한눈에 보기
2.1에서 도함수를 "특정 점 a에서의 순간변화율"로 배웠어요. 그런데 a 자리를 아무 점 x로 열어두면, 도함수는 점마다 값이 정해지는 새로운 함수가 돼요. 이게 이 절의 핵심이에요 — f'을 하나의 함수로 보는 관점이죠.
- f'(x) = 원래 함수 f에서 "각 점의 기울기"를 뽑아 만든 새 함수
- 여러 표기법: f'(x), \frac{dy}{dx}, \frac{df}{dx}
- 미분가능하면 연속이에요(하지만 그 역은 거짓)
- f'을 또 미분한 이계도함수 f''
먼저 알아야 할 것
개념 설명
도함수 함수
2.1의 정의에서 점 a를 고정하지 않고 변수 x로 두면 이렇게 돼요.
이제 x에 어떤 값을 넣느냐에 따라 f'(x) 값이 정해지죠. 즉 f'은 그 자체로 입력 하나에 출력 하나인 함수예요. 입력 x를 넣으면 "그 점에서 f의 기울기"가 나오는 함수인 거죠. 원래 함수 f의 그래프가 오르막이면 f'(x) > 0, 내리막이면 f'(x) < 0, 봉우리나 골짜기(수평)면 f'(x) = 0이에요. 그래서 f의 그래프만 보고도 f'의 그래프 모양을 대강 그릴 수 있어요.
f'(x)를 구할 수 있는 모든 x의 모임이 f'의 정의역이에요. 이건 원래 f의 정의역보다 작을 수 있어요 — 뒤에서 볼 "뾰족점" 같은 곳에선 f'이 정의가 안 되거든요.
미분가능성
어떤 점 x = a에서 위 극한이 존재하면, f는 그 점에서 미분가능(differentiable)하다고 해요. 구간 전체에서 미분가능하면 그 구간에서 미분가능하다고 하고요.
핵심 정리 하나: 미분가능하면 연속이에요. 직관적으로, 어느 점에서 매끄러운 접선이 그어지려면 그래프가 그 점에서 끊기지 않아야 하니까요. 하지만 역은 성립하지 않아요 — 연속이라고 다 미분가능한 건 아니에요. 이어져 있어도 기울기가 정의되지 않는 점이 있거든요. 미분이 안 되는 대표적 경우는 세 가지예요.
- 뾰족점(corner): f(x) = \vert x \vert의 원점처럼 꺾이는 곳. 왼쪽 기울기(-1)와 오른쪽 기울기(+1)가 달라서 극한이 하나로 안 모여요.
- 수직접선: f(x) = \sqrt[3]{x}의 원점처럼 접선이 수직이 되는 곳. 기울기가 무한대로 발산해요.
- 불연속점: 그래프가 끊긴 곳. 애초에 연속이 아니니 미분도 안 돼요.
이계도함수
f'도 함수니까 또 미분할 수 있어요. 그 결과가 이계도함수(second derivative) f'' = (f')'이에요. 표기로는 f''(x) 또는 \dfrac{d^2y}{dx^2}("디제곱 와이 디엑스제곱")라고 써요. 대표적인 예가 운동이에요 — 위치 s(t)를 미분하면 속도 v = s', 속도를 또 미분하면 가속도 a = v' = s''이죠. 그래프에서는 f''의 부호가 곡선이 굽는 방향(오목·볼록)을 알려줘요.
수식 하나하나 뜯어보기
손으로 따라가는 예제
f(x) = x^2의 도함수 함수 f'(x)를 정의로 구해봅시다.
- 정의에 대입: f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h}
- 분자 전개: (x+h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2
- h로 나누기: \dfrac{2xh + h^2}{h} = 2x + h (단 h \neq 0)
- 극한: \lim\limits_{h \to 0} (2x + h) = 2x
그래서 f'(x) = 2x예요. 이건 값 하나가 아니라 함수죠. x = 1을 넣으면 기울기 2, x = 3을 넣으면 기울기 6 — 점마다 다른 기울기를 이 한 함수가 전부 담고 있어요. x = 0에서 f'(0) = 0인 것도 맞아요(x^2의 바닥은 수평이니까요).
흔한 헷갈림
핵심 정리
- 도함수 f'(x)는 값이 아니라 함수 — 각 점의 기울기를 뽑아 만든 새 함수예요.
- 표기법은 f'(x), y', \frac{dy}{dx}, \frac{df}{dx}가 다 같은 뜻이에요(라그랑주 vs 라이프니츠).
- 미분가능 ⟹ 연속, 하지만 역은 거짓. 뾰족점·수직접선·불연속점에선 미분이 안 돼요.
- f'을 또 미분하면 이계도함수 f''(가속도·굽는 방향)이에요.
- 뒤에서 다시 만나는 곳: 매번 극한으로 구하긴 번거로우니, 2.3에서 \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} 같은 미분공식으로 곧장 계산하는 법을 배워요.