한눈에 보기
11.9에서 "몇몇 함수는 급수로 쓸 수 있다"는 걸 봤어요. 이번엔 그 방법을 모든 매끄러운 함수로 확장해요. 핵심 아이디어는 이거예요 — 함수를 한 점 a 근처에서 다항식의 무한합으로 바꾸는 거죠. 이 무한합을 테일러 급수(Taylor series)라고 해요. 특히 a = 0에서 펼친 걸 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 부르고요. e^x, \sin x, \cos x 같은 함수들이 아주 깔끔한 급수로 풀려요.
- 테일러 급수 = 함수를 (x-a)의 거듭제곱으로 펼친 무한합
- 매클로린 급수 = a = 0인 특수한 경우
- 주요 급수 e^x, \sin x, \cos x를 외워두면 두고두고 써요
먼저 알아야 할 것
개념 설명
테일러 급수 유도
함수 f를 한 점 a 근처에서 이런 다항식 꼴로 쓸 수 있다고 가정해봐요.
계수 c_n을 어떻게 정할까요? 요령은 x = a를 대입하고, 미분해가며 대입하기예요.
먼저 x = a를 넣으면 (x-a) 항이 전부 0이 되니 f(a) = c_0. 즉 c_0 = f(a)죠.
이제 양변을 한 번 미분하면 f'(x) = c_1 + 2c_2(x-a) + 3c_3(x-a)^2 + \cdots. 다시 x = a를 넣으면 f'(a) = c_1이에요.
한 번 더 미분하면 f''(x) = 2c_2 + 3 \cdot 2 \, c_3(x-a) + \cdots. x = a를 넣으면 f''(a) = 2c_2, 즉 c_2 = \frac{f''(a)}{2}죠.
이 과정을 반복하면 n번째 계수는 c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}이 돼요. 미분을 n번 하면 앞에 n!이 곱해져 나오기 때문에 분모에 n!이 붙는 거예요.
매클로린 급수
특별히 a = 0에서 펼치면 식이 더 간단해져요. 이걸 매클로린 급수라 불러요.
대부분의 예제는 a = 0에서 다루니, 실전에선 이 꼴을 가장 많이 써요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
e^x의 매클로린 급수를 직접 만들어봐요. 지수함수가 급수로 어떻게 풀리는지 보는 대표 예제예요.
- 도함수를 구해요. f(x) = e^x는 미분해도 그대로예요 — f'(x) = e^x, f''(x) = e^x, … 모든 계도함수가 e^x죠.
- x = 0을 넣어요. e^0 = 1이니 f(0) = f'(0) = f''(0) = \cdots = 1. 모든 계수의 분자가 1이에요.
- 매클로린 공식에 대입해요.
정말 깔끔하죠. 여기에 x = 1을 넣으면 e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \cdots \approx 2.718이라는 유명한 값도 나와요. 같은 방식으로 \sin x와 \cos x도 유도되는데, 결과는 이래요.
\sin은 홀수 차수, \cos은 짝수 차수만 나오고 부호가 번갈아 붙어요. 앞 두세 항만 써도 웬만한 근사는 충분하고요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 테일러 급수 = 함수를 \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n의 무한합으로 펼친 것. 계수는 고계도함수로 정해져요.
- 매클로린 급수 = a = 0인 경우, 식이 \sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n으로 간단해져요.
- 필수 3종: e^x = \sum \frac{x^n}{n!}, \sin x(홀수항), \cos x(짝수항)는 외워두면 편해요.
- 핵심은 어려운 함수를 다항식으로 갈아끼우기 — 계산기·근사·최적화의 바탕이에요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 11.11에서 이 급수로 실제 근삿값을 구하고 오차를 재요. 그리고 보너스 트랜스포머 캡스톤에서, 이렇게 다룬 함수 근사·급수 감각이 GPT의 내부 연산을 이해하는 밑돌이 돼요.
