.
더하기와 스칼라배
두 벡터를 더하는 건 "이어서 가기"예요. \mathbf{a}만큼 간 뒤 \mathbf{b}만큼 더 가면, 처음 자리에서 끝 자리로의 이동이 \mathbf{a}+\mathbf{b}죠(삼각형 법칙). 계산은 성분끼리 더하면 돼요: \mathbf{a}+\mathbf{b} = \langle a_1+b_1,\ a_2+b_2,\ a_3+b_3\rangle.
스칼라배 c\mathbf{a}는 벡터를 c배로 늘리거나 줄이는 거예요. c=2면 두 배 길게 같은 방향, c=-1이면 같은 길이 반대 방향. 성분마다 c를 곱해요.
뺄셈은 이 둘을 합치면 공짜로 나와요: \mathbf{a}-\mathbf{b} = \mathbf{a}+(-1)\mathbf{b}, 즉 성분끼리 빼면 돼요. 그림으로는 \mathbf{b}의 끝에서 \mathbf{a}의 끝으로 가는 화살표예요. 아까 \overrightarrow{AB}를 좌표 차이로 적었던 것도 사실 "B의 위치벡터 빼기 A의 위치벡터", 곧 벡터 뺄셈이었던 거죠.
크기와 단위벡터
벡터의 크기(길이) |\mathbf{a}|는 원점에서 그 화살표 끝까지의 거리라, 거리 공식과 똑같아요. 크기는 방향 정보가 없는 그냥 숫자(스칼라)예요.
단위벡터는 크기가 딱 1인 벡터로, "순수한 방향"만 남긴 거예요. 어떤 벡터든 자기 크기로 나누면 방향은 그대로고 길이만 1이 돼요. 표준기저 \mathbf{i}=\langle1,0,0\rangle, \mathbf{j}=\langle0,1,0\rangle, \mathbf{k}=\langle0,0,1\rangle는 세 축 방향의 단위벡터라, 모든 벡터를 \mathbf{a}=a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}로 쪼갤 수 있어요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
A(1, 0, 2)에서 B(3, 4, 2)로 가는 벡터와 그 크기, 단위벡터를 구해 봅시다.
- 벡터: \overrightarrow{AB} = \langle 3-1,\ 4-0,\ 2-2\rangle = \langle 2, 4, 0\rangle. (각 좌표 차이를 적었어요.)
- 크기: |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
- 단위벡터: \mathbf{u} = \dfrac{1}{2\sqrt5}\langle 2, 4, 0\rangle = \left\langle \dfrac{1}{\sqrt5},\ \dfrac{2}{\sqrt5},\ 0\right\rangle.
검산: \mathbf{u}의 크기는 \sqrt{\frac{1}{5}+\frac{4}{5}} = \sqrt{1} = 1. 방향은 그대로, 길이만 1이 됐죠.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 벡터 = 크기 + 방향. 위치와 무관하고, 성분 \langle a_1, a_2, a_3\rangle으로 적어요.
- 덧셈은 성분끼리, 스칼라배는 각 성분에 곱하기. 그림으로는 "이어 가기"와 "늘이기".
- 크기는 거리 공식과 같고, 단위벡터는 \mathbf{a}/|\mathbf{a}|로 "방향만" 뽑아요.
- 표준기저 \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}로 어떤 벡터든 세 축 방향으로 분해돼요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 바로 다음 절 내적이 "두 벡터가 얼마나 같은 방향인가"를 재는데, 이게 추천시스템의 코사인 유사도예요. 14장의 기울기 벡터도 벡터고요.
연습문제
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12.2 벡터 · 권장문제 풀이
해설 · 📄 교재 p.874
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문제 4. 그림에 주어진 벡터들을 이용해 다음 각 합·차를 하나의 벡터로 나타내세요. (그림은 네 꼭짓점 A, B, C, D 로 이루어진 사각형이에요.) (a) \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} (b) \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB} (c) \overrightarrow{DB}-\overrightarrow{AB} (d) \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}
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핵심 규칙 하나면 충분해요. 벡터를 머리와 꼬리를 이어붙이면 가운데 점이 사라지고 처음과 끝만 남아요.
