한눈에 보기
x가 어떤 값 a에 점점 다가갈 때 f(x)가 어떤 수 L에 점점 다가가면, "x가 a로 갈 때 f의 극한이 L"이라고 하고 \lim_{x\to a}f(x)=L이라고 써요. 여기서 중요한 건 x=a 그 자체가 아니라 그 근처라는 점이에요. a에서 함숫값이 얼마인지, 심지어 정의돼 있는지조차 극한과는 상관없어요.
- 극한의 직관: 다가가는 값, 도착하는 값이 아니라 향하는 값
- 좌극한·우극한 — 왼쪽에서, 오른쪽에서 따로 다가가기
- 극한이 없는 경우와 무한대 극한(수직점근선)
먼저 알아야 할 것
개념 설명
극한 직관
\lim_{x\to a}f(x)=L은 "x를 a에 충분히 가깝게(단, a는 빼고) 두면 f(x)를 L에 원하는 만큼 가깝게 만들 수 있다"는 뜻이에요. 핵심은 x\ne a라는 조건이에요. 예를 들어
는 x=1에서 분모가 0이라 정의되지 않아요. 하지만 x\ne 1이면 약분해서 f(x)=x+1이고, x를 1에 가까이 보내면 값이 2로 향해요. 그래서 \lim_{x\to 1}f(x)=2예요. x=1에서 뚫려 있어도(구멍) 극한은 멀쩡히 존재하죠. 극한은 도착점이 아니라 향하는 곳을 보는 거예요.
좌·우극한
a로 다가가는 길은 두 갈래예요. a보다 작은 쪽에서 다가가는 걸 좌극한, 큰 쪽에서 다가가는 걸 우극한이라 해요.
여기서 a^-는 왼쪽에서, a^+는 오른쪽에서 다가간다는 표시예요. 그리고 결정적인 규칙 하나.
좌극한과 우극한이 서로 같을 때만 극한이 존재하고, 그 공통값이 \lim_{x\to a}f(x)예요.
둘이 다르면(왼쪽은 1로, 오른쪽은 3으로 향하면) 양쪽 극한은 각각 존재하지만, 통합된 극한 \lim_{x\to a}f(x)는 없어요.
극한이 없는 대표적인 경우는 세 가지예요. (1) 좌·우극한이 다른 도약, (2) \sin(1/x)처럼 끝없이 흔들리는 진동, (3) 값이 한없이 커지거나 작아지는 발산이에요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
조각으로 정의된 함수의 좌·우극한을 봅시다.
x=2에서 극한을 따져 볼게요.
- 좌극한: x<2 구간은 f(x)=x+1이에요. x를 2에 왼쪽에서 밀면 2+1=3으로 향해요. 그래서 \lim_{x\to 2^-}f(x)=3.
- 우극한: x>2 구간은 f(x)=x^2이에요. x를 2에 오른쪽에서 밀면 2^2=4로 향해요. 그래서 \lim_{x\to 2^+}f(x)=4.
- 판정: 좌극한 3과 우극한 4가 서로 달라요. 따라서 \lim_{x\to 2}f(x)는 존재하지 않아요. x=2에서의 함숫값이 5라는 사실은 판정과 무관하고요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- \lim_{x\to a}f(x)=L은 x가 a에 다가갈 때 f(x)가 L로 향한다는 뜻. x=a 자체와는 무관해요.
- 좌극한 = 우극한일 때만 극한이 존재해요. 다르면 통합 극한은 없어요.
- 극한이 없는 경우: 도약·진동·발산. 값이 무한히 커지면 수직점근선.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 1.6에서 극한을 실제로 계산하는 법칙들을, 1.8에서 극한으로 연속을 정의해요. 그리고 이 극한이 2장 미분의 출발점이에요.