조현태아주대학교 수학과
Lecture · 11

11.2 급수

Series

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무한히 많은 수를 더하면 어떻게 될까요? 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots처럼 항이 끝없이 이어지는 덧셈을 무한급수(series) \sum a_n이라고 해요. 무한히 많은 걸 다 더하는 건 불가능하니, 대신 앞에서부터 n개까지만 더한 값(부분합 s_n)을 보고, 이 부분합이 어떤 값에 가까워지는지로 급수의 합을 정해요.

  • 무한급수 \sum a_n = 부분합 s_n의 극한
  • 기하급수 \sum ar^n — 가장 중요한 예 (\vert r\vert < 1이면 수렴)
  • 발산 판정: 항 a_n이 0으로 안 가면 급수는 발산
  • 조화급수 \sum \frac{1}{n} — 항은 0으로 가는데도 발산

먼저 알아야 할 것

개념 설명

부분합 — 무한합을 극한으로 바꾸기

무한히 더하는 걸 직접 할 수는 없으니, 앞에서부터 n개만 더해봐요. 이걸 n번째 부분합(partial sum)이라고 하고 s_n으로 써요.

s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n

이제 n을 키워가며 s_1, s_2, s_3, \dots이 어떤 값에 가까워지는지 봐요. 이 부분합 수열이 어떤 유한한 값 s로 수렴하면, 그 s를 급수의 합이라 하고 급수가 수렴한다고 해요. 반대로 부분합이 무한대로 가거나 한 값으로 안 모이면 발산이에요.

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} s_n

핵심은, 무한급수라는 새로운 대상을 만든 게 아니라 부분합이라는 수열의 극한으로 되돌린 거예요. 11.1에서 배운 극한 도구가 그대로 쓰이죠.

기하급수 — 가장 중요한 예

항끼리의 비가 항상 일정한 급수, 즉 같은 수 r을 계속 곱해 만든 급수를 기하급수(geometric series)라고 해요.

a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n

여기서 a는 첫 항, r은 공비(비율)예요. 예를 들어 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots는 a = 1, r = \frac{1}{2}이죠. 기하급수가 특별한 건 합이 정확한 공식으로 나온다는 점이에요.

  • \vert r\vert < 1이면 곱할수록 항이 작아져 수렴하고, 합은 \dfrac{a}{1-r}이에요.
  • \vert r\vert \ge 1이면 항이 안 줄어들어 발산해요.

\frac{1}{2}씩 더하는 위 예는 \frac{1}{1 - 1/2} = 2로 수렴해요 — 무한히 더해도 2를 넘지 않죠.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4^n} = \frac{3}{4} + \frac{3}{16} + \frac{3}{64} + \cdots 의 합을 구해봅시다.

  1. 꼴 맞추기: 각 항을 보면 \frac{3}{4^n}이에요. 첫 항(n=1)은 \frac{3}{4}이고, 다음 항으로 갈 때마다 \frac{1}{4}씩 곱해져요. 그러니 a = \frac{3}{4}, 공비 r = \frac{1}{4}인 기하급수예요.
  2. 수렴 확인: \vert r\vert = \frac{1}{4} < 1이니 수렴해요. 공식을 써도 돼요.
  3. 합 계산: \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{3/4}{1 - 1/4} = \dfrac{3/4}{3/4} = 1.

그래서 이 무한합은 정확히 1이에요. 항을 아무리 많이 더해도 1을 넘지 않고 1에 점점 가까워지죠.

흔한 헷갈림

핵심 정리

  • 무한급수 \sum a_n의 합은 부분합 s_n의 극한으로 정의돼요. 결국 11.1의 수열 극한 문제예요.
  • 기하급수 \sum ar^n은 \vert r\vert < 1일 때 \dfrac{a}{1-r}로 수렴하고, 그 외엔 발산해요 — 가장 많이 쓰는 급수예요.
  • 항이 0으로 안 가면 발산(발산 판정). 하지만 항이 0으로 가도 수렴은 보장 안 돼요(조화급수 반례).
  • 뒤에서 다시 만나는 곳: 항이 0으로 가는 급수의 수렴 여부는 11.3(적분판정)·11.4(비교판정)·11.5(교대급수)·11.6(비율·근판정)에서 여러 판정법으로 가려내요. 이 절은 그 판정법들의 출발점이에요.

연습문제

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11.2 급수 · 권장문제 풀이

해설 · 📄 교재 p.776

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문제 15. a_n = \dfrac{2n}{3n+1} 일 때

(a) 수열 \{a_n\} 이 수렴하는지 판정하세요.

(b) 급수 \sum_{n=1}^{\infty} a_n 이 수렴하는지 판정하세요.

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이 문제는 "수열"과 "급수"가 다르다는 점을 확인하는 문제예요. 수열은 항 하나하나가 어디로 가는지 보는 것이고, 급수는 그 항들을 전부 더한 값이 어디로 가는지 보는 것이에요.

(a) 수열 \{a_n\} 의 수렴

분자와 분모를 모두 n 으로 나눠서 극한을 계산해요.

\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{3n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3 + \frac{1}{n}} = \frac{2}{3+0} = \frac{2}{3}

\frac{1}{n} \to 0 이므로 수열은 \frac{2}{3} 로 수렴해요.

(b) 급수 \sum a_n 의 수렴

여기서 핵심은 발산 판정법(Test for Divergence) 이에요. 급수가 수렴하려면 더하는 항이 반드시 0 으로 가야 해요. 만약 항이 0 이 아닌 값으로 가면, 무한히 더할 때 계속 그만큼씩 쌓이므로 합이 무한대로 벌어져요.

