이동을 좌표 변화로 하나씩 옮겨요.

• x 축 양의 방향으로 4 이동 → x 좌표만 4가 돼요: (4,\ 0,\ 0)
• "아래쪽"은 z 축 음의 방향이에요(3차원 표준 좌표에서 위아래 = z 축). 3만큼 내려가면 z 좌표가 -3 이 돼요.

최종답: (4,\ 0,\ -3)

검산: 원점에서 이 점까지 x 방향 이동량 4, z 방향 이동량 -3, y 방향 이동 없음 — 문제의 이동 순서와 정확히 일치해요.

좌표평면까지의 거리는 해당 평면에 없는 좌표의 절댓값 이에요.

• yz 평면(x=0)까지의 거리 = \vert x\vert 예요. 각각 계산하면

가장 작은 값이 C 이므로 yz 평면에 가장 가까운 점은 C 예요.

• xz 평면 위에 있으려면 y=0 이어야 해요. y 좌표가 0인 점은 A(-4,\ 0,\ -1) 뿐이에요.

최종답: yz 평면에 가장 가까운 점은 C(2,4,6), xz 평면 위의 점은 A(-4,0,-1)

같은 방정식이라도 어느 공간에서 보느냐 에 따라 의미가 달라져요. 조건이 하나 걸리면 차원이 하나 줄어든다고 생각하면 돼요.

• \mathbb{R}^2 (2차원)에서 x=4: y 는 자유이므로 점 (4,\ y) 전체, 즉 점 (4,0) 을 지나고 y 축에 평행한 수직선 이에요. (2차원 − 조건 1개 = 1차원 직선)
• \mathbb{R}^3 (3차원)에서 x=4: y,\ z 가 모두 자유이므로 점 (4,\ y,\ z) 전체, 즉 점 (4,0,0) 을 지나고 yz 평면에 평행한 평면 이에요. (3차원 − 조건 1개 = 2차원 평면)

그림은 ① xy 평면에 x=4 수직선, ② 공간에서 x 축과 x=4 에서 수직으로 만나는 평면을 그리면 돼요.

최종답: \mathbb{R}^2 에서는 수직선, \mathbb{R}^3 에서는 yz 평면에 평행한 평면

방정식에 z 가 아예 등장하지 않는다 는 게 핵심이에요. z 는 어떤 값이든 될 수 있어요.

• xy 평면(z=0)에서 보면 x+y=2 는 두 점 (2,0,0), (0,2,0) 을 지나는 직선이에요.
• z 가 자유이므로 이 직선을 z 축 방향으로 위아래로 끝없이 밀어 올린(平行 이동한) 것 전체가 곡면이에요.

즉 직선 x+y=2,\ z=0 을 포함하고 z 축에 평행한 수직 평면 이에요.

그림은 xy 평면 위의 직선 x+y=2 를 그리고, 그 직선을 수직으로 세운 "벽"처럼 평면을 그리면 돼요.

최종답: z 축에 평행한 수직 평면 (절편 (2,0,0), (0,2,0) 을 지나는 벽 모양)

3차원 거리 공식은 각 좌표 차의 제곱을 더해 제곱근 을 취해요.

좌표 차를 먼저 구해요: (-1-3,\ 1-5,\ -4-(-2))=(-4,\ -4,\ -2)

최종답: 6

검산: 4^2+4^2+2^2=36 은 6^2 이라 제곱근이 정확히 정수로 떨어져요.

세 변을 거리 공식으로 각각 계산해요.

• 이등변? \vert PQ\vert=\vert PR\vert=6 으로 두 변이 같아요 → 이등변삼각형이에요.
• 직각? 가장 긴 변은 QR (\sqrt{40}\approx 6.32)이에요. 피타고라스가 성립하는지 확인해요:

성립하지 않으니 직각삼각형이 아니에요.

최종답: 변의 길이 6,\ 2\sqrt{10},\ 6 — 이등변삼각형이지만 직각삼각형은 아니에요.

검산: 가장 긴 변의 제곱(40)이 나머지 두 변의 제곱합(72)보다 작으므로 예각삼각형이에요(직각 아님이 재확인돼요).

