조현태아주대학교 수학과
Lecture · 11

11.11 테일러 다항식의 응용

Applications of Taylor Polynomials

한눈에 보기

11.10에서 함수를 무한급수로 펼쳤어요. 그런데 컴퓨터는 무한히 더할 수 없어요. 그래서 앞의 몇 항만 잘라 쓰는데, 그렇게 잘라낸 다항식이 테일러 다항식(Taylor polynomial) T_n(x)예요. 진짜 함수 대신 T_n을 쓰면 얼마나 틀릴까요? 그 오차의 크기를 위에서 눌러주는 도구가 테일러 부등식이에요.

  • 테일러 다항식 T_n(x) — 급수를 n차에서 자른 근사
  • 나머지 R_n(x) = f(x) - T_n(x) — 근사의 오차
  • 테일러 부등식 — 오차가 이 값보다 크지 않다는 보장

먼저 알아야 할 것

개념 설명

테일러 다항식

a 근처에서 함수 f를 흉내 내는 n차 다항식이 테일러 다항식이에요. 급수의 앞 n+1개 항만 남긴 것이죠.

T_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

T_n은 점 a에서 함숫값뿐 아니라 n계 도함수까지 f와 똑같이 맞춰져 있어요. 그래서 a 근처에서는 f와 거의 붙어 다니고, a에서 멀어질수록 슬슬 벌어져요. 차수 n을 키우면 더 넓은 범위에서 잘 맞아요.

오차 한계

근사를 썼으면 "얼마나 틀렸나"를 알아야 실전에서 믿고 쓸 수 있어요. 참값과 근사의 차이를 나머지(remainder) 라고 해요.

R_n(x) = f(x) - T_n(x)

이 나머지의 크기를 위에서 눌러주는 게 테일러 부등식이에요. a와 x 사이 구간에서 \vert f^{(n+1)} \vert \le M이면

\vert R_n(x) \vert \le \frac{M}{(n+1)!} \vert x - a \vert^{n+1}

이 성립해요. 핵심은 두 가지예요. 분모에 (n+1)!이 있어서 차수를 키우면 오차가 급격히 작아진다는 것, 그리고 \vert x-a \vert^{n+1} 때문에 a에 가까울수록 오차가 작다는 것이에요. M은 근처에서 (n+1)계 도함수가 아무리 커도 이 정도까지라는 상한이고요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

\sin x를 원점 근처에서 3차까지 근사하고, \vert x \vert \le 0.5에서 오차를 잡아 봅시다.

  1. a = 0에서 도함수: \sin 0 = 0, \cos 0 = 1, -\sin 0 = 0, -\cos 0 = -1. 그래서

    T_3(x) = 0 + 1 \cdot x + 0 - \frac{1}{3!}x^3 = x - \frac{x^3}{6}

    즉 \sin x \approx x - \frac{x^3}{6}이에요. (참고로 4차 항의 계수도 f^{(4)}(0) = \sin 0 = 0이라 T_4 = T_3이에요. 그래서 이 다항식을 n=4짜리 근사로 봐도 되고, 그러면 뒤에서 더 좋은 오차 상한을 쓸 수 있어요.)

  2. 오차 한계: 다음 도함수는 f^{(4)}(x) = \sin x이고 \vert \sin x \vert \le 1이니 M = 1로 잡아요. \vert x \vert \le 0.5에서

    \vert R_3(x) \vert \le \frac{1}{4!}\vert x \vert^{4} \le \frac{(0.5)^4}{24} = \frac{0.0625}{24} \approx 0.0026

    그런데 1단계에서 본 대로 T_4 = T_3이니, 같은 다항식을 n = 4짜리 근사로 놓고 부등식을 다시 쓸 수 있어요. 이번엔 f^{(5)}(x) = \cos x이고 \vert \cos x \vert \le 1이라 역시 M = 1이에요.

    \vert R_4(x) \vert \le \frac{1}{5!}\vert x \vert^{5} \le \frac{(0.5)^5}{120} \approx 0.00026

    같은 다항식인데 오차 보장이 10배 좋아졌죠.

  3. 해석: \vert x \vert \le 0.5(약 28.6도)에서 오차가 많아야 0.00026이니, x - \frac{x^3}{6}은 참값과 소수 셋째 자리까지 맞는 게 보장돼요. 각이 더 작으면 오차는 더 줄고요. 물리의 소각 근사 \sin x \approx x는 여기서 3차 항까지 뺀, 더 거친 1차 근사인 셈이에요.

