한눈에 보기
세상의 많은 현상은 "무엇이 무엇을 결정하는가"라는 관계로 되어 있어요. 요금은 사용량에 따라, 매출은 광고비에 따라 정해지죠. 이 관계를 함수라는 규칙으로 옮겨 적은 게 수학적 모델(mathematical model)이에요. 이번 절은 현실을 모델로 바꾸는 흐름과, 그때 자주 등장하는 핵심 함수족들의 카탈로그를 훑어요.
- 모델링의 흐름: 현실 → 함수 → 예측 → 검증
- 대표 함수족: 일차·다항·거듭제곱·유리·삼각·지수·로그 함수
- 각 함수족의 그래프 모양과 성격
- 데이터에 직선을 맞추는 선형모델(회귀의 씨앗)
먼저 알아야 할 것
개념 설명
함수족들
같은 형태를 공유하는 함수끼리 묶은 게 함수족(family)이에요. 하나씩 성격을 볼게요.
일차함수(linear). f(x) = ax + b 꼴. 그래프는 직선이에요. a는 기울기(변화의 속도), b는 y절편(시작값)이죠. "일정한 비율로 변한다"는 현상을 나타내요.
다항함수(polynomial). f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 꼴. 가장 높은 차수 n이 차수(degree)예요. 2차는 포물선, 3차는 굽이치는 곡선처럼 차수가 클수록 더 많이 휘어요. 일차함수도 차수 1인 다항함수예요.
거듭제곱함수(power). f(x) = x^a 꼴. a가 양의 정수면 다항함수의 일부지만, a = \tfrac{1}{2}이면 \sqrt{x}, a = -1이면 1/x처럼 뿌리·역수까지 넓게 포함해요.
유리함수(rational). 다항식을 다항식으로 나눈 f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} 꼴. 분모가 0이 되는 지점은 정의역에서 빠지고, 거기서 그래프가 치솟는 점근선이 생겨요.
삼각함수(trigonometric). \sin x, \cos x 등. 주기적으로 오르내려요 — 파동·계절·진동처럼 반복되는 현상에 써요.
지수함수(exponential). f(x) = b^x 꼴(b > 0). 입력이 커지면 폭발적으로 커져요(또는 줄어요). 복리, 인구 증가, 감염 확산의 언어예요.
로그함수(logarithmic). f(x) = \log_b x. 지수함수를 뒤집은 함수로, 큰 수를 다루기 쉬운 크기로 눌러줘요(로그 스케일). AI에서 손실함수나 확률을 다룰 때 자주 나와요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
선형모델 만들기. 어느 가게가 광고비 x(만원)에 따라 매출 y(만원)를 기록했어요. 두 지점 (1, 30)과 (3, 50)을 얻었다고 해봐요.
- 기울기 구하기: a = \dfrac{50 - 30}{3 - 1} = \dfrac{20}{2} = 10. 광고비 1만원당 매출이 10만원 늘어난다는 뜻이에요.
- 절편 구하기: y = 10x + b에 (1, 30)을 넣으면 30 = 10 + b, 즉 b = 20이에요.
- 모델 완성: y = 10x + 20. 광고를 안 해도(x = 0) 기본 매출 20만원, 쓸수록 직선으로 늘어난다는 예측이죠.
- 예측해보기: 광고비 5만원이면 y = 10 \cdot 5 + 20 = 70만원.
실제 데이터는 점들이 직선에서 살짝 벗어나 있어요. 그 흩어진 점들에 가장 잘 맞는 직선 하나를 찾는 게 다음 단계인 선형회귀예요.
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 수학적 모델 = 현실의 관계를 함수로 옮긴 것. 흐름은 현실 → 함수 → 예측 → 검증.
- 핵심 함수족: 일차·다항·거듭제곱·유리·삼각·지수·로그. 각각 그래프 모양과 성격으로 구분해요.
- 데이터에 직선을 맞추는 선형모델 y = ax + b는 가장 기본적인 모델이고, 곧 선형회귀로 이어져요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 1.3 함수 조합에서 이 함수족들을 이동·확대·합성해 새 함수를 만들어요. 그리고 지수·로그는 나중에 미분·머신러닝의 손실함수에서 다시 만나요.