두 점을 잇는 방향(좌표 차)이 서로 비례하는지 보는 게 가장 빨라요.

(a) A\to B 의 좌표 차: (3-2,\ 7-4,\ -2-2)=(1,\ 3,\ -4) A\to C 의 좌표 차: (1-2,\ 3-4,\ 3-2)=(-1,\ -1,\ 1)

비례하려면 \dfrac{-1}{1}=\dfrac{-1}{3}=\dfrac{1}{-4} 이어야 하는데 -1\neq -\dfrac{1}{3} 이라 비례하지 않아요 → 한 직선 위에 있지 않아요.

거리로도 확인돼요: \vert AB\vert=\sqrt{26}, \vert AC\vert=\sqrt{3}, \vert BC\vert=\sqrt{4+16+25}=\sqrt{45} 인데 \sqrt{26}+\sqrt{3}\approx 6.83\neq \sqrt{45}\approx 6.71 이라 어떤 조합도 "두 변의 합 = 나머지 변"이 안 돼요.

(b) D\to E 의 좌표 차: (1,\ 3,\ -1) D\to F 의 좌표 차: (3,\ 9,\ -3)=3\,(1,\ 3,\ -1)

정확히 3배로 비례해요 → 한 직선 위에 있어요.

최종답: (a) 일직선 아님   (b) 일직선임 (F 는 D 에서 E 방향으로 3배 간 점)

검산: (b)에서 \vert DE\vert=\sqrt{11}, \vert EF\vert=\sqrt{4+36+4}=2\sqrt{11}, \vert DF\vert=3\sqrt{11} 로 \vert DE\vert+\vert EF\vert=\vert DF\vert 가 정확히 성립해요.

구의 표준 방정식은 중심 (h,k,l), 반지름 r 일 때 (x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2=r^2 이에요.

yz 평면과의 교집합은 x=0 을 대입 해서 구해요.

우변이 양수(7)라서 실제로 만나요. yz 평면 안에서 중심 (0,\ 2,\ 5), 반지름 \sqrt{7} 인 원이에요.

최종답: 구: (x+3)^2+(y-2)^2+(z-5)^2=16,   yz 평면과의 교집합: 원 (y-2)^2+(z-5)^2=7 (x=0, 중심 (0,2,5), 반지름 \sqrt{7})

검산: 중심에서 yz 평면까지 거리는 \vert -3\vert=3<4 이고, 단면 원의 반지름은 \sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7} — 피타고라스로 딱 맞아요.

중심은 알고 반지름만 모르는 상황이에요. 반지름 = 중심에서 그 점까지의 거리 예요.

따라서 구의 방정식은

최종답: (x-3)^2+(y-8)^2+(z-1)^2=30

검산: (4,3,-1) 을 대입하면 1+25+4=30 으로 등식이 성립해 정말 이 구 위의 점이에요.

완전제곱식으로 묶어 표준형으로 바꿔요. 각 변수별로 (계수 절반)²을 양변에 더해요.

우변이 양수이므로 이 방정식은 구를 나타내요.

최종답: 중심 (-4,\ 0,\ 1), 반지름 r=5

검산: 표준형을 다시 전개하면 x^2+8x+16+y^2+z^2-2z+1=25, 즉 x^2+y^2+z^2+8x-2z=8 로 원래 식과 일치해요.

제곱항 계수가 2라서 먼저 2로 나눠 계수를 1로 만들어요.

완전제곱으로 묶어요. x 는 \left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}, y 는 1^2=1 을 더해요.

우변 \tfrac{3}{4}>0 이므로 구예요.

최종답: 중심 \left(\dfrac{1}{2},\ -1,\ 0\right), 반지름 r=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

검산: -\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+1=\tfrac{-2+1+4}{4}=\tfrac{3}{4} — 우변 계산이 맞고, 중심을 원래 식에 넣으면 2\cdot\tfrac14+2-1-4+1 = \tfrac12+(-2)… 대신 표준형 좌변이 0, 우변이 \tfrac34 로 "중심에서 값이 최소"라는 성질과도 맞아요.

이 점을 M 이라 두고, "M 이 선분 위에 있고, 양 끝에서 같은 거리" 두 가지를 거리 공식으로 보이면 돼요.