흔한 헷갈림

핵심 정리

  • 테일러 다항식 T_n = 급수를 n차에서 자른 근사. a 근처에서 f와 도함수까지 맞춰져 잘 붙어요.
  • 나머지 R_n = f - T_n가 근사의 오차이고, 테일러 부등식 \vert R_n \vert \le \frac{M}{(n+1)!}\vert x-a \vert^{n+1}로 그 크기를 위에서 잡아요.
  • 차수 n이 크고 x가 a에 가까울수록 오차가 작아져요. 소각 근사·수치계산이 다 이 원리예요.
  • 뒤에서: 이걸로 11장과 수학1을 완주했어요! 🎉 이제 보너스 트랜스포머 캡스톤으로 넘어가, 지금까지 쌓은 내적·softmax·행렬곱이 GPT 안에서 어떻게 움직이는지 볼 거예요.

연습문제

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11.11 테일러 다항식의 응용 · 권장문제 풀이

해설 · 📄 교재 p.849

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문제 3. 함수 f(x) = e^x 에 대해 a = 1 에서의 테일러 다항식 T_3(x) 를 구하세요. (그리고 f 와 T_3 를 같은 화면에 그려 비교해 보세요.)

풀이 보기

테일러 다항식은 "한 점 a 근처에서 함수를 다항식으로 흉내 내는" 도구예요. a=1 에서 3차까지 맞추려면 f, f', f'', f''' 값을 x=1 에서 구하면 돼요.

e^x 는 몇 번을 미분해도 그대로 e^x 예요. 그래서

f(x) = f'(x) = f''(x) = f'''(x) = e^x

이고, x=1 을 넣으면 모두 e 예요.

f(1) = f'(1) = f''(1) = f'''(1) = e

이제 a=1 중심 테일러 다항식 공식에 넣어요.

T_3(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3

값을 대입하면

T_3(x) = e + e(x-1) + \frac{e}{2}(x-1)^2 + \frac{e}{6}(x-1)^3

e 로 묶으면 더 깔끔해요.

T_3(x) = e\left[\,1 + (x-1) + \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{6}\,\right]

f 와 T_3 를 그려 보면 x=1 근처에서는 두 곡선이 거의 붙어 있고, x 가 1 에서 멀어질수록 조금씩 벌어져요.

검산. x = 1.1 을 넣어 볼게요.

T_3(1.1) = e\left[\,1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} + \frac{0.001}{6}\,\right] = e \times 1.105167 \approx 3.00416

실제 값 e^{1.1} \approx 3.00417 과 소수 넷째 자리까지 일치하므로 다항식이 잘 맞아요.

답.

T_3(x) = e\left[\,1 + (x-1) + \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{6}\,\right]

문제 5. 함수 f(x) = \cos x 에 대해 a = \dfrac{\pi}{2} 에서의 테일러 다항식 T_3(x) 를 구하세요.

풀이 보기

a = \dfrac{\pi}{2} 에서 필요한 값들을 하나씩 구해요. \cos 을 미분하면 -\sin, 다시 미분하면 -\cos, 또 미분하면 \sin 이에요.

f(x) = \cos x, \qquad f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
f'(x) = -\sin x, \qquad f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1
f''(x) = -\cos x, \qquad f''\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
f'''(x) = \sin x, \qquad f'''\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1

이제 a = \dfrac{\pi}{2} 중심 공식에 넣어요.

T_3(x) = 0 + (-1)\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{0}{2!}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 + \frac{1}{3!}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^3

0 인 항을 지우면

T_3(x) = -\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{6}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^3

검산. x = \dfrac{\pi}{2} + 0.2 \approx 1.7708 을 넣어 볼게요. 이때 x - \dfrac{\pi}{2} = 0.2 예요.

T_3 = -0.2 + \frac{1}{6}(0.2)^3 = -0.2 + \frac{0.008}{6} \approx -0.19867

실제 값 \cos(1.7708) \approx -0.19867 과 일치하므로 맞아요.

답.

T_3(x) = -\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{6}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^3

문제 13. f(x) = \dfrac{1}{x}, a = 1, n = 2 에 대해

(a) f 를 2 차 테일러 다항식 T_2(x) 로 근사하세요.

(b) 0.7 \le x \le 1.3 에서 테일러 부등식으로 근사의 오차 \vert R_2(x) \vert 를 어림하세요.

풀이 보기

(a) 테일러 다항식 T_2(x)

f(x) = x^{-1} 를 두 번까지 미분해요.

f(x) = x^{-1}, \qquad f(1) = 1
f'(x) = -x^{-2}, \qquad f'(1) = -1
f''(x) = 2x^{-3}, \qquad f''(1) = 2

a = 1 중심 2 차 다항식은

T_2(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 = 1 - (x-1) + (x-1)^2

(b) 테일러 부등식으로 오차 어림하기

테일러 부등식은 "다음 차수 도함수의 크기"로 오차의 상한을 잡아 줘요. n=2 이므로 3 차 도함수가 필요해요.