- (a) \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} 는 A\to B\to C 로 이어지니까 가운데 B 가 사라져요.
- (b) \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB} 는 C\to D\to B 로 이어지니까 D 가 사라져요.
- (c) 빼기는 반대 방향 벡터를 더하는 것 과 같아요. -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA} 이므로
D\to B\to A 로 이어져 B 가 사라진 결과예요.
- (d) \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB} 는 D\to C\to A\to B 로 쭉 이어지니까 가운데 C, A 가 모두 사라져요.
정리: (a) \overrightarrow{AC} (b) \overrightarrow{CB} (c) \overrightarrow{DA} (d) \overrightarrow{DB}
검산: 위치벡터로 확인해요. (c)를 보면 \overrightarrow{DB}-\overrightarrow{AB}=(\mathbf{b}-\mathbf{d})-(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\mathbf{a}-\mathbf{d}=\overrightarrow{DA} 로 딱 맞아요.
문제 6. 그림에 주어진 두 벡터 \mathbf{u}, \mathbf{v} 를 옮겨 그린 뒤 다음 벡터들을 그리세요. (a) \mathbf{u}+\mathbf{v} (b) \mathbf{u}-\mathbf{v} (c) 2\mathbf{u} (d) -\tfrac{1}{2}\mathbf{v} (e) 3\mathbf{u}+\mathbf{v} (f) \mathbf{v}-2\mathbf{u}
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그림으로 그리는 문제라, 그리는 방법 을 하나씩 설명할게요. 두 가지 도구만 쓰면 돼요.
- 덧셈(머리-꼬리 법칙): 앞 벡터의 머리(화살표 끝)에 뒤 벡터의 꼬리를 붙이고, 처음 꼬리에서 마지막 머리까지 이으면 합이에요.
- 스칼라배: 양수를 곱하면 같은 방향으로 길이만 늘어나거나 줄고, 음수를 곱하면 방향이 반대로 뒤집혀요.
각각은 이렇게 그려요.
- (a) \mathbf{u}+\mathbf{v} : \mathbf{u} 를 그린 뒤 그 머리에 \mathbf{v} 의 꼬리를 붙여요. \mathbf{u} 의 꼬리에서 \mathbf{v} 의 머리까지 이은 화살표가 답이에요.
- (b) \mathbf{u}-\mathbf{v} : \mathbf{v} 를 반대로 뒤집은 -\mathbf{v} 를 만든 뒤 \mathbf{u}+(-\mathbf{v}) 로 (a)처럼 이어 그려요.
- (c) 2\mathbf{u} : \mathbf{u} 와 같은 방향으로 길이를 2배 로 늘린 화살표예요.
- (d) -\tfrac{1}{2}\mathbf{v} : \mathbf{v} 를 반대 방향 으로 뒤집고 길이를 절반 으로 줄인 화살표예요.
- (e) 3\mathbf{u}+\mathbf{v} : 먼저 \mathbf{u} 를 3배 늘린 3\mathbf{u} 를 그리고, 그 머리에 \mathbf{v} 를 이어 붙여요.
- (f) \mathbf{v}-2\mathbf{u} : \mathbf{v} 를 그린 뒤 그 머리에 -2\mathbf{u} (=\mathbf{u} 를 반대로 뒤집어 2배)를 이어 붙여요.
포인트: 스칼라배는 "길이 조절 + 부호면 방향 뒤집기", 덧셈·뺄셈은 "화살표 이어붙이기" 로 나눠 생각하면 헷갈리지 않아요.
문제 9. 시점 A(-2,\,1), 종점 B(1,\,2) 인 유향선분 \overrightarrow{AB} 로 표현되는 벡터 \mathbf{a} 를 구하세요. 그리고 \overrightarrow{AB} 와, 원점에서 출발하는 같은 벡터(위치벡터)를 그리세요.
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유향선분으로 벡터를 구할 때는 종점 좌표에서 시점 좌표를 빼요.
