조현태아주대학교 수학과
Lecture · 10

10.2 매개곡선의 미적분

Calculus with Parametric Curves

한눈에 보기

10.1에서 곡선을 x = f(t), y = g(t)처럼 매개변수 t로 그렸어요. 이번엔 그 곡선을 미적분으로 다루는 법이에요. 두 가지가 핵심이에요.

  • 접선 기울기: 매개곡선 위 한 점에서 접선이 얼마나 기울었나 → \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}
  • 호의 길이(arc length): 곡선을 따라 실제로 움직인 거리 → L = \int \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}\, dt

y = f(x) 꼴이 아니어도, t만 있으면 기울기와 길이를 구할 수 있어요.

먼저 알아야 할 것

개념 설명

매개 접선

곡선이 y = f(x)면 기울기는 그냥 \frac{dy}{dx}였죠. 그런데 x와 y가 둘 다 t의 함수라면, x를 직접 미분할 대상이 없어요. 그래서 t를 다리로 써요.

연쇄법칙으로 \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}가 성립하니, 양변을 \frac{dx}{dt}로 나누면

\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \qquad \left(\frac{dx}{dt} \ne 0\right)

가 나와요. 즉 "y의 시간변화율"을 "x의 시간변화율"로 나누면 접선 기울기예요. 속도로 비유하면, 위로 가는 속도를 옆으로 가는 속도로 나눈 값이죠.

매개 호길이

곡선을 아주 잘게 쪼개면, 한 조각의 길이는 직각삼각형 빗변이에요. 가로변 dx, 세로변 dy이니 조각 길이는 \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}죠. 여기서 dx = \frac{dx}{dt}\,dt, dy = \frac{dy}{dt}\,dt로 바꾸고 dt를 묶어내면

L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\, dt

가 돼요. t가 \alpha에서 \beta까지 갈 동안 곡선을 따라 움직인 총 거리예요. 루트 안은 매 순간의 속력이라고 보면 돼요 — 속력을 시간으로 적분하니 거리가 나오는 거죠.

수식 하나하나 뜯어보기

손으로 따라가는 예제

x = t^2, y = t^3 - 3t인 곡선에서 t = 2일 때 접선 기울기를 구해봅시다.

  1. 각각 t로 미분: \dfrac{dx}{dt} = 2t, \dfrac{dy}{dt} = 3t^2 - 3.
  2. 공식에 넣기: \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3t^2 - 3}{2t}.
  3. t = 2 대입: 분자 3(4) - 3 = 9, 분모 2(2) = 4. 따라서 \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{9}{4}.

그 점의 좌표는 x = 4, y = 8 - 6 = 2이니, 점 (4, 2)에서 접선이 기울기 \frac{9}{4}로 지나가요. y = f(x)로 정리하지 않고도 기울기를 얻은 거예요.

흔한 헷갈림

핵심 정리

  • 매개곡선 접선 기울기: \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} — 세로 속도 나누기 가로 속도.
  • 호의 길이: L = \int \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}\, dt — 매 순간 속력을 시간으로 적분한 총 거리.
  • dx/dt = 0(단 dy/dt \ne 0)이면 수직접선, dy/dt = 0(단 dx/dt \ne 0)이면 수평접선. 둘 다 0이면 따로 조사해요.
  • 뒤에서 다시 만나는 곳: 13.3에서 이 접선·호길이 아이디어가 곡률(curvature)로 이어져요 — 곡선이 얼마나 휘는지를, 호의 길이에 대한 방향 변화율로 재는 거예요.

연습문제

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10.2 매개곡선의 미적분 · 권장문제 풀이

해설 · 📄 교재 p.714

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문제 3. 다음 매개곡선에 대해 dx/dt, dy/dt, dy/dx 를 구하세요.

x = t e^t, \qquad y = t + \sin t
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매개변수 t 로 표현된 곡선에서 x 와 y 는 각각 t 의 함수예요. 먼저 t 로 각각 미분한 뒤, 두 결과를 나누면 기울기 dy/dx 가 나와요.

