조현태아주대학교 수학과
Lecture · 10

10.4 극좌표에서의 미적분

Calculus in Polar Coordinates

한눈에 보기

지금까지 넓이는 "곡선 아래 세로 막대를 쌓아" 구했어요(\int_a^b f(x)\,dx). 그런데 극좌표에서는 곡선이 원점을 부채꼴처럼 쓸고 지나가요. 그래서 막대 대신 얇은 부채꼴 조각을 쌓아 넓이를 재요. 이 장의 핵심은 그 넓이 공식 A = \int_a^b \frac{1}{2} r^2\, d\theta 하나예요. 여기에 극곡선의 호길이와 접선까지 얹으면, 극좌표에서의 미적분이 완성돼요.

  • 극곡선이 쓸고 지나간 넓이: A = \int_a^b \frac{1}{2} r^2\, d\theta
  • 극곡선의 호길이(곡선의 실제 길이)
  • 극곡선의 접선(기울기)

먼저 알아야 할 것

개념 설명

부채꼴 넓이 적분

극곡선 r = f(\theta)가 \theta = a에서 \theta = b까지 쓸고 지나간 영역의 넓이를 구해 볼게요. 각도를 아주 잘게 쪼개서, 폭이 d\theta인 아주 얇은 부채꼴 하나를 생각해요. 이 조각은 반지름이 거의 r = f(\theta)이고 중심각이 d\theta인 부채꼴이에요.

부채꼴 넓이는 \frac{1}{2} r^2 \theta니까, 이 얇은 조각의 넓이는 \frac{1}{2} r^2\, d\theta예요. 이런 조각을 \theta = a부터 \theta = b까지 전부 더하면(=적분하면), 전체 넓이가 나와요.

A = \int_a^b \frac{1}{2} \left[ f(\theta) \right]^2 d\theta = \int_a^b \frac{1}{2} r^2\, d\theta

세로 막대 넓이가 f(x)\, dx였다면, 여기서는 부채꼴 조각 넓이가 \frac{1}{2} r^2\, d\theta인 거예요. 도형만 막대에서 부채꼴로 바뀌었을 뿐, "얇은 조각을 쌓는다"는 정신은 똑같아요.

극곡선의 호길이와 접선

호길이와 접선은 새 공식을 외울 필요가 없어요. 극곡선 r = f(\theta)를 x = r\cos\theta, y = r\sin\theta로 쓰면 \theta를 매개변수로 하는 매개곡선이 되거든요. 여기에 10.2의 매개 호길이 공식을 넣고 \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1로 정리하면 교차항이 사라지면서

L = \int_a^b \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\, d\theta

가 나와요. 루트 안이 "원점까지의 거리 제곱 + 그 거리의 변화율 제곱"인, 극좌표판 피타고라스인 셈이에요. 접선 기울기도 마찬가지로 같은 매개변수 표현에 10.2의 \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}를 그대로 쓰면 돼요.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

극곡선 r = a(상수)가 그리는 넓이를 구해 볼게요. r이 각도와 상관없이 항상 a면, 이건 반지름 a인 원이에요. 원 넓이가 \pi a^2인 걸 이 공식으로 확인해 보죠.

  1. 원을 한 바퀴 다 훑으려면 \theta를 0(시작각)부터 2\pi(끝각)까지 돌려요.
  2. r = a를 넣으면 \frac{1}{2} r^2 = \frac{1}{2} a^2인데, 이건 \theta와 무관한 상수예요.
A = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} a^2\, d\theta = \frac{1}{2} a^2 \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{1}{2} a^2 \cdot 2\pi = \pi a^2
  1. 결과가 \pi a^2! 우리가 알던 원 넓이 공식과 정확히 같아요. 부채꼴 조각을 한 바퀴 쌓았더니 원 넓이가 나온 거죠.

흔한 헷갈림

핵심 정리

  • 극좌표 넓이는 세로 막대가 아니라 얇은 부채꼴 조각 \frac{1}{2} r^2\, d\theta를 쌓아 구해요.
  • 공식은 A = \int_a^b \frac{1}{2} r^2\, d\theta 하나. \frac{1}{2}와 r^2, 그리고 \theta 범위가 포인트예요.
  • r = a(원)에 넣으면 \pi a^2이 나와요 — 아는 공식과 딱 맞아요.
  • 뒤에서 다시 만나는 곳: 15.3에서 이중적분을 극좌표로 바꿀 때, 넓이 요소가 dA = r\, dr\, d\theta가 돼요. 여기 부채꼴 조각의 r이 그때 그 r이에요 — 원·원판 위의 적분이 훨씬 쉬워져요.

연습문제

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10.4 극좌표에서의 미적분 · 권장문제 풀이

해설 · 📄 교재 p.732

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문제 5. 아래 곡선으로 둘러싸인 색칠된 영역의 넓이를 구하세요.

r^2 = \sin 2\theta

(색칠된 부분은 제1사분면 쪽으로 뻗은 잎사귀 모양 고리 하나입니다.)