① \vert P_1M\vert 계산. 좌표 차가 \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}-x_1,\ \cdots\right)=\left(\dfrac{x_2-x_1}{2},\ \dfrac{y_2-y_1}{2},\ \dfrac{z_2-z_1}{2}\right) 이므로

② \vert MP_2\vert 계산. 좌표 차가 \left(x_2-\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \cdots\right)=\left(\dfrac{x_2-x_1}{2},\ \dfrac{y_2-y_1}{2},\ \dfrac{z_2-z_1}{2}\right) 로 ①과 똑같아요. 따라서 \vert MP_2\vert=\tfrac{1}{2}\vert P_1P_2\vert 예요.

③ M 이 선분 위에 있는 이유. ①+②에서

삼각부등식에서 등호는 세 점이 일직선 위에 있고 M 이 P_1,\ P_2 사이에 있을 때만 성립해요. 따라서 M 은 선분 P_1P_2 위의 점이에요.

최종답: M 은 선분 위에 있고 양 끝점에서 각각 \tfrac{1}{2}\vert P_1P_2\vert 만큼 떨어져 있으므로 중점이에요. \blacksquare

평면에 딱 한 점에서 닿으려면(접하려면) 반지름 = 중심에서 그 평면까지의 거리 여야 해요. 좌표평면까지의 거리는 해당 좌표의 절댓값이에요.

• (a) xy 평면(z=0)까지의 거리 = \vert 5\vert=5 → r=5

• (b) yz 평면(x=0)까지의 거리 = \vert -1\vert=1 → r=1

• (c) xz 평면(y=0)까지의 거리 = \vert 4\vert=4 → r=4

최종답: (a) r=5, (b) r=1, (c) r=4 인 위의 세 방정식

검산: (b)에서 접점은 중심에서 x 방향으로 1만큼 간 (0,\ 4,\ 5) — 대입하면 1+0+0=1 로 구 위에 있고 yz 평면 위(x=0)에도 있어요.

x,\ y 에는 아무 조건이 없으니 z 좌표만 -2 로 고정된 점 전체예요.

최종답: xy 평면과 평행하고 그보다 2만큼 아래에 있는 수평 평면 ((0,0,-2) 를 지나는 평면)이에요.

등식 y=1 은 xz 평면과 평행한 평면이에요. 부등식은 그 평면을 경계로 한쪽 전체 를 나타내요.

최종답: 평면 y=1 과, 그 평면보다 y 좌표가 큰 쪽(즉 xz 평면 기준 y=1 너머)의 모든 점으로 이루어진 반공간(경계 평면 포함)이에요.

x 좌표만 -1 과 2 사이로 제한되고 y,\ z 는 자유예요.

최종답: 두 수직 평면 x=-1 과 x=2 사이에 낀 판(slab) 모양의 영역이에요(두 경계 평면 포함, yz 평면과 평행).

조건이 두 개라 둘을 동시에 만족하는 점 만 남아요.

• x^2+y^2=4 만 있으면 z 축을 축으로 하는 반지름 2인 원기둥(옆면)이에요.
• 여기에 z=-1 이 붙으면 그 원기둥을 높이 z=-1 에서 수평으로 자른 단면만 남아요.

최종답: 평면 z=-1 위에 있고 중심이 (0,\ 0,\ -1), 반지름이 2인 원이에요.

\sqrt{y^2+z^2} 는 점 (x,y,z) 에서 x 축까지의 거리 예요(x 는 조건에 없으니 자유).

y^2+z^2\le 25 는 그 거리가 5 이하라는 뜻이에요.

최종답: x 축을 중심축으로 하는 반지름 5인 꽉 찬(내부 포함) 무한 원기둥이에요(경계 옆면 포함).

x^2+y^2+z^2 는 원점까지 거리의 제곱이에요. 그 값이 정확히 4, 즉 원점까지의 거리가 정확히 2인 점 전체예요.

최종답: 중심이 원점이고 반지름이 2인 구면(껍질만, 내부 미포함)이에요.

원점까지의 거리 d=\sqrt{x^2+y^2+z^2} 로 읽으면 1\le d^2\le 5, 즉 1\le d\le\sqrt{5} 예요.

