비율판정법(Ratio Test)을 써요. 일반항을 a_n = \dfrac{(-1)^n x^n}{\sqrt[n]{n}} 로 놓으면 \sqrt[n]{n} = n^{1/n} 이에요.

인접한 두 항의 비의 절댓값은 다음과 같아요.

여기서 n^{1/n} \to 1, (n+1)^{1/(n+1)} \to 1 이므로 이 비는 \vert x \vert 로 수렴해요. 비율판정법에 따라 \vert x \vert < 1 이면 수렴하고 \vert x \vert > 1 이면 발산하므로 수렴반지름은 R = 1 이에요.

이제 끝점을 검사해요.

• x = 1 일 때: \sum \dfrac{(-1)^n}{n^{1/n}}. 그런데 n^{1/n} \to 1 이라 일반항의 크기가 1 로 가고 0 으로 가지 않아요. 발산판정법(항이 0 으로 안 가면 발산)에 의해 발산해요.
• x = -1 일 때: \sum \dfrac{(-1)^n (-1)^n}{n^{1/n}} = \sum \dfrac{1}{n^{1/n}}. 마찬가지로 일반항이 1 로 가므로 발산해요.

최종답: R = 1, 수렴구간 (-1, 1)

a_n = \dfrac{5^n}{n} x^n 으로 놓고 비율판정법을 써요.

5 \vert x \vert < 1, 즉 \vert x \vert < \dfrac{1}{5} 이면 수렴하므로 수렴반지름은 R = \dfrac{1}{5} 이에요.

끝점 x = \pm\dfrac{1}{5} 을 검사해요.

• x = \dfrac{1}{5} 일 때: \sum \dfrac{5^n}{n} \left(\dfrac{1}{5}\right)^n = \sum \dfrac{1}{n}. 조화급수라서 발산해요.
• x = -\dfrac{1}{5} 일 때: \sum \dfrac{5^n}{n} \left(-\dfrac{1}{5}\right)^n = \sum \dfrac{(-1)^n}{n}. 교대급수판정법(항의 크기가 단조감소하며 0 으로 감)에 의해 수렴해요. (이 합은 나중에 배우는 \ln(1+x) 의 급수에 x = 1 을 넣으면 -\ln 2 임이 알려져 있어요.)

한쪽 끝점만 포함되므로 수렴구간은 한쪽만 닫혀요.

최종답: R = \dfrac{1}{5}, 수렴구간 \left[-\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{5}\right)

a_n = \dfrac{x^n}{n^4 \, 4^n} 으로 놓고 비율판정법을 써요.

\dfrac{\vert x \vert}{4} < 1, 즉 \vert x \vert < 4 이면 수렴하므로 수렴반지름은 R = 4 이에요.

끝점 x = \pm 4 을 검사해요.

• x = 4 일 때: \sum \dfrac{4^n}{n^4 \, 4^n} = \sum \dfrac{1}{n^4}. p = 4 > 1 인 p-급수라서 수렴해요.
• x = -4 일 때: \sum \dfrac{(-4)^n}{n^4 \, 4^n} = \sum \dfrac{(-1)^n}{n^4}. 절댓값을 취하면 \sum \dfrac{1}{n^4} 로 수렴하므로 절대수렴해요.

양쪽 끝점 모두 수렴하므로 닫힌 구간이에요.

최종답: R = 4, 수렴구간 [-4, 4]

지수가 x^{2n} 이지만 비율판정법은 그대로 적용돼요. a_n = \dfrac{x^{2n}}{n!} 로 놓으면

이에요. 극한이 모든 x 에 대해 0 < 1 이므로 모든 실수 x 에서 수렴해요.

따라서 수렴반지름은 R = \infty 예요. 참고로 이 급수는 e^{x^2} 의 급수 표현이에요.

최종답: R = \infty, 수렴구간 (-\infty, \infty)

a_n = n! \, (2x-1)^n 으로 놓고 비율판정법을 써요.

2x - 1 \neq 0 이면 (n+1) \vert 2x-1 \vert \to \infty 라서 발산해요. 오직 2x - 1 = 0, 즉 x = \dfrac{1}{2} 일 때만 (항이 전부 0 이라) 수렴해요.

이렇게 중심 한 점에서만 수렴하는 경우 수렴반지름은 R = 0 이에요.

