1.1 함수를 표현하는 네 가지 방법

한눈에 보기

함수(function)는 입력 하나에 출력을 딱 하나만 짝지어 주는 규칙이에요. "어떤 값을 넣든 결과는 한 개"라는 이 약속이 함수의 전부예요. 같은 함수라도 표현하는 방법은 네 가지예요 — 말(언어)·표·그래프·식(공식). 어떤 상황에선 표가 편하고, 어떤 땐 그래프나 식이 편하죠. 그래서 넷을 자유롭게 오가는 감각이 중요해요.

• 함수 = 입력 하나에 출력 하나 (핵심 규칙)
• 네 가지 표현: 말 · 표 · 그래프 · 식
• 정의역·치역, 수직선 판정법, 조각함수, 우/기함수

먼저 알아야 할 것

개념 설명

함수란 무엇인가

함수는 한 집합(정의역)의 각 원소 x에, 다른 집합의 원소 f(x)를 정확히 하나씩 대응시키는 규칙이에요. 여기서 "하나씩"이 핵심이에요. 입력 하나에 출력이 둘이면 함수가 아니에요. 자판기를 떠올리면 쉬워요 — A1 버튼을 누르면 늘 같은 콜라가 나와야지, 누를 때마다 다른 게 나오면 고장이잖아요. 함수도 그래요.

네 가지 표현 방법

같은 함수를 네 방식으로 나타낼 수 있어요.

• 말(언어): "정사각형의 넓이는 한 변 길이의 제곱이에요." 규칙을 문장으로 설명해요.
• 표: 입력과 출력을 짝지어 나열해요. 실험·측정 데이터가 대표적이에요.
• 그래프: 점 (x, f(x))를 평면에 찍어 전체 모양을 한눈에 보여줘요.
• 식(공식): A = s^2처럼 기호로 압축해요. 계산과 일반화에 가장 강력해요.

넷은 서로를 오갈 수 있어요. 표만 있어도 점을 찍으면 그래프가 되고, 규칙을 찾으면 식이 되죠. 데이터에서 식을 찾는 게 바로 회귀·모델링이에요.

정의역과 치역

정의역(domain)은 넣을 수 있는 입력 x의 모임이에요. 치역(range)은 그때 나오는 출력 f(x)의 모임이고요. 식만 주어지면 보통 "계산이 되는 모든 x"를 정의역으로 삼아요. 예를 들어 f(x) = \sqrt{x}는 루트 안이 음수면 안 되니 정의역이 x \ge 0이에요.

수직선 판정법

그래프가 함수인지 아닌지는 수직선 판정법(vertical line test)으로 가려요. 세로선을 아무 데나 그었을 때 그래프와 많아야 한 점에서 만나면 함수예요. 두 점 이상에서 만나면, 그 x 하나에 y가 둘이라는 뜻이라 함수가 아니에요. 원 x^2 + y^2 = 1이 함수가 아닌 이유가 이거예요 — 세로선이 위아래 두 점을 지나거든요.

조각함수, 대칭, 증가·감소

• 조각함수(piecewise): 구간마다 다른 식을 쓰는 함수예요. 절댓값 \lvert x \rvert가 대표적으로, x \ge 0이면 x, x < 0이면 -x죠.
• 우함수(even): f(-x) = f(x). 그래프가 y축 대칭이에요(예: x^2).
• 기함수(odd): f(-x) = -f(x). 원점 대칭이에요(예: x^3).
• 증가/감소: x가 커질 때 f(x)도 커지면 증가, 작아지면 감소예요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

f(x) = \dfrac{1}{x - 2}의 정의역과 치역을 구해 봅시다.

1. 정의역: 분모가 0이면 안 되니 x - 2 \ne 0, 즉 x \ne 2. 정의역은 2를 뺀 모든 실수예요.
2. 치역: 분자가 1인 분수 \dfrac{1}{c}는 c가 무엇이든 절대 0이 될 수 없어요. 그래서 0은 치역에서 빠져요. 거꾸로 0이 아닌 어떤 값 y를 원하면 x = 2 + \dfrac{1}{y}를 넣으면 정확히 그 값이 나와요. 결국 치역은 0을 뺀 모든 실수예요. (이렇게 식을 거꾸로 푸는 감각은 뒤에서 역함수를 배울 때 다시 써요.)
3. 확인: x가 2에 아주 가까워지면 분모가 0에 가까워져 f(x)가 엄청 커지거나 작아져요. 반대로 x가 아주 커지면 f(x)는 0에 가까워지지만 0에는 닿지 않죠.

흔한 헷갈림

핵심 정리

• 함수 = 입력 하나에 출력 정확히 하나. 이게 전부이자 핵심이에요.
• 같은 함수를 말·표·그래프·식 네 가지로 표현하고, 자유롭게 오갈 수 있어요.
• 정의역은 넣을 수 있는 입력, 치역은 나오는 출력. 그래프가 함수인지는 수직선 판정법으로 가려요.
• 조각함수·우/기함수·증가/감소로 함수의 모양을 더 자세히 읽어요.
• 뒤에서 다시 만나는 곳: 1.2에서 일차·다항·유리·삼각·지수 같은 함수의 종류를 하나씩 살펴보며, 각자 어떤 모양과 쓰임을 갖는지 배워요.