1.6 극한 법칙을 이용한 극한 계산

Calculating Limits Using the Limit Laws

한눈에 보기

1.5에서 극한을 그림·표로 "짐작"했다면, 이번엔 계산으로 정확히 구해요. 무기는 세 가지예요. 먼저 극한 법칙(limit laws) — 합·차·곱·몫·상수배·거듭제곱이 극한을 그대로 통과해요. 다음은 직접대입 — 함수가 그 점에서 매끄럽게 이어져 있으면 그냥 x 자리에 a를 넣으면 끝이에요. 마지막은 대입하면 0/0이 나오는 부정형(indeterminate form) — 인수분해·유리화·약분으로 문제를 손질한 뒤 대입해요. 여기에 양쪽에서 눌러 값을 가두는 조임정리(Squeeze Theorem)까지 챙기면 웬만한 극한은 다 풀려요.

극한 법칙 — 사칙연산과 거듭제곱은 극한과 순서를 바꿔도 돼요
직접대입 — 이어진 함수면 \lim_{x\to a} f(x) = f(a)
0/0 부정형 — 인수분해·유리화로 약분 후 대입
조임정리 — 위아래로 가두면 가운데도 같은 값

먼저 알아야 할 것

개념 설명

극한 법칙

\lim_{x\to a} f(x) = L, \lim_{x\to a} g(x) = M처럼 두 극한이 존재하면, 이들의 합·차·곱·몫의 극한은 그냥 L과 M으로 계산돼요. 곱은 LM, 합은 L+M 하는 식이죠. 몫은 분모 극한 M \ne 0일 때만 성립해요. 핵심 감각은 "극한 기호가 사칙연산 안으로 쑥 들어간다"예요. 여기서 따라 나오는 편한 결과가 있어요. \lim_{x\to a} x = a이고 상수는 그대로니, 다항함수는 그냥 x에 a를 넣으면 극한이 나와요.

직접대입

다항함수, 유리함수(분모 \ne 0인 곳), \sqrt{\ }·삼각·지수 같은 함수는 연속(continuous)이에요. 연속이라는 건 그래프가 그 점에서 끊기지 않고 이어져 있다는 뜻인데, 이럴 때는

\lim_{x\to a} f(x) = f(a)

가 성립해요. 즉 그냥 대입하면 끝이에요. 극한 문제의 8할은 사실 대입 한 번으로 풀려요. 그래서 극한을 만나면 제일 먼저 a를 넣어보는 게 정석이에요.

0/0 처리

대입했더니 \frac{0}{0}이 나오면, 그건 "답이 0"이 아니라 "아직 모른다"는 신호예요. 이걸 부정형이라 불러요. 분자·분모가 동시에 0이 됐다는 건 둘 다 (x-a)라는 공통 인수를 품고 있다는 뜻이라, 인수분해해서 그 (x-a)를 약분하면 문제가 풀려요. 루트가 끼면 켤레를 곱하는 유리화로 같은 약분을 만들어내고요. 약분으로 골칫거리를 없앤 다음에 대입하는 게 순서예요.

조임정리

f(x)가 직접 다루기 어려울 때, 그 위아래를 감싸는 두 함수로 값을 가둬요. a 근처에서 g(x) \le f(x) \le h(x)인데 양쪽 g와 h가 같은 값 L로 수렴하면, 사이에 낀 f도 별수 없이 L로 가요. 양쪽에서 조여드니 가운데도 그 값일 수밖에 없다는 직관이에요. \lim_{x\to 0} x^2 \sin\frac{1}{x}처럼 진동해서 대입이 안 되는 극한에 잘 들어맞아요.

수식 하나하나 뜯어보기

수식 뜯어보기

극한 법칙(발췌) — \lim f, \lim g가 존재할 때

\lim_{x\to a}\,[f(x) + g(x)] = \lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a} g(x)

\lim_{x\to a}\,[f(x)\,g(x)] = \lim_{x\to a} f(x)\,\cdot\,\lim_{x\to a} g(x)

조임정리 — a 근처에서 g(x) \le f(x) \le h(x)이고

\lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L \;\Longrightarrow\; \lim_{x\to a} f(x) = L

기호	읽는 법	뜻
\lim_{x\to a}	"리미트 엑스가 에이로"	x를 a에 가까이 보낼 때의 행방
f(a)	"에프 에이"	함수에 a를 대입한 값
\frac{0}{0}	"영 분의 영"	부정형 — 값이 아직 안 정해짐
g \le f \le h	"지 작거나 같다 에프…"	f를 위아래로 가둔 상태

문장으로 읽으면: "합의 극한은 극한의 합이고, 곱의 극한은 극한의 곱이에요. 그리고 어떤 함수를 같은 값으로 가는 두 함수가 위아래로 감싸면, 그 사이 함수도 같은 값으로 가요."

손으로 따라가는 예제

\lim_{x\to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}를 구해 봅시다.

먼저 대입: x = 2를 넣으면 분자 2^2 - 4 = 0, 분모 2 - 2 = 0 → \frac{0}{0} 부정형이에요. 대입만으론 안 돼요.
인수분해: 분자를 x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)로 쪼개요. 분모의 (x-2)와 짝이 보이죠.
약분: \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2. 단, x \ne 2인 상태에서 약분한 거예요(극한은 x=2가 아니라 그 근처만 보니 문제없어요).
이제 대입: \lim_{x\to 2}\,(x + 2) = 2 + 2 = 4.

그래서 \lim_{x\to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 4예요. \frac{0}{0}을 만나면 "약분 → 대입" 두 스텝, 이 패턴을 몸에 익히면 돼요.

흔한 헷갈림

핵심 정리

극한 계산의 첫 수는 직접대입. 연속인 함수면 \lim_{x\to a} f(x) = f(a)로 바로 끝나요.
극한 법칙: 합·차·곱·몫·상수배·거듭제곱은 극한과 순서를 바꿔도 돼요(몫은 분모 극한 \ne 0).
대입해서 \frac{0}{0}이면 부정형 — 인수분해·유리화로 약분한 뒤에 대입해요.
조임정리: 같은 값으로 가는 두 함수로 위아래를 가두면 사이 함수도 그 값.
뒤에서 다시 만나는 곳: 1.8 연속에서 "대입해도 되는 함수"의 정체를 정확히 정의하고, 2장 도함수에서는 \frac{f(x+h)-f(x)}{h}가 항상 \frac{0}{0}이라 이 절의 약분 기술을 매번 써먹게 돼요.

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