즉 A 에서 B 로 가려면 오른쪽으로 3칸, 위로 1칸 이동해요.
그림은 두 개를 그리면 돼요.
- 원래 화살표: (-2,1) 에서 (1,2) 로 향하는 \overrightarrow{AB}.
- 같은 벡터를 원점에서 출발시킨 것: (0,0) 에서 (3,1) 로 향하는 화살표(위치벡터).
두 화살표는 길이와 방향이 완전히 같아요(평행 이동만 한 것이라 같은 벡터예요).
최종답: \mathbf{a}=\langle 3,\ 1\rangle
검산: 원점 화살표의 종점 (3,1) 에서 벡터 성분을 빼면 시점 (0,0), 원래 화살표는 B(1,2) 에서 성분 \langle 3,1\rangle 을 빼면 시점 (-2,1)=A 로 딱 맞아요.
문제 13. 시점 A(1,\,-2,\,4), 종점 B(-2,\,3,\,0) 인 유향선분 \overrightarrow{AB} 로 표현되는 벡터 \mathbf{a} 를 구하세요.
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3차원에서도 규칙은 똑같아요. 종점에서 시점을 성분별로 빼요.
최종답: \mathbf{a}=\langle -3,\ 5,\ -4\rangle
검산: 시점 A(1,-2,4) 에 이 벡터를 더하면 \langle 1+(-3),\ -2+5,\ 4+(-4)\rangle=\langle -2,\ 3,\ 0\rangle 로, 종점 B 와 정확히 일치해요.
문제 15. 두 벡터 \langle -1,\ 4\rangle 와 \langle 6,\ -2\rangle 의 합을 구하고, 그림으로 나타내세요.
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벡터 덧셈은 같은 자리 성분끼리 더하는 계산이에요.
그림은 머리-꼬리 법칙 으로 그려요. 원점에서 \langle -1,4\rangle 를 그린 뒤(종점 (-1,4)), 그 머리에 \langle 6,-2\rangle 의 꼬리를 붙이면 최종 머리가 (-1+6,\ 4-2)=(5,2) 에 도착해요. 원점에서 (5,2) 로 이은 화살표가 합 벡터예요.
최종답: \langle 5,\ 2\rangle
문제 17. 두 벡터 \langle 3,\ 0,\ 1\rangle 와 \langle 0,\ 8,\ 0\rangle 의 합을 구하고, 그림으로 나타내세요.
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3차원에서도 성분끼리 더하면 돼요.
그림은 원점에서 \langle 3,0,1\rangle 를 그리고, 그 머리에서 y 축 방향으로 8칸 가는 \langle 0,8,0\rangle 를 이어 붙이면 종점 (3,8,1) 에 도착해요.
최종답: \langle 3,\ 8,\ 1\rangle
문제 19. \mathbf{a}=\langle -3,\ 4\rangle, \mathbf{b}=\langle 9,\ -1\rangle 일 때 \mathbf{a}+\mathbf{b}, 4\mathbf{a}+2\mathbf{b}, \vert\mathbf{a}\vert, \vert\mathbf{a}-\mathbf{b}\vert 를 구하세요.
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성분 계산 네 개예요. 하나씩 해요.
4\mathbf{a}+2\mathbf{b} 는 각 벡터에 스칼라를 먼저 곱한 뒤 더해요.
크기는 각 성분을 제곱해서 더한 뒤 제곱근 이에요.
마지막으로 \mathbf{a}-\mathbf{b}=\langle -3-9,\ 4-(-1)\rangle=\langle -12,\ 5\rangle 이므로
최종답: \mathbf{a}+\mathbf{b}=\langle 6,\ 3\rangle, 4\mathbf{a}+2\mathbf{b}=\langle 6,\ 14\rangle, \vert\mathbf{a}\vert=5, \vert\mathbf{a}-\mathbf{b}\vert=13
문제 21. \mathbf{a}=4\mathbf{i}-3\mathbf{j}+2\mathbf{k}, \mathbf{b}=2\mathbf{i}-4\mathbf{k} 일 때 \mathbf{a}+\mathbf{b}, 4\mathbf{a}+2\mathbf{b}, \vert\mathbf{a}\vert, \vert\mathbf{a}-\mathbf{b}\vert 를 구하세요.
