10.6 극좌표에서의 원뿔곡선

한눈에 보기

타원, 포물선, 쌍곡선 — 10.5에서 본 이 세 원뿔곡선을 극좌표로 쓰면 놀랍도록 깔끔하게 하나의 식으로 묶여요. 초점을 원점에 두면 세 곡선 모두 r = \frac{ed}{1 \pm e\cos\theta} 꼴이 되죠. 그리고 이 식의 주인공은 이심률 e 하나뿐이에요 — e 값만 보면 타원인지 포물선인지 쌍곡선인지 바로 알 수 있어요.

• 초점을 원점에 둔 원뿔곡선의 극방정식 r = \frac{ed}{1 \pm e\cos\theta}
• 이심률 e로 종류 판별 (e<1 타원, e=1 포물선, e>1 쌍곡선)
• 케플러의 행성 운동 법칙과의 연결

먼저 알아야 할 것

개념 설명

이심률과 극방정식

원뿔곡선을 하나로 묶는 열쇠가 이심률(eccentricity) e예요. 정의는 이래요: 고정된 점(초점 F)까지의 거리와 고정된 직선(준선 \ell)까지의 거리의 비율이 항상 일정한 점들의 모임, 그 일정한 비율이 e예요.

이 비율 e가 곡선의 모양을 통째로 결정해요. e가 1보다 작으면 곡선이 닫혀서 타원, 정확히 1이면 포물선, 1보다 크면 벌어져서 쌍곡선이 돼요.

이제 초점 F를 원점에 놓고, 준선을 초점에서 거리 d만큼 떨어진 세로선으로 잡으면, 이 비율 정의에서 극방정식이 바로 튀어나와요. \vert PF \vert = r이고 준선까지의 거리를 \theta로 표현해 정리하면 다음 식을 얻어요.

준선이 초점의 어느 쪽에 있느냐, 가로냐 세로냐에 따라 분모가 1 \pm e\cos\theta 또는 1 \pm e\sin\theta로 바뀌지만, 뼈대는 똑같아요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

r = \dfrac{10}{3 - 2\cos\theta}는 어떤 곡선일까요?

1. 표준형 \frac{ed}{1 \pm e\cos\theta}로 맞추려면 분모의 상수항을 1로 만들어야 해요. 분자·분모를 3으로 나눠요.

2. 이제 분모가 1 - e\cos\theta 꼴이니 이심률 e = \frac{2}{3}을 바로 읽어요.
3. e = \frac{2}{3} < 1이므로 이 곡선은 타원이에요. (덤으로 ed = \frac{10}{3}에서 d = \frac{10/3}{2/3} = 5, 준선까지 거리도 나와요.)

핵심은 분모의 상수항을 1로 만든 다음 \cos\theta 앞 계수를 읽는 것 — 그게 곧 e예요.

흔한 헷갈림

핵심 정리

• 초점을 원점에 두면 세 원뿔곡선이 r = \frac{ed}{1 \pm e\cos\theta} 하나로 통일돼요.
• 이심률 e 하나가 종류를 결정해요: e<1 타원, e=1 포물선, e>1 쌍곡선.
• 판별법: 분모의 상수항을 1로 정규화 → \cos\theta(또는 \sin\theta) 앞 계수가 곧 e.
• 이 식이 케플러의 행성 운동(태양=초점)과 곧장 이어져요.
• 뒤에서: 이걸로 10장(매개변수·극좌표)이 마무리돼요. 다음 11장부터는 급수(무한수열과 무한급수) 이야기가 시작돼요 — 함수를 무한히 더한 항으로 펼쳐 근사하는, AI 계산의 또 다른 밑바탕이에요.