1단계 — dx/dt. x = t e^t 는 곱의 형태라 곱의 미분법을 써요.

\frac{dx}{dt} = (1) \cdot e^t + t \cdot e^t = e^t (1 + t)

2단계 — dy/dt. y = t + \sin t 는 항별로 미분해요.

\frac{dy}{dt} = 1 + \cos t

3단계 — dy/dx. 매개곡선의 기울기는 두 도함수의 비예요.

\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1 + \cos t}{e^t (1 + t)}

여기서 왜 이렇게 나누는지 짚고 갈게요. 연쇄법칙에서 \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} 이므로, 양변을 dx/dt 로 나누면 위 식이 돼요.

최종답

\frac{dx}{dt} = e^t (1 + t), \quad \frac{dy}{dt} = 1 + \cos t, \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1 + \cos t}{e^t (1 + t)}

문제 5. 다음 매개곡선의 표시된 점 (15, 2) 에서 접선의 기울기를 구하세요.

x = t^2 + 2t, \qquad y = 2^t - 2t
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접선의 기울기는 dy/dx 예요. 다만 문제는 특정 점 (15, 2) 에서의 값을 원하므로, 먼저 그 점에 해당하는 t 값을 찾아야 해요.

1단계 — 점에 해당하는 t 찾기. x = 15 를 만족하는 t 를 구해요.

t^2 + 2t = 15 \;\Longrightarrow\; t^2 + 2t - 15 = 0 \;\Longrightarrow\; (t - 3)(t + 5) = 0

따라서 t = 3 또는 t = -5 예요. 어느 쪽이 맞는지 y 좌표로 확인해요. t = 3 이면

y = 2^3 - 2 \cdot 3 = 8 - 6 = 2

로 표시된 점 (15, 2) 와 일치하므로 t = 3 이에요.

2단계 — 도함수 구하기. 지수함수 2^t 의 미분은 2^t \ln 2 임을 이용해요.

\frac{dx}{dt} = 2t + 2, \qquad \frac{dy}{dt} = 2^t \ln 2 - 2

3단계 — t = 3 대입.

\frac{dy}{dx} = \frac{2^t \ln 2 - 2}{2t + 2} \Bigg|_{t=3} = \frac{8 \ln 2 - 2}{8} = \ln 2 - \frac14

검산. \ln 2 \approx 0.693 이므로 기울기 \approx 0.693 - 0.25 = 0.443 으로 양수예요. 그래프에서 이 점 부근이 완만하게 상승하는 모습과 맞아요.

최종답

\frac{dy}{dx}\Big|_{(15,\,2)} = \ln 2 - \frac14 \approx 0.443

문제 9. 다음 매개곡선에서 t = \pi 에 해당하는 점에서의 접선의 방정식을 구하세요.

x = \sin 2t + \cos t, \qquad y = \cos 2t - \sin t
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접선의 방정식을 세우려면 접점의 좌표와 그 점에서의 기울기, 두 가지가 필요해요.

1단계 — 접점 좌표. t = \pi 를 대입해요.

x = \sin 2\pi + \cos \pi = 0 + (-1) = -1
y = \cos 2\pi - \sin \pi = 1 - 0 = 1

접점은 (-1, 1) 이에요.

2단계 — 도함수.

\frac{dx}{dt} = 2 \cos 2t - \sin t, \qquad \frac{dy}{dt} = -2 \sin 2t - \cos t

t = \pi 에서

\frac{dx}{dt} = 2 \cos 2\pi - \sin \pi = 2 - 0 = 2
\frac{dy}{dt} = -2 \sin 2\pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1

3단계 — 기울기.

\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1}{2}

4단계 — 접선의 방정식. 점 (-1, 1) 과 기울기 \frac12 로 점-기울기 형태를 세워요.

y - 1 = \frac12 \bigl(x - (-1)\bigr) = \frac12 (x + 1)

정리하면

y = \frac12 x + \frac32

검산. x = -1 을 대입하면 y = -\frac12 + \frac32 = 1 로 접점을 지나요. 맞아요.