풀이 보기

극좌표에서 넓이는 부채꼴을 잘게 쪼개 더한 공식

A = \frac12 \int_a^b r^2 \, d\theta

로 구해요. 이 문제는 이미 r^2 = \sin 2\theta 형태라서 r^2 을 따로 제곱할 필요도 없어 편해요.

1단계 — 고리 하나의 각도 범위 찾기. r^2 은 음수가 될 수 없으니 \sin 2\theta \ge 0 인 구간만 곡선이 존재해요. \sin 2\theta \ge 0 은 0 \le 2\theta \le \pi, 즉

0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}

일 때 성립해요. 이 구간이 제1사분면의 잎사귀 하나를 정확히 한 바퀴 그려요. (\theta = 0 과 \theta = \tfrac{\pi}{2} 에서 r = 0 으로 원점을 지나고, \theta = \tfrac{\pi}{4} 에서 r 이 최대가 돼요.)

2단계 — 적분하기.

A = \frac12 \int_0^{\pi/2} \sin 2\theta \, d\theta

\sin 2\theta 의 부정적분은 -\tfrac12 \cos 2\theta 예요.

A = \frac12 \left[ -\frac12 \cos 2\theta \right]_0^{\pi/2} = -\frac14 \left( \cos \pi - \cos 0 \right)

\cos \pi = -1, \cos 0 = 1 이므로

A = -\frac14 \left( -1 - 1 \right) = -\frac14 \cdot (-2) = \frac12

검산. 넓이가 양수로 나왔고, 반지름 최대가 \theta = \tfrac{\pi}{4} 에서 r = \sqrt{\sin(\pi/2)} = 1 이니 이 잎사귀는 대략 한 변이 1 인 영역 안에 들어가요. 넓이 \tfrac12 은 그 규모와 잘 맞아요.

\boxed{A = \frac12}

문제 9. 곡선을 그리고, 그 곡선이 둘러싸는 영역의 넓이를 구하세요.

r = 4\cos\theta
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1단계 — 곡선 파악. r = a\cos\theta 꼴은 항상 원이에요. 양변에 r 을 곱하면 r^2 = 4r\cos\theta 이고, r^2 = x^2 + y^2, r\cos\theta = x 를 대입하면

x^2 + y^2 = 4x \;\Longrightarrow\; (x-2)^2 + y^2 = 4

즉 중심 (2, 0), 반지름 2 인 원이에요. 오른쪽으로 치우친 원을 그리면 돼요.

2단계 — 각도 범위. 이 원은 \theta 가 -\tfrac{\pi}{2} 에서 \tfrac{\pi}{2} 까지 갈 때 딱 한 바퀴 그려져요. (\theta = 0 에서 r = 4 로 가장 멀고, \theta = \pm\tfrac{\pi}{2} 에서 r = 0 으로 원점에 닿아요.) \theta 를 \pi 까지 늘리면 같은 원을 두 번 덧그리게 되니 조심해야 해요.

3단계 — 넓이 적분.

A = \frac12 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (4\cos\theta)^2 \, d\theta = \frac12 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 16 \cos^2\theta \, d\theta = 8 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta

\cos^2\theta 는 반각공식 \cos^2\theta = \tfrac{1 + \cos 2\theta}{2} 로 낮춰요.

8 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = 4 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta = 4 \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2}

\theta = \tfrac{\pi}{2} 에서 \sin 2\theta = \sin \pi = 0, \theta = -\tfrac{\pi}{2} 에서 \sin 2\theta = \sin(-\pi) = 0 이라 사인 항은 사라져요.

A = 4 \left[ \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) - \left( -\frac{\pi}{2} + 0 \right) \right] = 4 \cdot \pi = 4\pi

검산. 반지름 2 인 원의 넓이는 \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi 예요. 적분 결과와 정확히 일치해요.

\boxed{A = 4\pi}

문제 23. 첫 번째 곡선 안쪽이면서 두 번째 곡선 바깥쪽인 영역의 넓이를 구하세요.

r = 4\sin\theta, \qquad r = 2
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1단계 — 두 곡선 파악. r = 4\sin\theta 는 중심 (0, 2), 반지름 2 인 원(위로 올라간 원)이고, r = 2 는 원점 중심 반지름 2 인 원이에요. 구하려는 것은 위쪽 원 안이면서 가운데 원 밖인 초승달 모양 영역이에요.

2단계 — 교점의 각도 찾기. 두 r 이 같아지는 곳이 경계예요.

4\sin\theta = 2 \;\Longrightarrow\; \sin\theta = \frac12 \;\Longrightarrow\; \theta = \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}

이 두 각 사이 \tfrac{\pi}{6} \le \theta \le \tfrac{5\pi}{6} 에서는 4\sin\theta \ge 2 라서 큰 원이 바깥에 있어요. 바로 이 구간이 초승달 영역이에요.

3단계 — 넓이 = (바깥 곡선 넓이) − (안쪽 곡선 넓이). 두 반지름을 각각 제곱해 빼줘요.