Exercises
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11.10 테일러 급수와 매클로린 급수 · 권장문제 풀이
해설 · 📄 교재 p.836
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문제 1. 모든 x 에 대해 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n (x-5)^n 이라고 할 때, b_8 을 나타내는 식을 쓰세요.
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어떤 함수가 a 를 중심으로 하는 거듭제곱급수로 표현되면, 그 급수는 반드시 f 의 테일러 급수와 같아요. 이것이 이 절의 핵심 정리예요. 즉 x - 5 의 거듭제곱으로 쓰인 급수라면 중심은 a = 5 이고, 계수는 테일러 계수 공식을 따라요.
여기에 n = 8 을 넣으면 돼요.
최종답. b_8 = \dfrac{f^{(8)}(5)}{8!}
문제 4. 다음을 만족하는 f 가 있을 때, 4 를 중심으로 하는 f 의 테일러 급수를 구하고 그 수렴반지름을 구하세요.
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a = 4 를 중심으로 하는 테일러 급수의 정의는 다음과 같아요.
주어진 f^{(n)}(4) 를 대입하면, 분자의 n! 과 분모의 n! 이 약분돼요.
수렴반지름. 비율판정법을 써요. 항을 a_n = \dfrac{(-1)^n}{3^n(n+1)}(x-4)^n 이라 하면,
이 극한이 1 보다 작을 때 수렴하므로 \frac{1}{3}\vert x-4\vert < 1, 즉 \vert x-4\vert < 3 이에요.
최종답. 테일러 급수는 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^n (n+1)} (x-4)^n, 수렴반지름 R = 3
문제 7. 테일러 급수의 정의를 이용해 f(x) = \sqrt[3]{x} 를 a = 8 에서 전개한 급수의 처음 0이 아닌 네 항을 구하세요.
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f(x) = x^{1/3} 의 도함수들을 차례로 구하고 x = 8 을 대입해요. 계산에 8^{1/3} = 2 라는 사실을 계속 써요.
여기서 8^{-2/3} = \frac{1}{(8^{1/3})^2} = \frac{1}{4}, 8^{-5/3} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}, 8^{-8/3} = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256} 을 썼어요.
이제 테일러 급수 공식 f(8) + f'(8)(x-8) + \frac{f''(8)}{2!}(x-8)^2 + \frac{f'''(8)}{3!}(x-8)^3 + \cdots 에 대입해요.
계수 정리는 \frac{-1/144}{2} = -\frac{1}{288}, \frac{5/3456}{6} = \frac{5}{20736} 로 확인돼요.
최종답. 2 + \dfrac{1}{12}(x-8) - \dfrac{1}{288}(x-8)^2 + \dfrac{5}{20736}(x-8)^3
문제 8. 테일러 급수의 정의를 이용해 f(x) = \ln x 를 a = 1 에서 전개한 급수의 처음 0이 아닌 네 항을 구하세요.
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f(x) = \ln x 의 도함수들을 구하고 x = 1 을 대입해요.
f(1) = 0 이므로 상수항은 사라지고, 나머지를 테일러 공식에 넣어요.
계수를 정리하면 \frac{-1}{2} , \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4} 이에요.
최종답. (x-1) - \dfrac{1}{2}(x-1)^2 + \dfrac{1}{3}(x-1)^3 - \dfrac{1}{4}(x-1)^4
문제 11. 매클로린 급수의 정의를 이용해 f(x) = (1-x)^{-2} 의 매클로린 급수를 구하고, 그에 딸린 수렴반지름을 구하세요.
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a = 0 에서의 도함수들을 구해서 규칙을 찾아요.
여기서 (1-x)^{-2} 를 미분하면 -2(1-x)^{-3} \cdot (-1) = 2(1-x)^{-3} 처럼 안쪽 미분 -1 이 음의 지수와 곱해져 항상 양수가 돼요. 규칙을 일반화하면
이에요. 이제 매클로린 급수에 대입하면 n! 이 약분돼요.