문제 11. 다음 매개곡선의 점 \left(\frac12, \frac34\right) 에서 접선의 방정식을 (a) 매개변수를 소거하지 않고, (b) 먼저 매개변수를 소거하여, 두 가지 방법으로 구하세요.

x = \sin t, \qquad y = \cos^2 t
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두 방법이 같은 접선을 주는지 확인하는 문제예요.

(a) 매개변수를 소거하지 않는 방법.

\frac{dx}{dt} = \cos t, \qquad \frac{dy}{dt} = 2 \cos t \cdot (-\sin t) = -2 \sin t \cos t

따라서

\frac{dy}{dx} = \frac{-2 \sin t \cos t}{\cos t} = -2 \sin t

점 \left(\frac12, \frac34\right) 에서는 x = \sin t = \frac12 이므로

\frac{dy}{dx} = -2 \cdot \frac12 = -1

접선은

y - \frac34 = -1 \left(x - \frac12\right) \;\Longrightarrow\; y = -x + \frac54

(b) 매개변수를 소거하는 방법. x = \sin t 이고 y = \cos^2 t = 1 - \sin^2 t 이므로 \sin t 를 x 로 바꾸면

y = 1 - x^2

이 되어 매개변수가 사라져요. 이제 보통의 미분을 해요.

\frac{dy}{dx} = -2x

x = \frac12 에서 \dfrac{dy}{dx} = -2 \cdot \frac12 = -1 로 (a)와 같아요. 접선도

y = -x + \frac54

로 동일해요.

최종답

y = -x + \frac54

문제 19. 다음 매개곡선에서 dy/dx 와 d^2 y/dx^2 를 구하고, 어떤 t 값에서 곡선이 아래로 볼록(위로 오목, 즉 concave upward)한지 구하세요.

x = t - \ln t, \qquad y = t + \ln t
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\ln t 가 있으므로 정의역은 t > 0 이에요.

1단계 — 1계 도함수.

\frac{dx}{dt} = 1 - \frac1t = \frac{t - 1}{t}, \qquad \frac{dy}{dt} = 1 + \frac1t = \frac{t + 1}{t}
\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{(t+1)/t}{(t-1)/t} = \frac{t + 1}{t - 1}

2단계 — 2계 도함수. 매개곡선에서는

\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}

로 계산해요. 먼저 분자를 구해요. 몫의 미분법으로

\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t + 1}{t - 1}\right) = \frac{(1)(t - 1) - (t + 1)(1)}{(t - 1)^2} = \frac{-2}{(t - 1)^2}

이제 dx/dt = \dfrac{t - 1}{t} 로 나눠요.

\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-2/(t-1)^2}{(t-1)/t} = \frac{-2}{(t-1)^2} \cdot \frac{t}{t - 1} = \frac{-2t}{(t - 1)^3}

3단계 — 아래로 볼록 조건. \dfrac{d^2 y}{dx^2} > 0 이어야 해요. 정의역이 t > 0 이므로 분자 -2t 는 항상 음수예요. 따라서 전체가 양수가 되려면 분모 (t - 1)^3 도 음수여야 해요.

(t - 1)^3 < 0 \;\Longrightarrow\; t - 1 < 0 \;\Longrightarrow\; t < 1

정의역 t > 0 과 합치면 0 < t < 1 에서 아래로 볼록해요.

최종답

\frac{dy}{dx} = \frac{t + 1}{t - 1}, \quad \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-2t}{(t - 1)^3}, \quad \text{concave up: } 0 < t < 1

문제 21. 다음 곡선에서 접선이 수평 또는 수직이 되는 점을 모두 구하세요.

x = t^3 - 3t, \qquad y = t^2 - 3
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접선이 수평이려면 기울기가 0, 즉 \dfrac{dy}{dt} = 0 이고 \dfrac{dx}{dt} \ne 0 이어야 해요. 접선이 수직이려면 기울기가 무한대, 즉 \dfrac{dx}{dt} = 0 이고 \dfrac{dy}{dt} \ne 0 이어야 해요.