최종답: 중심이 원점인 두 구면 — 반지름 1인 구면과 반지름 \sqrt{5} 인 구면 — 사이의 영역(두 경계 구면 포함, 속이 찬 구 껍질 모양)이에요.

세 좌표가 각각 [0,\ 3] 구간으로 제한돼요. 각 조건은 두 평행 평면 사이의 판이고, 세 판의 공통 부분 이에요.

최종답: 제1팔분공간(octant)에 놓인, 한 모서리 길이가 3인 정육면체(내부와 면 포함) 예요. 꼭짓점은 원점 (0,0,0) 과 (3,3,3) 이 마주 보는 위치에 있어요.

yz 평면은 x=0 이에요. 두 평면 "사이"의 점은 x 좌표가 0과 5 사이에 있고, y,\ z 는 자유예요.

최종답: 0<x<5

검산: 이 부등식은 y,z 에 조건이 없으므로 두 수직 평면 사이의 판 전체가 맞아요. ("사이"를 경계 포함으로 해석하면 0\le x\le 5 로 써도 돼요 — 교재 답은 개구간이에요.)

원점까지의 거리 \sqrt{x^2+y^2+z^2} 가 r 보다 크고 R 보다 작아야 해요. "경계 위 제외"이므로 엄격한 부등호 를 써요.

세 값이 모두 양수라 제곱해도 동치예요.

최종답: r^2<x^2+y^2+z^2<R^2

검산: 등호가 없으니 두 구면 자체는 포함되지 않아요 — "between (but not on)" 조건과 일치해요.

그림 없이는 좌표를 확정할 수 없어서 접근법만 정리해요. (a) P 는 L_2 위의 점 바로 위에 있으므로, 그림의 눈금에서 P 아래 L_2 위 점의 (x,\ y) 를 읽고 P 의 높이 z 를 눈금으로 읽어 (x,\ y,\ z) 로 조합해요. (b) 그림에서 L_1 위의 두 점을 읽어 직선을 매개변수로 표현한 뒤, z=0 (→ A, xy 평면), x=0 (→ B, yz 평면), y=0 (→ C, xz 평면)을 각각 대입해 교점을 구하고 그림에 표시해요. 특히 A 는 L_1 과 L_2 가 만나는 점이에요.

조건 \vert PA\vert=\vert PB\vert 를 세우고 양변을 제곱해 근호를 없애요.

양변을 전개해요. 제곱항 x^2,\ y^2,\ z^2 은 양쪽에 다 있어 소거돼요.

한쪽으로 모아 정리해요.

이건 평면의 방정식이에요. 기하적으로는 당연한 결과예요 — 두 점에서 등거리인 점의 집합은 선분 AB 의 수직이등분 평면 이에요.

최종답: 평면 14x-6y-10z=9 (선분 AB 의 수직이등분 평면)

검산: ① AB 의 중점 \left(\tfrac{5}{2},\ \tfrac{7}{2},\ \tfrac{1}{2}\right) 을 대입하면 35-21-5=9 ✓   ② 평면의 법선 (14,-6,-10) 은 \overrightarrow{AB}=(7,-3,-5) 의 2배라 정말 AB 에 수직이에요 ✓

먼저 두 번째 구를 표준형으로 바꿔요. x^2-4x,\ y^2-4y,\ z^2-4z 에 각각 4를 더해 완전제곱을 만들어요.

두 구를 정리하면

• 구 1: 중심 O(0,0,0), 반지름 r_1=2
• 구 2: 중심 C(2,2,2), 반지름 r_2=1

중심 사이 거리를 구해요.

d>r_1+r_2=3 이므로 두 구는 서로 밖에 떨어져 있어요. 이때 최단 거리는 중심 거리에서 두 반지름을 뺀 값 이에요(중심을 잇는 선분 위에서 실현돼요).

최종답: 2\sqrt{3}-3\ (\approx 0.46)

검산: 2\sqrt{3}\approx 3.464>3 이라 값이 양수예요 — 두 구가 실제로 겹치지 않아 "사이 거리"가 잘 정의돼요.