최종답: R = 0, 수렴구간 \left\{\dfrac{1}{2}\right\} (한 점)

a_n = \dfrac{(5x-4)^n}{n^3} 으로 놓고 비율판정법을 써요.

\vert 5x-4 \vert < 1 이면 수렴해요. 중심과 반지름을 드러내기 위해 5 로 묶어요.

따라서 중심은 \dfrac{4}{5}, 수렴반지름은 R = \dfrac{1}{5} 예요.

끝점은 \vert 5x-4 \vert = 1, 즉 5x - 4 = \pm 1 에서 x = 1 또는 x = \dfrac{3}{5} 이에요.

• x = 1 일 때: 5x - 4 = 1 이므로 \sum \dfrac{1^n}{n^3} = \sum \dfrac{1}{n^3}. p = 3 > 1 이라 수렴해요.
• x = \dfrac{3}{5} 일 때: 5x - 4 = -1 이므로 \sum \dfrac{(-1)^n}{n^3}. 절대수렴하므로 수렴해요.

양쪽 끝점 모두 수렴하므로 닫힌 구간이에요.

최종답: R = \dfrac{1}{5}, 수렴구간 \left[\dfrac{3}{5}, 1\right]

핵심 아이디어예요. 거듭제곱급수 \sum c_n x^n 은 중심 x = 0 을 기준으로, 어떤 점에서 수렴하면 그 점보다 중심에 가까운 모든 점에서는 (절대)수렴해요. x = 4 에서 수렴한다는 것은 x = 4 가 수렴구간 안에 든다는 뜻이므로 수렴반지름은 R \geq 4 임을 알 수 있어요.

(a) \sum c_n (-2)^n — 이건 x = -2 를 대입한 급수예요. \vert -2 \vert = 2 < 4 \leq R 이므로 x = -2 는 수렴구간의 내부(열린 구간 안)에 있어요. 따라서 수렴한다고 결론지을 수 있어요 (절대수렴).

(b) \sum c_n (-4)^n — 이건 x = -4 를 대입한 급수예요. \vert -4 \vert = 4 \leq R 인데, 만약 R = 4 라면 x = -4 는 수렴구간의 끝점이에요. 끝점에서는 수렴할 수도 발산할 수도 있어서 주어진 정보만으로는 판단이 안 돼요. 따라서 수렴한다고 결론지을 수 없어요.

최종답: (a) 수렴한다고 할 수 있음 · (b) 결론지을 수 없음

먼저 수렴반지름 R 의 범위를 좁혀요.

• x = -4 에서 수렴 → 중심에서 거리 4 인 점이 수렴구간 안 → R \geq 4
• x = 6 에서 발산 → 중심에서 거리 6 인 점이 수렴구간 밖 → R \leq 6

따라서 4 \leq R \leq 6 이에요. 이제 각 급수를 "x 에 무엇을 대입한 것인가"로 보고 거리를 R 과 비교해요.

(a) \sum c_n — x = 1 대입. \vert 1 \vert = 1 < 4 \leq R 이라 내부 → 수렴해요.

(b) \sum c_n 8^n — x = 8 대입. \vert 8 \vert = 8 > 6 \geq R 이라 외부 → 발산해요.

(c) \sum c_n (-3)^n — x = -3 대입. \vert -3 \vert = 3 < 4 \leq R 이라 내부 → 수렴해요.

(d) \sum (-1)^n c_n 9^n = \sum c_n (-9)^n — x = -9 대입. \vert -9 \vert = 9 > 6 \geq R 이라 외부 → 발산해요.

최종답: (a) 수렴 · (b) 발산 · (c) 수렴 · (d) 발산

치환으로 원래 급수의 성질에 연결해요. y = x^2 으로 놓으면

이에요. 원래 급수 \sum c_n y^n 의 수렴반지름이 R 이므로, 이 급수는 \vert y \vert < R 이면 수렴하고 \vert y \vert > R 이면 발산해요. 여기에 y = x^2 을 되돌려 넣으면

일 때 수렴하고, \vert x \vert > \sqrt{R} 이면 발산해요. 따라서 새 급수의 수렴반지름은 \sqrt{R} 이에요.

이 결과는 극단적인 경우에도 성립해요. R = 0 이면 \sqrt{0} = 0, R = \infty 이면 \sqrt{\infty} = \infty 로 자연스럽게 맞아요.

최종답: 수렴반지름은 \sqrt{R}