1단계 — 도함수.

\frac{dx}{dt} = 3t^2 - 3 = 3(t - 1)(t + 1), \qquad \frac{dy}{dt} = 2t

2단계 — 수평 접선. \dfrac{dy}{dt} = 2t = 0 \Rightarrow t = 0. 이때 \dfrac{dx}{dt} = -3 \ne 0 이라 문제없어요. 점은

x = 0 - 0 = 0, \qquad y = 0 - 3 = -3 \;\Longrightarrow\; (0, -3)

3단계 — 수직 접선. \dfrac{dx}{dt} = 0 \Rightarrow t = 1 또는 t = -1. 두 경우 모두 \dfrac{dy}{dt} = 2t \ne 0 이에요.

t = 1 일 때:

x = 1 - 3 = -2, \qquad y = 1 - 3 = -2 \;\Longrightarrow\; (-2, -2)

t = -1 일 때:

x = -1 + 3 = 2, \qquad y = 1 - 3 = -2 \;\Longrightarrow\; (2, -2)

최종답

  • 수평 접선: (0, -3)
  • 수직 접선: (-2, -2) 와 (2, -2)

문제 34. 곡선

x = 3t^2 + 1, \qquad y = 2t^3 + 1

의 접선 중 점 (4, 3) 을 지나는 것들의 방정식을 모두 구하세요.

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핵심은 접점이 어디인지 모른다는 점이에요. 그래서 접점을 매개변수 t 로 두고, 그 접선이 (4, 3) 을 지난다는 조건에서 t 를 찾아요.

1단계 — 임의의 t 에서 접선의 기울기.

\frac{dx}{dt} = 6t, \qquad \frac{dy}{dt} = 6t^2, \qquad \frac{dy}{dx} = \frac{6t^2}{6t} = t

즉 매개변수 t 인 점에서 접선의 기울기는 그냥 t 예요.

2단계 — (4, 3) 을 지나는 조건. 접점 (3t^2 + 1,\; 2t^3 + 1) 과 외부 점 (4, 3) 을 잇는 직선의 기울기가 접선의 기울기 t 와 같아야 해요.

\frac{(2t^3 + 1) - 3}{(3t^2 + 1) - 4} = t \;\Longrightarrow\; \frac{2t^3 - 2}{3t^2 - 3} = t

3단계 — 방정식 풀기. 양변에 분모를 곱해요.

2t^3 - 2 = t(3t^2 - 3) = 3t^3 - 3t
0 = t^3 - 3t + 2

t = 1 이 근임을 확인하고 (1 - 3 + 2 = 0) 인수분해하면

t^3 - 3t + 2 = (t - 1)(t^2 + t - 2) = (t - 1)^2 (t + 2)

따라서 t = 1 또는 t = -2 예요.

4단계 — 각 접선 구하기.

t = 1: 접점 (3 + 1,\; 2 + 1) = (4, 3), 기울기 1. (점 (4,3) 자체가 곡선 위에 있는 경우예요.)

y - 3 = 1 \cdot (x - 4) \;\Longrightarrow\; y = x - 1

t = -2: 접점 (3 \cdot 4 + 1,\; 2 \cdot(-8) + 1) = (13, -15), 기울기 -2.

y - 3 = -2(x - 4) \;\Longrightarrow\; y = -2x + 11

검산. y = -2x + 11 에 접점 (13, -15) 를 넣으면 -26 + 11 = -15 로 맞고, (4, 3) 을 넣으면 -8 + 11 = 3 으로 지나가요.

최종답

y = x - 1 \qquad \text{와} \qquad y = -2x + 11

문제 35. 다음 매개곡선과 x 축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

x = t^3 + 1, \qquad y = 2t - t^2
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넓이는 A = \displaystyle\int y \, dx 로 구해요. 매개곡선이니 dx = \dfrac{dx}{dt}\, dt 로 바꿔 t 에 대한 적분으로 만들어요.