(a)에서 구했듯이

\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{2}{3} \neq 0

항이 0 이 아니라 \frac{2}{3} 으로 가므로, 급수는 발산해요.

검산. 부분합을 대충 그려보면, 항이 계속 \frac{2}{3} 근처(a_1 = \frac{2}{4} = 0.5, a_{10} = \frac{20}{31} \approx 0.645, \dots)이므로 n 항까지 더하면 대략 0.6n 만큼 커져요. n 이 커질수록 부분합이 한없이 커지니 발산이 맞아요.

답. (a) 수렴(\frac{2}{3} 으로) / (b) 발산

문제 34. 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하고, 수렴하면 합을 구하세요.

\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{4}{5} + \frac{5}{6} + \frac{6}{7} + \cdots
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먼저 일반항 a_n 의 규칙을 찾아야 해요. 분자는 1, 2, 3, 4, \dots 이고 분모는 그보다 1 큰 2, 3, 4, 5, \dots 예요. 따라서

a_n = \frac{n}{n+1}

이제 발산 판정법을 써요. 일반항의 극한을 구하면

\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{1+0} = 1

항이 0 이 아니라 1 로 가므로, 급수는 발산해요.

검산. 항 하나하나가 거의 1 에 가까워요(a_1 = 0.5, a_5 \approx 0.833, a_{100} \approx 0.99). 거의 1 씩 무한히 더하는 셈이라 부분합이 끝없이 커져요. 발산이 맞아요.

답. 발산

문제 39. 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하고, 수렴하면 합을 구하세요.

\sum_{n=1}^{\infty} 3^{\,n+1} \, 4^{-n}
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지수가 섞여 있어 복잡해 보이지만, 지수 법칙으로 정리하면 기하급수(등비급수)라는 게 보여요.

먼저 3^{n+1} = 3 \cdot 3^{n} 이고 4^{-n} = \frac{1}{4^{n}} 이므로

3^{\,n+1} \, 4^{-n} = 3 \cdot \frac{3^{n}}{4^{n}} = 3 \left( \frac{3}{4} \right)^{n}

따라서 급수는

\sum_{n=1}^{\infty} 3 \left( \frac{3}{4} \right)^{n}

기하급수의 합 공식을 쓰려면 \sum ar^{n-1} 꼴로 맞추는 게 편해요. 첫 항(n=1)을 직접 구하면

a = 3 \left( \frac{3}{4} \right)^{1} = \frac{9}{4}, \qquad r = \frac{3}{4}

공비 r = \frac{3}{4} 는 \vert r \vert < 1 이므로 수렴해요. 합 공식 \dfrac{a}{1-r} 에 대입하면

\sum_{n=1}^{\infty} 3 \left( \frac{3}{4} \right)^{n} = \frac{\frac{9}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{4}} = 9

검산. 상수 3 을 앞으로 빼서 \sum \left(\frac{3}{4}\right)^n 만 따로 계산해도 돼요.

\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{4} \right)^{n} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3

여기에 3 을 곱하면 3 \times 3 = 9 로 같은 값이 나와요. 앞의 몇 항을 실제로 더해봐도 2.25 + 1.6875 + 1.2656 + \cdots 로 9 를 향해 다가가요.

답. 수렴, 합은 9

문제 69. 어떤 급수 \sum_{n=1}^{\infty} a_n 의 n 번째 부분합이

s_n = \frac{n-1}{n+1}

일 때, a_n 과 \sum_{n=1}^{\infty} a_n 을 구하세요.

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이 문제는 부분합 s_n 이 주어졌을 때 거꾸로 항 a_n 을 복원하는 문제예요. 핵심 관계는 다음과 같아요.

s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n

이므로 n 번째 항은 "지금까지의 합에서 바로 전까지의 합을 뺀 것"이에요.

a_n = s_n - s_{n-1} \quad (n \geq 2), \qquad a_1 = s_1

첫 항 a_1

a_1 = s_1 = \frac{1-1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0

n \geq 2 일 때 a_n

s_{n-1} 은 s_n 의 n 자리에 n-1 을 넣은 것이에요.

s_{n-1} = \frac{(n-1)-1}{(n-1)+1} = \frac{n-2}{n}

이제 빼요. 분모를 n(n+1) 로 통분해요.

a_n = \frac{n-1}{n+1} - \frac{n-2}{n} = \frac{(n-1)\,n - (n-2)(n+1)}{n(n+1)}

분자를 전개하면 (n-1)n = n^2 - n 이고 (n-2)(n+1) = n^2 - n - 2 이므로

(n^2 - n) - (n^2 - n - 2) = 2

따라서

a_n = \frac{2}{n(n+1)} \quad (n \geq 2)

이에요. 참고로 이 공식에 n=1 을 넣으면 \frac{2}{1 \cdot 2} = 1 이 나오는데, 실제 a_1 = 0 과 다르므로 첫 항만 따로 a_1 = 0 으로 둬야 해요.

급수의 합

급수의 합은 부분합 수열의 극한이에요.

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = 1

검산. s_1 = 0 이고, a_2 = \frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3} 이므로 s_2 = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} 이에요. 원식으로 확인하면 s_2 = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3} 로 일치해요. 또 a_3 = \frac{2}{3 \cdot 4} = \frac{1}{6} 이라 s_3 = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} 이고, 원식 s_3 = \frac{3-1}{3+1} = \frac{1}{2} 과 같아요. 항을 복원한 게 맞아요.

답. a_1 = 0, a_n = \dfrac{2}{n(n+1)} \ (n \geq 2), 급수의 합 = 1

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