A = \frac12 \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \left[ (4\sin\theta)^2 - 2^2 \right] d\theta = \frac12 \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \left( 16\sin^2\theta - 4 \right) d\theta

16\sin^2\theta = 8(1 - \cos 2\theta) = 8 - 8\cos 2\theta 이므로 피적분함수는

16\sin^2\theta - 4 = 8 - 8\cos 2\theta - 4 = 4 - 8\cos 2\theta

4단계 — 적분.

A = \frac12 \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \left( 4 - 8\cos 2\theta \right) d\theta = \frac12 \left[ 4\theta - 4\sin 2\theta \right]_{\pi/6}^{5\pi/6}

위끝 \theta = \tfrac{5\pi}{6}: 2\theta = \tfrac{5\pi}{3}, \sin \tfrac{5\pi}{3} = -\tfrac{\sqrt3}{2} 이므로

4 \cdot \frac{5\pi}{6} - 4 \left( -\frac{\sqrt3}{2} \right) = \frac{10\pi}{3} + 2\sqrt3

아래끝 \theta = \tfrac{\pi}{6}: 2\theta = \tfrac{\pi}{3}, \sin \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{\sqrt3}{2} 이므로

4 \cdot \frac{\pi}{6} - 4 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = \frac{2\pi}{3} - 2\sqrt3

빼면

A = \frac12 \left[ \left( \frac{10\pi}{3} + 2\sqrt3 \right) - \left( \frac{2\pi}{3} - 2\sqrt3 \right) \right] = \frac12 \left( \frac{8\pi}{3} + 4\sqrt3 \right) = \frac{4\pi}{3} + 2\sqrt3

검산. 수치로 \tfrac{4\pi}{3} \approx 4.19, 2\sqrt3 \approx 3.46 이라 A \approx 7.65 예요. 큰 원 넓이가 4\pi \approx 12.57 이고 그 안에서 가운데 원과 겹치는 부분을 뺀 값이니, 큰 원 넓이보다 작고 절반보다 큰 이 크기는 그림과 잘 맞아요.

\boxed{A = \frac{4\pi}{3} + 2\sqrt3}

문제 30. 두 곡선의 안쪽 모두에 있는 영역(교집합)의 넓이를 구하세요.

r = 1 + \cos\theta, \qquad r = 1 - \cos\theta
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1단계 — 두 곡선 파악. r = 1 + \cos\theta 는 오른쪽으로 볼록한 심장형(카디오이드), r = 1 - \cos\theta 는 왼쪽으로 볼록한 심장형이에요. 두 심장형이 겹치는 가운데 부분의 넓이를 구하는 문제예요.

2단계 — 교점 찾기.

1 + \cos\theta = 1 - \cos\theta \;\Longrightarrow\; 2\cos\theta = 0 \;\Longrightarrow\; \cos\theta = 0 \;\Longrightarrow\; \theta = \frac{\pi}{2}, \ \frac{3\pi}{2}

즉 두 곡선은 y 축 위 r = 1 인 점들에서 만나요. 교집합 영역은 이 두 교점과 원점을 경계로 삼아요.

3단계 — 대칭성으로 범위 나누기. 교집합은 x 축과 y 축 양쪽에 대해 대칭이에요. 그래서 제1사분면(0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}) 조각의 넓이를 구해 4 배 하면 돼요. 이 구간에서는 두 곡선 중 더 안쪽(작은 r) 인 r = 1 - \cos\theta 가 교집합의 경계예요. (0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2} 에서 \cos\theta \ge 0 이라 1 - \cos\theta \le 1 + \cos\theta 이기 때문이에요.)

A = 4 \cdot \frac12 \int_0^{\pi/2} (1 - \cos\theta)^2 \, d\theta = 2 \int_0^{\pi/2} (1 - \cos\theta)^2 \, d\theta

4단계 — 전개하고 적분.

(1 - \cos\theta)^2 = 1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\cos\theta + \frac{1 + \cos 2\theta}{2} = \frac32 - 2\cos\theta + \frac{\cos 2\theta}{2}

이걸 적분하면

\int_0^{\pi/2} \left( \frac32 - 2\cos\theta + \frac{\cos 2\theta}{2} \right) d\theta = \left[ \frac32 \theta - 2\sin\theta + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_0^{\pi/2}

위끝 \theta = \tfrac{\pi}{2}: \tfrac32 \cdot \tfrac{\pi}{2} - 2\sin\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{\sin\pi}{4} = \tfrac{3\pi}{4} - 2 + 0. 아래끝 \theta = 0 은 모두 0 이에요.

\int_0^{\pi/2} (1 - \cos\theta)^2 \, d\theta = \frac{3\pi}{4} - 2

따라서

A = 2 \left( \frac{3\pi}{4} - 2 \right) = \frac{3\pi}{2} - 4

검산. 수치로 \tfrac{3\pi}{2} \approx 4.71 이니 A \approx 0.71 로 양수예요. 각 카디오이드의 전체 넓이가 \tfrac{3\pi}{2} \approx 4.71 인데, 두 곡선이 겹치는 가운데 부분은 그보다 훨씬 작아야 하니 0.71 은 규모가 잘 맞아요.

\boxed{A = \frac{3\pi}{2} - 4}
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