\vert R_2(x) \vert \le \frac{M}{3!}\,\vert x - 1 \vert^3

여기서 M 은 구간에서 \vert f'''(x) \vert 의 최댓값(을 넘는 값)이에요.

f'''(x) = -6x^{-4}, \qquad \vert f'''(x) \vert = \frac{6}{x^4}

\dfrac{6}{x^4} 은 x 가 작을수록 커지므로, 구간 0.7 \le x \le 1.3 에서는 x = 0.7 일 때 가장 커요.

M = \frac{6}{(0.7)^4} = \frac{6}{0.2401} \approx 24.99

또 이 구간에서 \vert x - 1 \vert \le 0.3 이므로 \vert x - 1 \vert^3 \le (0.3)^3 = 0.027 이에요. 대입하면

\vert R_2(x) \vert \le \frac{24.99}{6} \times 0.027 \approx 4.165 \times 0.027 \approx 0.112

즉 이 구간에서 오차는 아무리 커도 약 0.112 를 넘지 않아요.

검산. 실제 오차가 이 상한 안에 드는지 양 끝에서 확인해요. x = 0.7 에서 f(0.7) = \dfrac{1}{0.7} \approx 1.4286, T_2(0.7) = 1 + 0.3 + 0.09 = 1.39 이라 오차는 약 0.0386 이에요. x = 1.3 에서 f(1.3) \approx 0.7692, T_2(1.3) = 1 - 0.3 + 0.09 = 0.79 이라 오차는 약 0.0208 이에요. 둘 다 상한 0.112 안에 잘 들어와요.

답. (a) T_2(x) = 1 - (x-1) + (x-1)^2 / (b) \vert R_2(x) \vert \le 0.112

문제 15. f(x) = x^{2/3}, a = 1, n = 3 에 대해

(a) f 를 3 차 테일러 다항식 T_3(x) 로 근사하세요.

(b) 0.8 \le x \le 1.2 에서 테일러 부등식으로 근사의 오차 \vert R_3(x) \vert 를 어림하세요.

풀이 보기

(a) 테일러 다항식 T_3(x)

f(x) = x^{2/3} 를 세 번까지 미분해요. 지수 법칙 \dfrac{d}{dx}x^p = p\,x^{p-1} 만 반복하면 돼요.

f(x) = x^{2/3}, \qquad f(1) = 1
f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3}, \qquad f'(1) = \frac{2}{3}
f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-4/3}, \qquad f''(1) = -\frac{2}{9}
f'''(x) = \frac{8}{27}x^{-7/3}, \qquad f'''(1) = \frac{8}{27}

a = 1 중심 3 차 다항식에 넣어요.

T_3(x) = 1 + \frac{2}{3}(x-1) + \frac{-2/9}{2!}(x-1)^2 + \frac{8/27}{3!}(x-1)^3

계수를 정리하면 \dfrac{-2/9}{2} = -\dfrac{1}{9} 이고 \dfrac{8/27}{6} = \dfrac{4}{81} 이므로

T_3(x) = 1 + \frac{2}{3}(x-1) - \frac{1}{9}(x-1)^2 + \frac{4}{81}(x-1)^3

(b) 테일러 부등식으로 오차 어림하기

n = 3 이므로 4 차 도함수가 필요해요.

\vert R_3(x) \vert \le \frac{M}{4!}\,\vert x - 1 \vert^4

4 차 도함수는

f^{(4)}(x) = -\frac{56}{81}x^{-10/3}, \qquad \vert f^{(4)}(x) \vert = \frac{56}{81}x^{-10/3}

이고, x 가 작을수록 커지므로 구간 0.8 \le x \le 1.2 에서는 x = 0.8 일 때 최대예요.

M = \frac{56}{81}\,(0.8)^{-10/3} \approx 0.6914 \times 2.104 \approx 1.455

또 \vert x - 1 \vert \le 0.2 이므로 \vert x - 1 \vert^4 \le (0.2)^4 = 0.0016 이에요. 대입하면

\vert R_3(x) \vert \le \frac{1.455}{24} \times 0.0016 \approx 0.0606 \times 0.0016 \approx 0.000097

즉 이 구간에서 오차는 약 9.7 \times 10^{-5} 를 넘지 않아요. 3 차까지만 써도 상당히 정확한 셈이에요.

검산. x = 0.8 에서 실제 값 f(0.8) = 0.8^{2/3} \approx 0.86177 이고, T_3(0.8) = 1 - \dfrac{2}{3}(0.2) - \dfrac{1}{9}(0.04) - \dfrac{4}{81}(0.008) \approx 0.86183 이에요. 오차가 약 0.00005 로 상한 0.000097 안에 잘 들어와요.

