14.3 편도함수

Partial Derivatives

한눈에 보기

다변수함수 f(x, y)는 입력이 둘이라 "기울기"도 방향마다 달라요. 편도함수(partial derivative)는 이걸 가장 단순하게 푸는 방법이에요 — 나머지 변수를 상수로 고정하고, 딱 한 변수로만 미분하는 거죠. x로만 미분한 걸 \frac{\partial f}{\partial x} 또는 f_x라고 써요. 기하적으로는 곡면을 한 방향으로 자른 단면 곡선의 기울기예요.

f_x = y를 상수로 두고 x로 미분 / f_y = x를 상수로 두고 y로 미분
기호 \partial은 "라운드" 또는 "파셜"이라고 읽어요
2차 편도함수 f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}와 클레로 정리(f_{xy} = f_{yx})

먼저 알아야 할 것

개념 설명

한 변수만 빼고 다 얼려요

f(x, y)의 기울기를 물으면 곤란해요 — x 방향으로 갈 때와 y 방향으로 갈 때 경사가 다르니까요. 그래서 질문을 쪼개요. "y는 지금 값에 고정해두고, x만 살짝 움직이면 f가 얼마나 변하나?" 이게 x에 대한 편도함수 f_x예요. y를 상수로 보면 f는 결국 x 하나만의 함수가 되고, 우리가 아는 1변수 미분을 그대로 하면 돼요.

예를 들어 f(x, y) = 3x^2 y라면, f_x를 구할 때 y는 그냥 숫자 취급이에요. 그러면 3y가 계수인 x^2를 미분하는 셈이라 f_x = 6xy가 되죠. 반대로 f_y는 x를 고정하니 3x^2이 계수인 y를 미분해서 f_y = 3x^2이에요.

기하적 의미 — 곡면을 칼로 자른 단면

곡면 z = f(x, y)를 생각해봐요. y = b라는 값에 고정하는 건, 곡면을 y = b 평면으로 칼처럼 자르는 거예요. 그 단면은 하나의 곡선이 되고, 이 곡선은 x 하나만의 함수예요. f_x(a, b)는 바로 그 단면 곡선이 점 x = a에서 갖는 기울기(접선의 경사)예요. 마찬가지로 f_y(a, b)는 x = a 평면으로 잘랐을 때 단면 곡선의 기울기고요. 그래서 편도함수를 "그 방향으로의 기울기"라고 부르는 거예요.

2차 편도함수와 클레로 정리

편도함수 f_x도 여전히 x, y의 함수예요. 그러니 또 미분할 수 있죠. f_x를 다시 x로 미분하면 f_{xx}, y로 미분하면 f_{xy}예요. 이렇게 네 가지가 나와요: f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}. 여기서 f_{xy}와 f_{yx}처럼 두 변수로 섞어 미분한 걸 혼합편도함수(mixed partial)라고 해요.

놀라운 사실은, 이 혼합편도가 연속이기만 하면 미분 순서를 바꿔도 결과가 같다는 거예요. 즉 f_{xy} = f_{yx}. 이게 클레로 정리(Clairaut's theorem)예요. "x 먼저 미분하고 y"나 "y 먼저 미분하고 x"나 답이 똑같다는 뜻이라, 실제 계산에서 편한 순서로 해도 돼요.

3변수 이상도 똑같아요

f(x, y, z)처럼 입력이 셋이어도 규칙은 그대로예요. f_x를 구할 땐 y, z를 둘 다 상수로 고정하고 x로만 미분하면 돼요. 입력이 아무리 많아도 "지금 미분하는 변수 하나만 살리고 나머지는 다 얼린다"는 원칙은 변하지 않아요.

수식 하나하나 뜯어보기

수식 뜯어보기

편도함수의 정의와 표기

f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h,\, y) - f(x,\, y)}{h}

기호	읽는 법	뜻
\partial	"라운드" / "파셜"	편미분 기호(변수 하나로만 미분)
\dfrac{\partial f}{\partial x}	"라운드 에프 라운드 엑스"	y 고정, x로 미분
f_x	"에프 서브 엑스"	위와 같은 뜻(간편 표기)
f_{xy}	"에프 엑스 와이"	먼저 x로, 그다음 y로 미분

문장으로 읽으면: "y는 그 자리에 고정한 채로 x만 아주 조금(h) 밀었을 때, f 값이 그 밀어낸 양에 비해 얼마나 변하는지의 극한이에요." 극한 정의에서 y가 양쪽에 똑같이 들어가 있는 게 곧 "y를 고정했다"는 표현이에요.

손으로 따라가는 예제

f(x, y) = x^2 y + \sin y의 편도함수를 모두 구해봅시다.

f_x (y 고정): x^2 y에서 y는 상수이니 2xy. \sin y는 x가 없어 상수라서 미분하면 0. 따라서

f_x = 2xy

f_y (x 고정): x^2 y에서 x^2은 상수 계수라 미분하면 x^2. \sin y는 y로 미분하면 \cos y. 따라서

f_y = x^2 + \cos y

2차 편도함수: f_x = 2xy를 다시 미분하면 f_{xx} = 2y, f_{xy} = 2x. f_y = x^2 + \cos y를 미분하면 f_{yx} = 2x, f_{yy} = -\sin y.
클레로 정리 확인: f_{xy} = 2x이고 f_{yx} = 2x, 정말 같아요. 순서를 바꿔도 결과가 일치하죠.

흔한 헷갈림

핵심 정리

편도함수 = 나머지 변수 고정 + 한 변수로만 미분. f_x는 y 고정, f_y는 x 고정.
기호 \partial("라운드")를 쓰고, \frac{\partial f}{\partial x} = f_x는 같은 뜻이에요.
기하적으로는 곡면을 한 평면으로 자른 단면 곡선의 기울기, 즉 그 방향의 경사예요.
2차 편도함수 f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}가 있고, 연속이면 클레로 정리로 f_{xy} = f_{yx}예요.
뒤에서 다시 만나는 곳: 편도함수들을 벡터로 모으면 그래디언트(14.6)가 되어 "가장 가파른 방향"을 가리키고, 이 기울기들로 곡면에 딱 붙는 평면을 세우는 게 접평면(14.4)이에요.

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