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먼저 성분 형태로 바꿔요. \mathbf{b} 에는 \mathbf{j} 성분이 없으니 0이에요.
4\mathbf{a}=\langle 16,\ -12,\ 8\rangle, 2\mathbf{b}=\langle 4,\ 0,\ -8\rangle 이므로
크기는
\mathbf{a}-\mathbf{b}=\langle 4-2,\ -3-0,\ 2-(-4)\rangle=\langle 2,\ -3,\ 6\rangle 이므로
최종답: \mathbf{a}+\mathbf{b}=6\mathbf{i}-3\mathbf{j}-2\mathbf{k}, 4\mathbf{a}+2\mathbf{b}=20\mathbf{i}-12\mathbf{j}, \vert\mathbf{a}\vert=\sqrt{29}, \vert\mathbf{a}-\mathbf{b}\vert=7
문제 25. 8\mathbf{i}-\mathbf{j}+4\mathbf{k} 와 같은 방향인 단위벡터를 구하세요.
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단위벡터 는 길이가 1인 벡터예요. 어떤 벡터와 같은 방향의 단위벡터는 그 벡터를 자기 크기로 나누면 얻어요.
먼저 크기를 구해요.
크기가 딱 9라서 각 성분을 9로 나눠요.
최종답: \mathbf{u}=\left\langle \dfrac{8}{9},\ -\dfrac{1}{9},\ \dfrac{4}{9}\right\rangle
검산: \vert\mathbf{u}\vert=\dfrac{1}{9}\sqrt{64+1+16}=\dfrac{9}{9}=1 이라 정말 단위벡터예요.
문제 26. \langle 6,\ 2,\ -3\rangle 와 같은 방향이면서 길이가 4인 벡터를 구하세요.
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전략은 두 단계예요. ① 같은 방향 단위벡터를 만들고 ② 원하는 길이(4)를 곱해요.
먼저 크기를 구해요.
같은 방향 단위벡터는 7로 나눈 것이에요.
여기에 길이 4를 곱해요.
최종답: \left\langle \dfrac{24}{7},\ \dfrac{8}{7},\ -\dfrac{12}{7}\right\rangle
검산: 크기는 \dfrac{4}{7}\sqrt{36+4+9}=\dfrac{4}{7}\cdot 7=4 로, 원하는 길이 4가 맞아요.
문제 27. 벡터 \mathbf{i}+\sqrt{3}\,\mathbf{j} 와 양의 x 축 방향 사이의 각을 구하세요.
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이 벡터는 성분으로 \langle 1,\ \sqrt{3}\rangle 이에요. 양의 x 축과 이루는 각 \theta 는 탄젠트(기울기) 로 바로 구할 수 있어요.
\tan\theta=\sqrt{3} 이 되는 각은
최종답: \theta=\dfrac{\pi}{3} (즉 60^\circ)
검산: 크기 \vert\langle 1,\sqrt{3}\rangle\vert=\sqrt{1+3}=2 이고, \cos\theta=\dfrac{1}{2} 이므로 \theta=60^\circ 로 일치해요.
문제 29. V_2 의 벡터 \mathbf{v} 의 시점이 원점이고 종점이 제2사분면에 있어요. \mathbf{v} 가 양의 x 축과 \dfrac{5\pi}{6} 의 각을 이루고 \vert\mathbf{v}\vert=4 일 때, \mathbf{v} 를 성분 형태로 나타내세요.
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크기와 각도가 주어진 평면벡터의 성분은 다음 공식으로 구해요.
\vert\mathbf{v}\vert=4, \theta=\dfrac{5\pi}{6} (=150^\circ)를 넣어요. 이때
이므로
최종답: \mathbf{v}=\langle -2\sqrt{3},\ 2\rangle
검산: x 성분이 음수, y 성분이 양수라서 종점이 제2사분면에 있고, 크기는 \sqrt{(-2\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4 로 조건과 정확히 맞아요.