1단계 — 적분 구간 찾기. 곡선이 x 축과 만나는 곳은 y = 0 인 지점이에요.

2t - t^2 = t(2 - t) = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0 \;\text{또는}\; t = 2

t 가 0 에서 2 로 갈 때 x = t^3 + 1 은 1 에서 9 로 증가하고, 이 구간에서 y = 2t - t^2 \ge 0 이라 곡선이 x 축 위쪽에 있어요.

2단계 — 적분 세우기. \dfrac{dx}{dt} = 3t^2 이므로

A = \int_{0}^{2} y \, \frac{dx}{dt} \, dt = \int_{0}^{2} (2t - t^2)(3t^2) \, dt = \int_{0}^{2} (6t^3 - 3t^4) \, dt

3단계 — 적분 계산.

A = \left[ \frac{6t^4}{4} - \frac{3t^5}{5} \right]_{0}^{2} = \left[ \frac{3}{2} t^4 - \frac{3}{5} t^5 \right]_{0}^{2}
= \frac32 (16) - \frac35 (32) = 24 - \frac{96}{5} = \frac{120 - 96}{5} = \frac{24}{5}

최종답

A = \frac{24}{5}

문제 40. 다음 곡선의 고리(loop)로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

x = 1 - t^2, \qquad y = t - t^3
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먼저 고리가 어디서 생기는지, 즉 곡선이 자기 자신과 만나는 점을 찾아야 해요.

1단계 — 자기교차점 찾기. y = t - t^3 = t(1 - t^2) = t(1 - t)(1 + t) 이고 x = 1 - t^2 이에요. y = 0 이 되는 t = -1, 0, 1 중, t = 1 과 t = -1 에서

x = 1 - 1 = 0, \qquad y = 0

으로 둘 다 같은 점 (0, 0) 을 지나요. 즉 t 가 -1 에서 1 까지 갈 때 곡선이 원점에서 출발해 고리를 그리고 다시 원점으로 돌아와요.

2단계 — 넓이 적분. \dfrac{dx}{dt} = -2t 이므로

A = \int_{-1}^{1} y \, \frac{dx}{dt} \, dt = \int_{-1}^{1} (t - t^3)(-2t) \, dt = \int_{-1}^{1} (2t^4 - 2t^2) \, dt

3단계 — 적분 계산. 피적분함수가 우함수라 2\displaystyle\int_0^1 로 바꿔도 되지만, 그대로 계산할게요.

A = \left[ \frac{2t^5}{5} - \frac{2t^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left(\frac25 - \frac23\right) - \left(-\frac25 + \frac23\right) = \frac45 - \frac43 = \frac{12 - 20}{15} = -\frac{8}{15}

넓이는 방향에 따라 부호가 붙으므로 절댓값을 취해요.

최종답

A = \frac{8}{15}

문제 47. 다음 곡선의 정확한 길이를 구하세요.

x = \frac23 t^3, \qquad y = t^2 - 2, \qquad 0 \le t \le 3
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매개곡선의 호길이 공식은

L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt

예요.

1단계 — 도함수.

\frac{dx}{dt} = 2t^2, \qquad \frac{dy}{dt} = 2t

2단계 — 근호 안 정리.

\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 4t^4 + 4t^2 = 4t^2 (t^2 + 1)
\sqrt{4t^2 (t^2 + 1)} = 2t \sqrt{t^2 + 1} \qquad (0 \le t \le 3 \text{ 이라 } t \ge 0)

3단계 — 적분.