즉 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots 이에요.
수렴반지름. 비율판정법으로 \left\vert \frac{(n+2)x^{n+1}}{(n+1)x^n} \right\vert = \frac{n+2}{n+1}\vert x\vert \to \vert x\vert 이므로 \vert x\vert < 1 에서 수렴해요. R = 1 이에요.
최종답. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n = 1 + 2x + 3x^2 + \cdots, 수렴반지름 R = 1
문제 15. 매클로린 급수의 정의를 이용해 f(x) = 2x^4 - 3x^2 + 3 의 매클로린 급수를 구하세요.
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다항식이므로 결국 자기 자신이 나오리라 예상되지만, 정의대로 도함수를 계산해 확인해요.
5 계 이상의 도함수는 모두 0 이에요. 매클로린 공식에 넣으면
\frac{-6}{2} = -3, \frac{48}{24} = 2 이므로 원래 다항식과 정확히 일치해요. 다항식의 매클로린 급수는 항상 자기 자신이에요.
최종답. 2x^4 - 3x^2 + 3 (수렴반지름 R = \infty)
문제 27. f(x) = \sin x 의 a = \pi 를 중심으로 하는 테일러 급수를 구하세요.
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\sin x 의 도함수는 네 개씩 주기적으로 반복돼요. x = \pi 를 대입해요.
이후 같은 값들이 반복돼요. 짝수 계 도함수는 \pi 에서 0 이므로 홀수 차수 항만 남아요.
검산. \sin x = \sin\bigl(\pi + (x-\pi)\bigr) = -\sin(x-\pi) 이고, \sin(x-\pi) 의 급수에 마이너스를 붙이면 위와 정확히 같아져요.
최종답. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)!}(x-\pi)^{2n+1}
문제 32. 문제 27에서 얻은 급수가 모든 x 에 대해 \sin x 를 나타냄을 증명하세요.
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정리 8과 테일러 부등식(정리 9)을 써요. \sin x 의 모든 계 도함수는 \pm\sin x 또는 \pm\cos x 이므로 모든 x 에서
이에요. 따라서 테일러 부등식에서 M = 1, a = \pi 로 두면 나머지항 R_n(x) 가 다음을 만족해요.
이 절의 식 10에 따르면 모든 실수 t 에 대해 \lim_{n\to\infty} \frac{t^n}{n!} = 0 이므로,
이에요. 조임정리에 의해 \lim_{n\to\infty} \vert R_n(x)\vert = 0, 즉 \lim_{n\to\infty} R_n(x) = 0 이에요. 정리 8에 의해 모든 x 에서 \sin x 는 자신의 테일러 급수와 같아요. 증명 끝.
문제 43. 표 1의 매클로린 급수를 이용해 f(x) = x\cos\bigl(\tfrac{1}{2}x^2\bigr) 의 매클로린 급수를 구하세요.
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표 1의 코사인 급수에서 출발해요.
여기에 u = \tfrac{1}{2}x^2 를 대입하면, u^{2n} = \left(\tfrac{x^2}{2}\right)^{2n} = \dfrac{x^{4n}}{2^{2n}} 이에요.
이 급수 전체에 x 를 곱해요.
처음 몇 항을 써 보면 n=0 은 x, n=1 은 -\frac{x^5}{4 \cdot 2} = -\frac{x^5}{8}, n=2 는 \frac{x^9}{16 \cdot 24} = \frac{x^9}{384} 이에요.
최종답. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+1}}{4^n (2n)!} = x - \frac{x^5}{8} + \frac{x^9}{384} - \cdots (모든 x)
문제 61. 다음 부정적분을 무한급수로 나타내세요.
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표 1의 코사인 급수에서 상수항 1 을 빼요.
이것을 x 로 나누면 각 항의 차수가 1 씩 내려가요.