답. (a) T_3(x) = 1 + \dfrac{2}{3}(x-1) - \dfrac{1}{9}(x-1)^2 + \dfrac{4}{81}(x-1)^3 / (b) \vert R_3(x) \vert \le 0.000097

문제 27. 교대급수 추정 정리(또는 테일러 부등식)를 이용해, 다음 근사가 주어진 오차 안에서 정확해지는 x 의 범위를 어림하세요.

\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} \qquad (\,\vert \text{error} \vert < 0.01\,)
풀이 보기

\sin x 의 매클로린 급수는 다음과 같아요.

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

부호가 번갈아 바뀌고 항의 크기가 점점 줄어드는 교대급수예요. 주어진 근사 x - \dfrac{x^3}{6} 은 앞 두 항만 쓴 것이므로, 교대급수 추정 정리에 따라 오차는 버린 첫 항, 즉 \dfrac{x^5}{5!} 의 크기를 넘지 않아요.

\vert \text{error} \vert \le \left\vert \frac{x^5}{5!} \right\vert = \frac{\vert x \vert^5}{120}

이 값이 0.01 보다 작기를 원해요.

\frac{\vert x \vert^5}{120} < 0.01

양변에 120 을 곱하면

\vert x \vert^5 < 1.2

양변에 \dfrac{1}{5} 제곱을 하면

\vert x \vert < (1.2)^{1/5} \approx 1.037

즉 \vert x \vert < 1.037 일 때 근사가 오차 0.01 안에서 정확해요.

검산. 경계 근처 x = 1 에서 확인해요. 실제 \sin 1 \approx 0.84147, 근사 1 - \dfrac{1}{6} \approx 0.83333 이라 오차는 약 0.00814 로 0.01 보다 작아요. 반면 조금 더 큰 x = 1.1 에서는 버린 항 \dfrac{(1.1)^5}{120} \approx 0.0134 로 이미 0.01 을 넘으므로, 경계가 1 과 1.1 사이에 있다는 어림과 잘 맞아요.

답. \vert x \vert < 1.037 (대략)

문제 30. 어떤 함수 f 가

f^{(n)}(4) = \frac{(-1)^n\, n!}{3^n(n+1)}

를 만족하고, 4 를 중심으로 한 f 의 테일러 급수가 수렴구간의 모든 x 에서 f(x) 로 수렴한다고 해요. 이때 5 차 테일러 다항식이 f(5) 를 오차 0.0002 미만으로 근사함을 보이세요.

풀이 보기

먼저 테일러 급수의 각 계수를 정리해요. a = 4 중심 급수에서 x^n 자리의 계수는 \dfrac{f^{(n)}(4)}{n!} 인데,

\frac{f^{(n)}(4)}{n!} = \frac{(-1)^n\, n!}{3^n(n+1)\, n!} = \frac{(-1)^n}{3^n(n+1)}

이에요. 따라서 x = 5 를 넣으면 x - 4 = 1 이므로

f(5) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(4)}{n!}(5-4)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^n(n+1)}

가 돼요. 5 차 다항식 T_5(5) 는 이 급수의 n = 0 부터 n = 5 까지 부분합이에요. 그러니 오차 R_5(5) = f(5) - T_5(5) 는 n = 6 이후의 꼬리(나머지)예요.

R_5(5) = \sum_{n=6}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^n(n+1)}

이건 부호가 번갈아 바뀌고 항의 크기 b_n = \dfrac{1}{3^n(n+1)} 이 점점 줄어드는(그리고 0 으로 가는) 교대급수예요. 교대급수 추정 정리에 따라 꼬리의 크기는 첫 번째 버린 항 b_6 을 넘지 않아요.

\vert R_5(5) \vert \le b_6 = \frac{1}{3^6(6+1)} = \frac{1}{729 \times 7} = \frac{1}{5103}

값을 계산하면

\frac{1}{5103} \approx 0.000196 < 0.0002

이므로, 5 차 테일러 다항식은 f(5) 를 오차 0.0002 미만으로 근사해요.

검산. b_n = \dfrac{1}{3^n(n+1)} 은 분모의 3^n 과 n+1 이 모두 커지므로 확실히 감소해요. 따라서 교대급수 추정 정리를 쓸 조건이 만족돼요. 또 첫 버린 항 b_6 = \dfrac{1}{5103} \approx 0.000196 이 목표 0.0002 보다 살짝 작으므로 결론이 아슬아슬하지만 성립해요.

답. \vert R_5(5) \vert \le \dfrac{1}{5103} \approx 0.000196 < 0.0002 이므로 오차 0.0002 미만이에요.

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