L = \int_{0}^{3} 2t \sqrt{t^2 + 1} \, dt

치환 u = t^2 + 1, du = 2t \, dt 를 쓰면 t = 0 \to u = 1, t = 3 \to u = 10 이므로

L = \int_{1}^{10} \sqrt{u} \, du = \left[ \frac23 u^{3/2} \right]_{1}^{10} = \frac23 \left( 10^{3/2} - 1 \right) = \frac23 \left( 10\sqrt{10} - 1 \right)

검산. 10\sqrt{10} \approx 31.62 이므로 L \approx \frac23 (30.62) \approx 20.4 로 합리적인 값이에요.

최종답

L = \frac23 \left( 10\sqrt{10} - 1 \right) \approx 20.4

문제 65. 아스트로이드(astroid) x = a \cos^3 \theta, y = a \sin^3 \theta 로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요.

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아스트로이드는 네 사분면 대칭이에요. 그래서 제1사분면 조각의 넓이를 구해 4 배 하면 편해요.

1단계 — 제1사분면 조각. \theta 가 0 에서 \frac{\pi}{2} 로 갈 때 점은 (a, 0) 에서 (0, a) 로 움직여요. 넓이 A = \displaystyle\int y \, dx 를 쓰면

\frac{dx}{d\theta} = 3a \cos^2 \theta \, (-\sin \theta) = -3a \cos^2 \theta \sin \theta
\int_{x=0}^{a} y \, dx = \int_{\theta=\pi/2}^{0} (a \sin^3 \theta)(-3a \cos^2 \theta \sin \theta) \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} 3a^2 \sin^4 \theta \cos^2 \theta \, d\theta

(적분 구간을 뒤집으면서 음부호가 사라졌어요.)

2단계 — 전체 넓이.

A = 4 \cdot 3a^2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^2 \theta \, d\theta = 12 a^2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^2 \theta \, d\theta

3단계 — 삼각적분 계산. \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^2 \theta \, d\theta 는 배각공식으로 차수를 낮춰 구할 수 있어요. \sin^2\theta \cos^2\theta = \frac14 \sin^2 2\theta 이고 \sin^2\theta = \frac12(1 - \cos 2\theta) 이므로

\sin^4\theta \cos^2\theta = \frac14 \sin^2 2\theta \cdot \frac12 (1 - \cos 2\theta) = \frac18 \left( \sin^2 2\theta - \sin^2 2\theta \cos 2\theta \right)

\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2 2\theta \, d\theta = \frac{\pi}{4} 이고, \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2 2\theta \cos 2\theta \, d\theta = 0 (치환 u = \sin 2\theta 로 하면 양 끝이 모두 0) 이므로

\int_{0}^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^2 \theta \, d\theta = \frac18 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{32}

4단계 — 대입.

A = 12 a^2 \cdot \frac{\pi}{32} = \frac{12 \pi a^2}{32} = \frac{3}{8} \pi a^2

최종답

A = \frac{3}{8} \pi a^2

문제 72. 다음 곡선을 x 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전면의 정확한 넓이를 구하세요.

x = 2t^2 + \frac1t, \qquad y = 8\sqrt{t}, \qquad 1 \le t \le 3
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x 축 회전면의 넓이 공식은

S = \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi y \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt

예요. 반지름이 회전축까지의 거리 y 라서 2\pi y 가 붙어요.

1단계 — 도함수.

\frac{dx}{dt} = 4t - \frac{1}{t^2}, \qquad \frac{dy}{dt} = \frac{8}{2\sqrt{t}} = \frac{4}{\sqrt{t}}

2단계 — 근호 안 정리.

\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 = 16t^2 - \frac{8}{t} + \frac{1}{t^4}, \qquad \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = \frac{16}{t}

두 개를 더하면

16t^2 - \frac{8}{t} + \frac{1}{t^4} + \frac{16}{t} = 16t^2 + \frac{8}{t} + \frac{1}{t^4} = \left(4t + \frac{1}{t^2}\right)^2

완전제곱이 돼요. 따라서

\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = 4t + \frac{1}{t^2} \qquad (1 \le t \le 3 \text{ 에서 양수})

3단계 — 적분 세우기.