이제 항별로 적분해요. x^{2n-1} 을 적분하면 \dfrac{x^{2n}}{2n} 이에요.
분모를 정리하면 2 \cdot 2! = 4, 4 \cdot 4! = 96 이에요.
최종답. C - \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^4}{96} - \dfrac{x^6}{4320} + \cdots = C + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{2n\,(2n)!}
문제 64. 급수를 이용해 다음 정적분을 소수 넷째 자리까지 근사하세요.
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표 1의 사인 급수 \sin u = u - \frac{u^3}{3!} + \frac{u^5}{5!} - \cdots 에 u = x^4 을 넣어요.
0 부터 1 까지 항별로 적분해요. \int_0^1 x^m\, dx = \frac{1}{m+1} 이에요.
각 값을 소수로 바꿔요.
교대급수이므로 오차는 첫 버리는 항보다 작아요. 넷째 자리 정확도(오차 < 0.00005)를 위해서는 네 번째 항 0.0000068 까지 더하면 충분해요.
최종답. \displaystyle\int_0^1 \sin(x^4)\, dx \approx 0.1876
문제 83. 다음 급수의 합을 구하세요.
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표 1의 지수함수 급수 e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!} 과 모양을 비교해요. x = -1 을 넣으면 x^n = (-1)^n 이 되므로 딱 우리 급수예요.
최종답. e^{-1} = \dfrac{1}{e}
문제 88. 다음 급수의 합을 구하세요.
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일반항을 시그마로 정리하면 부호가 번갈아 바뀌므로 (-\ln 2)^n 꼴이에요.
이것은 e^x = \sum \dfrac{x^n}{n!} 에 x = -\ln 2 를 넣은 것과 같아요.
최종답. \dfrac{1}{2}
문제 92. f(x) = \dfrac{x}{1+x^2} 의 매클로린 급수를 이용해 f^{(101)}(0) 을 구하세요.
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등비급수 \dfrac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n 에 t = -x^2 을 넣어요.
여기에 x 를 곱하면 f 의 매클로린 급수가 나와요.
한편 매클로린 급수의 정의에서 x^{101} 의 계수는 \dfrac{f^{(101)}(0)}{101!} 이에요. 급수에서 x^{101} 이 나오려면 2n+1 = 101, 즉 n = 50 이므로 그 계수는 (-1)^{50} = 1 이에요. 두 표현을 같다고 놓으면
이에요.
최종답. f^{(101)}(0) = 101!
문제 96(a). 다음과 같이 정의된 함수가 자신의 매클로린 급수와 같지 않음을 보이세요.
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핵심은 0 에서의 모든 계 도함수가 0 이라는 점이에요. 먼저 f'(0) 을 정의로 계산해요.
y = 1/x 로 치환하면 x \to 0 일 때 \vert y\vert \to \infty 이고, 이 극한은 \lim_{y \to \infty} y\, e^{-y^2} 꼴이 돼요. 지수함수 e^{-y^2} 이 어떤 다항식보다도 빨리 0 으로 가므로 이 극한은 0 이에요. 따라서 f'(0) = 0 이에요.
일반적으로 x \ne 0 에서 도함수는 f^{(n)}(x) = P\!\left(\tfrac{1}{x}\right) e^{-1/x^2} 처럼 1/x 의 다항식과 e^{-1/x^2} 의 곱 꼴이에요. 같은 이유로 x \to 0 일 때 이 값은 0 으로 가고, 귀납적으로 모든 n 에 대해
이 성립해요. 그러면 f 의 매클로린 급수는
즉 항등적으로 0 인 함수예요. 그런데 x \ne 0 일 때 f(x) = e^{-1/x^2} > 0 이에요. 예를 들어 f(1) = e^{-1} \ne 0 이에요. 따라서 f 는 x = 0 을 제외한 모든 곳에서 자신의 매클로린 급수와 다르므로, f 는 자신의 매클로린 급수와 같지 않아요. 증명 끝.