S = \int_{1}^{3} 2\pi \cdot 8\sqrt{t} \left(4t + \frac{1}{t^2}\right) dt = 16\pi \int_{1}^{3} \left(4t^{3/2} + t^{-3/2}\right) dt

4단계 — 적분 계산.

\int \left(4t^{3/2} + t^{-3/2}\right) dt = \frac{8}{5} t^{5/2} - 2 t^{-1/2}
S = 16\pi \left[ \frac{8}{5} t^{5/2} - \frac{2}{\sqrt{t}} \right]_{1}^{3}

t = 3 에서: 3^{5/2} = 9\sqrt{3} 이므로 \dfrac{8}{5}(9\sqrt3) - \dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{72\sqrt3}{5} - \dfrac{2\sqrt3}{3}.

t = 1 에서: \dfrac85 - 2 = -\dfrac25.

빼면

S = 16\pi \left[ \frac{72\sqrt3}{5} - \frac{2\sqrt3}{3} + \frac25 \right]

\sqrt3 항을 묶으면 \dfrac{72}{5} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{216 - 10}{15} = \dfrac{206}{15} 이므로

S = 16\pi \left[ \frac{206\sqrt3}{15} + \frac{6}{15} \right] = \frac{16\pi}{15} \left( 206\sqrt3 + 6 \right) = \frac{32\pi}{15} \left( 103\sqrt3 + 3 \right)

검산. 103\sqrt3 + 3 \approx 181.4 이고 \dfrac{32\pi}{15} \approx 6.70 이라 S \approx 1216 으로 큰 곡선 값과 어울려요.

최종답

S = \frac{32\pi}{15} \left( 103\sqrt3 + 3 \right) \approx 1216

문제 76. 다음 곡선을 y 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전면의 넓이를 구하세요.

x = e^t - t, \qquad y = 4 e^{t/2}, \qquad 0 \le t \le 1
풀이 보기

이번엔 y 축 회전이에요. 반지름이 회전축까지의 거리 x 이므로 2\pi x 가 붙어요.

S = \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi x \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt

1단계 — 도함수.

\frac{dx}{dt} = e^t - 1, \qquad \frac{dy}{dt} = 4 \cdot \frac12 e^{t/2} = 2 e^{t/2}

2단계 — 근호 안 정리.

\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 = e^{2t} - 2e^t + 1, \qquad \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 4 e^t

더하면

e^{2t} - 2e^t + 1 + 4e^t = e^{2t} + 2e^t + 1 = (e^t + 1)^2

완전제곱이라

\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = e^t + 1

3단계 — 적분 세우기.

S = \int_{0}^{1} 2\pi (e^t - t)(e^t + 1) \, dt

피적분함수를 전개해요.

(e^t - t)(e^t + 1) = e^{2t} + e^t - t e^t - t

4단계 — 적분 계산. 부분적분으로 \displaystyle\int t e^t \, dt = (t - 1) e^t 임을 이용하면

\int \left( e^{2t} + e^t - t e^t - t \right) dt = \frac12 e^{2t} + e^t - (t - 1) e^t - \frac{t^2}{2}

e^t - (t-1)e^t = (2 - t) e^t 로 묶으면 원시함수는

F(t) = \frac12 e^{2t} + (2 - t) e^t - \frac{t^2}{2}

양 끝값을 넣어요.

F(1) = \frac12 e^2 + e - \frac12, \qquad F(0) = \frac12 + 2 = \frac52
S = 2\pi \bigl( F(1) - F(0) \bigr) = 2\pi \left( \frac12 e^2 + e - \frac12 - \frac52 \right) = 2\pi \left( \frac12 e^2 + e - 3 \right)

정리하면

S = \pi \left( e^2 + 2e - 6 \right)

검산. e^2 \approx 7.39, 2e \approx 5.44 이라 e^2 + 2e - 6 \approx 6.83, S \approx 21.4 로 합리적이에요.

최종답

S = \pi \left( e^2 + 2e - 6 \right) \approx 21.4
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